小学数学“模型思想”中“核心素养”解读获奖科研报告论文

1、小学数学“模型思想”中“核心素养”解读获奖科研报告论文 模型思想是2011版义务教育数学课程标准（以下简称课标）新增加的核心概念。所谓数学模型，就是根据特定的研究目的，采用形象化的数学语言，去抽象、概括地表述所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构。小学数学模型一般是实际事物的一种数学简化。在小学，数学概念、性质、公式、法则、定律、规律、数量关系、图表、程序等都是数学模型。“数学模型”的主要模型形式是数学符号表达和图表，因而它与符号思想有很多相似之处。如，模型思想与符号化思想都是经过抽象后用符号或图表表达数量关系和空间形式。而不同之处在于，模型思想更加注重如何经过分析抽象建立模型，更加重

2、视如何应用数学模型解决练习、生活应用和科学研究中的各种问题。这也是落实课标中“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径”的重要方面。小学模型思想的教学过程应以“问题情境建立模型解释、应用与扩展”的模式展开。问题情境：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题。这说明发现问题和提出问题是数学建模的起点，也是课标“两能变四能”的原因之一。建立模型：“用数学符号表示数学问题中的数量关系、变化规律和空间形式”。这一步，主要是通过观察、分析、抽象、概括、选择、判断等数学活动，完成模式抽象得到模型。这是建模最重要的一个环节。解释、应用与扩展：通过模型去求出结果，并用此结果去解释、讨论它在现实问

3、题中的意义。小学生模型思想的形成是多方位的，应该蕴涵于“数与代数”“图形与几何”等教学内容之中，并与数感、符号感、空间观念、推理能力等紧密结合。 一、教材中“模型思想”内容简析 （一）数与代数 小学数学教材中“数与代数”领域涉及到的概念、性质、法则、定律、数量关系、程序、方程等很多内容。而这些内容都与数学模型联系密切。 1. 概念 如整数、小数、分数、百分数、负数的概念，以及由数概念派生出的数的读、写方法，大小比较方法等。而这些内容的模型（符号）建构，都经历了“问题情境建立模型应用与扩展”的过程。如： 整数概念模型的建立、应用与扩展。无论是10以内数的认识、20以内数的认识、100以内数的认识

4、、万以内数的认识、亿以内数的认识还是亿以上大数的认识，首先经历了从现实生活或具体情境中发现需要用数来表示事物的顺序或事物多少的问题，提出用数字（符号）来表示的过程。然后分析“数”表示的模式，即数字在不同的数位上表示的意义分别是什么，通过分析、概括抽象出“数”的表示模型，即某一个数位上是几就表示几个这样的计数单位，同一个数字在不同的数位上表示的意义不同。如5在个位上表示5个一，在十位上表示5个十在千亿位上表示5个千亿等，这样就完成了用数表示具体量的模型建构。最后通过模型与外部产生联系，用数表示生活、生产中的事物的数量等。如一排学生一共有7人，最后一个人是第7人；我们班有学生48人，全校有学生18

5、90人某企业2017年的生产利润用数量表示是3750万元等。 数的读法。数的读法是结合具体情境抽象出如何读数模型的。如百以内数的读法，结合小棒图，认识10个一是1个十，10个十是一百；10的数字“1”在十位上，读作一十；70的数字“7”在十位上读作七十； 23的数字“2”在十位上，数字“3”在个位上，读作二十三100的数字“1”在百位上，读作一百；个位上或十位、个位上连续的0都不读。分析读数模式，十位上是1读一十，十位上是2读二十个位上是几就读几（10以内数读法迁移），个位上是0不读。抽象概括读数模型：十位上是几就读几个十，个位上是几就读几，个位上或十位、个位连续是0时都不读。最后，通过运用模

