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1、三度在坐标系中的表示及一些重要公式三度在坐标系中的表示及一些重要公式 一、矢量微分算子（哈密顿算子）二、柱坐标、球坐标与直角坐标的关系 柱坐标与直角坐标的关系 球坐标与直角坐标的关系三、“三度”在坐标系中的具体表示形式（p278-279）四、关于“三度”的一些常用公式复合函数的 三度公式 积分变换公式 高斯公式 斯托克斯公式 利用混合积公式高斯公式 矢量场的散度 缩小到一点 若空间各点处处 则称 为无源场。 该点有源该点无源该点为负源 例子：求求 证明证：矢量场的环量（环流） 表明在区域内无涡旋状态，场线不闭合 表明在区域内存在涡旋状态，场线闭合 斯托克斯公式（定理） 矢量 沿任一闭合曲线 的

2、积分称为环量 定义 为矢量场的旋度，它在 法线方向上的分量为单位面积上的环量。刻画矢量场场线在空间某点上的环流特征。若空间各点 ，则称 为无旋场。 矢量场的旋度 当L无限小： 例子：证明同理证= 0证明 证：关于散度旋度的两个定理正定理：标量场的梯度必为无旋场， 即 逆定理：无旋场必可以表示为某一标量场的梯度。 即若 ，则 ， 称为无旋场 的标量 势函数。2. 正定理: 矢量场的旋度必为无散场，即 逆定理: 无源场必可表示为某个矢量场的旋度。 即若 ，则 ， 称为无源场 的矢量势函数。 亥姆霍兹定理 任意矢量场 均可分 解为无旋场 和无源场 之和。 即 可分解为 。 又称为 的横场部分，可引入标势 ， 又称为 的纵场部分，可引入矢势 ， 唯一性定理 定理： 在空间某一区域内给定场的散度和旋度以及

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