圆锥曲线第三定义及扩展知识分享

1、学习资料2 x 在椭圆a圆锥曲线第三定义2二 1(a b 0)中，A, B两点关于原点对称，P是椭圆上异于 A, B两 b2点的任意一点,kpA,kpB 存在，则 kpA?kPBb2。(反之亦成立) a在双曲线24 1(a Qb 0)中，A, b2B两点关于原点对称,P是椭圆上异于A, B两点的任意一点，若kPA, kPB存在，则kpA?kPBb2。(反之亦成立)a焦点在Y轴上时,椭圆满足kpA?kpB2ab2，双曲线满足kpA ?kpB2 a b722例、已知椭圆 0 % 1(a b 0)的长轴长为4,若点P是椭圆上任意一点，过原点的 a b1直线l与椭圆相交与 M、N两点，记直线 PM、P

2、N的斜率分别为 k1、k2o若k1 k2=,4则椭圆的方程为。变式:1、设点A, B的坐标为(-2, 0), (2, 0),点P是曲线C上任意一点，且直线 PA与PB的1斜率之积为 一，则曲线C的方程为 。42、设点P是曲线C上任意一点，坐标原点是O,曲线C与X轴相交于两点 M (-2, 0),N (2, 0),直线PM, PN的斜率之积为3 ,则OP的最小值是4各种学习资料，仅供学习与交流学习资料3、已知 ABC的两个顶点坐标分别是(-8, 0), (8, 0),且AC, BC所在直线斜率之积为 m ( m 0),求顶点C的轨迹。22x V4、P是双曲线一r、1(a 0,b 0)上一点，M,

3、 N分别是双曲线的左右顶点，直线PM,a b1 TOC o 1-5 h z PN的斜率之积为，则双曲线离心率为。5225、已知椭圆 1的左右顶点分别是 A、B, M是椭圆上异于 A、B的动点，求证: 32kMA ?kMB 为定值。6、平面内与两定点 Ai( a,0) , A2(a,0) (a 0)连续的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上Ai、A2两点所成的曲线 C可以是圆、椭圆成双曲线.求曲线C的方程，并讨论C 的形状与m值得关系；各种学习资料，仅供学习与交流学习资料第三定义的应用,r , 1 X2例、椭圆4y2 1的左右顶点分别是A, B,点S是椭圆上位于 X轴上方的动点，直线AS,BS

4、与直线l ： X10八一分别交于点M、N,3求线段MN长度的最小值。2变式：已知A,B分别为曲线C:-+ y2 =1 (y 0,a0)与x轴的左、右两个交点，直线l过a点B,且与X轴垂直，S为l上异于点B的一点，连结 AS交曲线C于点T.(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧AB的三等分点，试求出点 S的坐标；各种学习资料，仅供学习与交流学习资料(II)如图，点M是以SB为直径的圆与线段 TB的交点，试问：是否存在a,使得O,M,S三点 共线？若存在，求出 a的值，若不存在，请说明理由。第三定义的变形kOA ?kOBb2a2 X 框架一：已知椭圆a2-yy1(a bb20) , A, B是椭圆上的两

5、动点，M为平面上一动点且满足OM OA uOB。则有如图框架。(已知任意两个，可以推导第三个)b22相应的双曲线中有kA?kB 与，当焦点在 Y轴上时，椭圆满足 kA?koB 告，双曲 ab各种学习资料，仅供学习与交流学习资料2线满足k0A ?%土n ob例、已知椭圆的中心为坐标原点 0,焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OA OB与a (3, 1)共线,(I)求椭圆的离心率;(n)设M为椭圆上任意一点，且0M OA OB ( , R),证明22 为定值.变式:2已知在椭圆xa21(a bb20) , A, B是椭圆上的两动点，M为椭圆上一动点满足 0M OA u

6、OB且 22=1,证明：kOA ? k0Bb22a各种学习资料，仅供学习与交流学习资料2 X框架二：已知椭圆-2 a24 1(a b 0), A, B是椭圆上的两动点, b2M为平面上一动点且b2满足OM OA uOB。则有如下框架：kOA?koB-ra2 y b2例、设动点P满足OP OM2ON ,其中，M,2N是椭圆41上的点,直线OM、ON的斜率之积为P的轨迹方程。变式：设动点 M满足OMOA uOB ,其中A、2B是椭圆当a2当1(a bb 0)上的点，且 kA?kob2二。证明：P的轨迹方程为a2 y b2各种学习资料，仅供学习与交流2 y b21(a b 0) 交于P(x1,x2)

7、,Q(x2, y2)两个不同的两学习资料2x框架二：已知动直线l与椭圆 a点，且 OPQ的面积为其中O为坐标原点。有如下框图。kop ? koQS OPQab222% y2b22x12X2a2x2例、已知直线l与椭圆C：3222(I)证明/ x2和y12.,y2均为定值1交于P x1, y1 , Q x2 y2两不同点，且 OPQ的面积$=手，其中O为坐标原点。(n)设线段PQ的中点为M ,求OM | PQ的最大值;(m)椭圆C上是否存在点D , E, G，使得 S odeS ODGS OEG?若存在,22x y 变式：已知l与椭圆2 a b判断 DEG的形状；若不存在，请说明理由1(a b 0)交于AJiXz，Ba?, y2)两个不同的两点，已知33 ,、m (ax1,by1),n (ax2,by2),若m?n 0 ,且椭圆离心