6、型练习数出或读出生活中各种事物的数量。百以内读数模型迁移到万以内数读数的过程，首先是迁移到千以内数，迁移的方法是结合实物或点子图，理解哪一位上是几就读几个这样的计数单位。如728读作七百二十八。数字中间十位上是0的读数方法，是在学生“从一百起，一个一个地数到一百二十”，在数的过程中，初步知道百位和个位都有数字，十位上是0，这两个数字中间的0要读出来。然后迁移到万以内数的读数，例7结合计算器先认识四位数的读数模式，最高位是千位，从千位读起，每个数位上是几就读几个这样的计数单位，如3475读作三千四百七十五；2080读作二千零八十，然后抽象出万以内数的读数方法，建立模型。即从高位读起，哪一位上是几

7、就读几个这样的计数单位，中间有一个或两个0，只读一个“零”，末尾不管有几个0都不读。最后，运用读数模型读出指定的数或生活中的数量，掌握读数方法。万以内数的读数方法迁移到亿以内数的读数时，教材是结合“数位顺序表”呈现的，学生尝试读数时会出现如24960000读作二千万四百万九十万六万的情况，这是万以内数读法的正迁移，应肯定这种读法是正确的。然后通过比较“二千万四百万九十万六万”与“二千四百九十六万”，哪种读法简便，知道万级数的读法模式，按级数的读法来读，在万级的末尾加个“万”字比较简便。接着，学生以填空形式归纳总结出含有两级的数怎么读。之后，运算模型通过“做一做”掌握含有两级数的读法。亿以上数的

8、读法，由学生自主尝试，按“含有两级数的读法”来研究含有三级的数怎样读，归纳总结出多位數读数模型，即：先分级，再从最高级读起，读完亿级或万级的数，要加“亿”字或“万”字，每一级中间不管有一个或两个0都只读一个“零”，每一级末尾不管有几个0，都不读。在学生掌握读数方法后，应强化学生读数应用练习。 数的大小比。数的大小比较模型是在一年级上册建构的。教材从具体情境中事物的比多、比少引入，发现问题。即猴子与香蕉比多少，一个猴子对一个香蕉，3个猴子与2个香蕉比多1个，也就是猴子多，香蕉少；猴子与梨比，3个猴子与4个梨比少1个，也就是猴子少，梨多。这种比多少的方法（模式）虽然直观、清楚，但很麻烦。然后通过分

9、析3只猴子与2个香蕉数的大小（认识了2添上1是3），得出3大于2。将事物数量的比较多少转化为数的大小比较。介绍符号表达模式：为了书写简便、表达方便，把“大于”两个字用“”符号表示，把“小于”两个字用“2”；3小于4可以写作“3”连接；如果大数写在符号右边，小数写在左边，用“”连接。模型应用：通过“做一做”练习题掌握数大小比较方法。模型拓展：随着学生学习知识的深入和生活经验的丰富，数的大小比较模型在学习方面将拓展到多位数的大小比较、小数的大小比较、分数的大小比较以及几个数的大小比较并排序，只是比较方法在变，模型不变。在生活中将应用模型进行分析、判断和定论。如二年级下册学习了万以内数的大小比较后可

10、以解决这方面的问题：李伯伯家和王叔叔家去年种了同样大的一块小麦田，李伯伯家收小麦1350千克，王叔叔家收小麦1420千克。谁家的收成好一些？在学习了速度、时间和路程的数量关系后，可判断这样的问题：甲、乙两辆小汽车同时从县城开往省城，到达省城时甲车用了120钟，乙车用了90分钟。哪辆汽车的速度快一些？ 2.性质 在小学数学教材中主要性质有减法的性质、除法的性质、小数的基本性质、商不变的基本性质、分数的基本性质、比的基本性质和等式的基本性质等。 减法的性质。四年级下册“加法运算定律”例4是减法的性质。教材以情境加问题方式呈现：一本书共234页，一位叔叔昨天看到第66页，今天又看了34页，还剩下多少

11、页？可以让学生试完成。教材呈现了学生交流的三种解题模式。首先理解算理，重点使学生明确“234-66-34”和“234-（66+34）”列式的道理，每一步算的是什么？然后观察三位同学都是怎样算的，认为哪种计算简便？之后由三种计算模式结果相等，推出两个等式，即：234-66-34=234-（66+34）；234-66-34=234-34-66。观察两个等式，抽象数学模型。由等式可以發现：一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和。由等式可以发现：一个数连续减去两个数，交换减数的位置差不变。验证：可以让学生自主举例检验减法性质的正确性。验证无误后抽象出减法性质字母表达式，即：a-b-c=a-（b+c

12、）；a-b-c=a-c-b。应用：完成“做一做”练习题及解决生活中的实际问题。扩展：一个数连续减去几个数等于减去这几个数的和。 3.数量关系 教材在四年级上册安排了“单价数量=总价”和“速度时间=路程”常见的数量关系。教材中涉及到的数量关系还很多，如：工作效率工作时间=工作总量、每份数份数=总数、利润=出售价-成本、利息=本金利率时间、奇数+奇数=偶数、奇数偶数=偶数、总数总份数=平均数等，另外，加、减、乘、除各部分之间关系、计量单位的换算等内容也都是数量关系的内容，这些内容的学习都是结合相应内容安排的。 速度、时间和路程之间的关系。教材呈现了两个问题并要求学生自己解答。（1）一辆汽车每小时行

13、70千米，4小时行多少千米？（2）一人骑自行车每分钟行225米，10分钟行多少米？学生能轻松解答。完成解答后，观察、分析并交流“这两个问题有什么共同点？”发现情境与问题模式，都是知道每小时或每分钟行的路程，还知道行了几小时或几分钟，求的问题都是一共行了多少路程。在此基础上，介绍“路程、速度和时间”的名称，并将上面两问题中的数量、问题与名词建立联系，如每小时行70千米是这辆汽车的速度。之后将模式抽象成模型，即速度时间=路程。应用：解决“做一做”中的问题及生活中求路程的现实问题。扩展：四年级下册学习“乘、除法各部分之间关系”后，推出“路程速度=时间”和“路程时间=速度”；学习“相遇问题”后，推出“

14、速度和相遇时间=总路程”；六年级学习反比例后推出反比例模型“两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量叫做成反比例的量，这两个变量之间的关系叫做反比例关系”；字母关系式模型是“xy =K”。图像模型如图： 4.程序 程序是指事情进行的前后次序。如：计算方法、四则运算的估算方法、四则混合运算的运算顺序、求近似数的方法、解决问题的一般步骤、单位之间换算的思维方法等。 四则混合运算中有括号的混合运算顺序。教材在四年级下册“四则运算”中安排了认识中括号的内容。在此之前，学生已经学习了两级四则混合运算和含有小括号的四则混合运算。例4（1），总结学过的

15、四则混合运算的运算顺序，通过添加小括号，进一步明确小括号的作用是改变运算顺序。在含有小括号的算式里，要先算小括号里面的，再算括号外面的；小括号外面按照先算乘、除法，再算加、减法的顺序进行。（2）在96（12+4）2基础上加上中括号“ ”，变成另一个算式96（12+4）2，提出“运算顺序是怎样？”的问题。这里不需要学生探索，教师可以直接说明：一个算式里既有小括号又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。让学生运算这一模型完成（2）的计算。应用：通过“做一做”进一步掌握小括号里含有两级运算和含有小括号、中括号的运算顺序。 （二）图形与几何 小学数学教材中“图形与几何”领域

16、涉及到图形的概念、特性、性质、公式、数量关系、操作程序等很多内容。这些内容也都与数学模型联系密切。 1.概念 无论哪一种图形概念的建立，小学阶段都依赖具体的实物、图形或图片，提供给学生充分的观察，体验、感受、交流的机会。教材中长（正）方体、长（正）方形、平行四边形、三角形、梯形、圆、角、圆柱、圆锥等概念，都是从具体物体上剥离并抽象形成的，经历了从生活原型到模型的建构过程。如：四年级下册“三角形的认识”。本课是在学生学习了线段、角和直观认识了三角形的基础上学习的。三角形的认识，教材设计了四个层次。从主题图中找三角形引入本课的学习，感受三角形在日常生活中随处可见。提出教材中“画一个三角形”的要求。

17、观察所画的各种三角形，理解“围成”的含义，即每相邻两条线段的端点相连。之后归纳出三角形概念的模型：由三条线段围成的图形叫做三角形。结合教师和学生画出的三角形，认识三角形各部分名称。提出“说一说三角形有几条边？几个角？几个顶点？”的问题，通过对所画各种三角形的观察与三个问题的交流，形成三角形在头脑中的模型表象：三角形有三条边、三个角、三个顶点。尽而学会用字母A、B、C表示三角形的三个顶点及用字母表示三角形。学习三角形的底和高。教师结合“画三角形的高”的过程，介绍三角形的“底”和“高”。思考讨论：三角形可以画几条高？三角形的高在什么位置？然后试着画出三角形的三条高（理解直角三角形两条直角边互为底边

18、上的高及画钝角三角形的高都是学习的难点）。三角形的底和高也是一个数学模型，而应用是结合图形描述三角形的各部分名称，能画出三角形的高。 2. 特性 三角形特性：三角形任意兩边的和大于第三边。教学设计可分为五个层次。（1）先结合插图提出“从小明家到学校有几条路线？哪一条最近？”的问题，用自己的生活经验说明走直路最近。再将生活情境“小明家、邮局和学校”三个位置看作三个点，连结三个点，将路线图抽象成三角形ABC几何图形。测量AC、AB、BC的长度，并计算出“AB+BC”的长度和与AC比较，说一说发现了什么？两点间所有连线中线段最短（数学模型），这条线段的长度叫做两点间的距离。感受计算结果与生活经验的一

19、致性。（2）假设A、C两点固定，B点可以移动，想象B点如何移动，“AB+BC”的长度和与AC的长度越来越接近？猜想当B点位于什么位置时，AB+BC=AC。此时图形还是三角形吗？成了什么图形？接着思考、猜想：什么情况下三条线段能组成三角形？什么情况下不能？（3）小组操作实验，用教材中提供的四组长度的纸条或小棒来拼三角形。记录下能或不能拼成三角形的三个纸条的长度，分析三个纸条的长度，你能发现什么？第、两组的任何两边长度的和都比另一边长，能拼成三角形，第、两组两条较短边的和等于或小于第三边的长度，不能拼成三角形。（4）交流、总结（数学模型）：三角形的任意两边的和大于第三边。任意两边的和等于或小于第三

20、边都不能拼成三角形。（5）应用：用本课所学知识解释为什么小明从家与学校走中间的路近？判断下面三组线段能否围成一个三角形？说明理由。A.3厘米、7厘米、5厘米；B.6厘米、1厘米、3厘米；C.8厘米、3厘米、5厘米。扩展：一个活动角，角的两边分别剪剩下9厘米和7厘米。要加上多长一根小棒能拼成一个三角形？这根小棒最长是几厘米，最短是几厘米？说出理由。 3. 公式 “图形与几何”内容有很多的公式，长（正）方形、圆周长公式，长（正）方形、三角形、平行四边形、梯形、圆面积公式，长（正）方体、圆柱、圆锥体积公式等，这些每一个公式都是数学模型。无论哪一个公式的建构都经历了“问题情境建立模型解释、应用与扩展”

21、的过程。如圆面积公式。圆面积公式是在学生认识了圆，知道了圆的各部分名称、圆的半径决定圆的大小，同时具有了转化思想解决未知图形面积基础上学习的。教材从“每平方米草皮8元。这个圆形草坪的占地面积是多少平方米？”的问题情境引入，提出“怎样计算一个圆的面积呢？”。首先猜想：计算圆的面积可能与圆的什么有关系？如何把圆转化成学过的图形，转化成什么图形来计算面积？接着按照教材设计，验证猜想。提出“在硬纸上画一个圆，把圆分成若干（偶数）等份，然后剪开，用这些近似等腰三角形的小纸片拼一拼，能发现什么？”的操作要求和问题思考。通过操作可发现：圆的形状变了，面积不变。圆形变成了近似长方形（或平行四边形），圆周长的一

22、半就是近似长方形的长，圆的半径就是近似长方形的宽。之后根据等量变换推理出圆面积计算公式及字母表达式，建立圆面积计算的模型。应用：应用圆面积公式解决草坪面积和花钱问题。扩展：用圆面积公式解决圆环面积计算及生活中和圆面积有关的计算问题。 4. 操作程序 “图形与几何”内容有很多需要按操作程序进行测量和画图的内容。主要有：测量线段长度、测量角大小、画指定长度线段、画指定度数的角、画平行线、画垂线、画长（正）方形、画简单图形平移或旋转后的图形、画简单的线路图等。如四年级上册用量角器画指定度数的角。此内容是在学生认识了量角器及学会用量角器测量角大小的基础上学习的。教材呈现了用量角器画60角的分步示意图和

23、画图步骤（画角的操作模型），即：（1）画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0刻度线和射线重合。（2）在量角器60刻度线的地方点一个点。（3）以画出射线的端点为端点，通过刚画的两点画出一条射线。学生画图的难点在第（2）步，因为量角器上60刻度线（里圈和外圈）有两个。所以进行第（2）步时要让学生讨论：用量角器画指定度数的角时，量角器有两圈刻度，找里圈还是外圈刻度点？通过讨论，形成结论（找刻度线的操作模型）：当先画的那条射线是与内圈的零刻度线重合，那么找点时就应该在内圈找所要画的角刻度线；如果先画的那条射线是与外圈的零刻度线重合，那么找点时就应该在外圈找所要画的角刻度线。画图应用：做一做，用

24、量角器画指定度数的角，尤其是开口向左、向上或向下的角。扩展：在四年级下册学习三角形分类后，可以扩展到画指定度数的三角形及后面学习画简单的路线图。 （三）统计与概率 小学数学教材中“统计与概率”领域涉及到分类整理、数据收集整理、平均数、条形统计图、折线统计图、扇形统计图和可能性等内容。这些内容大都与程序模型或图示模型联系密切。 1.分类整理 教材在一年级下册安排了“分类整理”的内容。 例1按指定标准分类整理；例2自己确定标准分类整理。两个例题的呈现方式决定了教学要按照以下程序进行。 如例2，情境问题：教材呈现了有男女大人、孩子准备参加游戏活动的场景，提出“分两组做游戏，他们可以怎样分组呢？”的问

25、题。确定分类标准：可以按大人和孩子分，也可以按男、女分。分类整理：按自己确定的分类标准（按大人和孩子分），数出人数填在表格中。观察分析：观察表格中的数据，了解分类的结果（8个大人、4个孩子）。形成结论：按大人和孩子分的结果是大人多，孩子少。解释问题：按大人和孩子分，大人多，孩子少，孩子们自己不会做游戏，不合适。可以改变分类方法，按男、女分怎么样？ 2.数据收集整理 教材在二年级下册安排了“数据收集整理”的内容。数据收集整理的过程也要渗透程序模型，使学生了解数据收集整理的方式方法，但可以根据“问题情境”简化或增加程序。二年级下册“数据收集整理”例1，可以让学生在学习过程中感受以下程序模型。 情境

26、问题：例1，选择方法：在全班进行调查；收集数据：举手或填写表格；归纳整理：填写统计表；观察分析：分析表格中喜欢每种颜色的人数；初步结论：喜欢蓝色的人数最多，如果这个班订做校服，选择蓝色合适；检验校正：征求其它班级的意见 3.复式条形统计图 教材在四年级下册安排了“复式条形统计图”。本课是在学生学习了复式统计表和单式条形统计图基础上学习的。学生已经知道了复式统计表的基本模型，知道了在单式条形统计图（立式）中，横轴一般表示“项目”，纵轴一般表示“数量”，纵轴上1格可以表示1个单位，也可以表示几个单位。单式统计图的建构模型可以迁移到绘制复式统计图的学习中。本课的学习重点是学会绘制简单的复式统计图并根

27、据复式统计图进行分析和判断。问题情境：学生补充完成单式统计图。观察发现：要想直观看到城镇和乡村在某一年人数的多少情况，很不方便。提出猜想：两个有关联的单式统计表可以合并成一个复式统计表，两个有关联的单式条形统计图，是否也可以合并成一个复式统计图呢？建立模型。观察（79页）不完整的立式复式条形统计图，与单式条形统计图比较，有哪些相同点？有哪些不同点？相同点是：横轴都是表示年份，都有四个年份。纵轴都是表示人数，1个刻度表示10万人。不同点是：同一年份把城镇人数与乡村人数排在了一起，左边是城镇人数的条形图，右边紧靠着是乡村人数的条形图，城、乡条形图用不同的颜色表示，在图中还标出了城镇、乡村的图例。在

28、此基础上，学生自己补充完成其它年份条形图的绘制。分析复式条形统计图的优势：能直观看到同一年份城镇和乡村人数的多少及不同年份城镇和乡村人数的变化。应用：回答教材中提出的四个问题及“做一做”中的习题。最后，介绍横式的复式条形统计图的基本模型。 二、在教学中，如何培养学生的模型思想 （一）模型思想需要教师在教学中逐步渗透和引导学生不断感悟 模型思想作为一种数学思想要学生真正有所感悟需经历一个长期的过程。在这一过程中，学生总是从相对简单到相对复杂，从相对具体到相对抽象，逐步积累经验，掌握建模方法，逐步形成用模型去进行数学思考的习惯。教师在教学中要注意根据学生的年龄特征和不同学段的要求，逐步渗透模型思想

29、。如：在第一学段，可以引导学生经历从现实问题情境中抽象出整数、整数四则运算概念和方法、整数的读写方法、整数的大小比较方法、两级混合运算的程序等；从简单几何体到平面图形的过程抽象出各种图形模型及特征、特性等；从观察物体、图形的运动抽象出两视图与三视图的转化方法及简单的对称、平移、旋转概念等；从简单数据收集、整理的过程中学会用适当的符号来表示这些现实情境中的简单现象，并提出一些力所能及的数学问题。第二学段，通过一些具体问题情境，引导学生猜想、观察、分析、抽象出更为一般的模式表达，如用字母表示各种平面图形的周长、面积公式，用字母表示各种立体图形的体积（容积）公式，用字母表示有关的运算律和运算性质等；

30、总结出路程、速度、时间，单价、数量、总价的关系式等。通过一些具体问题情境，指导学生实验、操作，抽象画图程序、定理、公式等。 总之，模型思想的渗透是多方位的。模型思想的感悟应该蕴涵于概念、公式、法则、定理、定律、性质等的教学之中，并与数感、符号意识、空间观念、计算能力、推理能力等的培养紧密结合，模型思想的建立是一个循序渐进的过程。 （二）使学生经历“问题情境建立模型求解验证”的教学活动过程 “问題情境建立模型求解验证”的教学活动过程体现了课标中的模型思想的基本要求，有利于学生在活动过程中经历发现、提出、分析和解决问题的过程，也有利于学生在活动过程中理解、掌握有关知识、技能，积累数学活动经验，感悟模型思想的本质。 上述活动过程完