2021-2022学年高二物理竞赛课件：对解的物理意义讨论

1、对解的物理意义讨论对解的物理意义讨论a.束缚态与分立能级由解可知粒子被束缚在 (-a, a)小区域内，不可能到达无限远处。若粒子被束缚在 有限区域内，其状态为束缚态。若粒子可到达无限远处，其状态为非束缚态。束缚态一般而言，只要是束缚态，其能级肯定是分立的。可见，n 取负整数与正整数描写同一状态。 n为什么未取为0和负整数？若 n=0, 则 0=0, 由于波函数模平方正比于粒子出现的几率，因此， n=0 的态是没有意义的！从求解过程可以看到，仅从数学上看n 也可取负整数所谓的基态是指能量最低的态 在本问题中能量最低的态对应n=1的情况，因此基态能量为 这和经典粒子有本质的区别.在经典物理中，粒子

2、的能量可以为零，这意味着粒子静止，即粒子的坐标有确定值且动量为零。但在量子力学中，因为波粒二象性，坐标和动量不能同时确定，因此基态能量不能为零，这是微观粒子波动性的表现。 所谓的激发态是指基态以外的态 在本问题中，n2的态均为激发态，n=2、3、4对应的态分别为第一激发态、第二激发态、第三激发态. 相邻两激发态的能量间隔当量子数n很大时，量子效应消失而过渡到经典情况。相对能量间隔为：能量分立性消失波动性消失称波函数具有正宇称（或偶宇称）；称波函数具有负宇称（或奇宇称）；则波函数没有确定的宇称。宇 称奇宇称偶宇称本例题之所以有确定的宇称源于势场对原点的对称为什么到纳米尺度才能观察到量子效应？ 由

3、上面的讨论我们知道对于大量子数n，问题回到经典情况，这就是为什么当我们需要强调量子效应时，必须到纳米尺度时才有意义。电子的de Broglie波长 0.1 nmn=1 a0.025 nmn=10 a0.25 nmn=100 a2.5 nmn=1000 a25 nmn=10000 a250 nm线性谐振子 例质量为的粒子在势场 中运动，求粒子的能级及对应的波函数。在经典力学中，当质量为 的粒子，受弹性力F = -kx 作用，由牛顿定律可写出运动方程为：x =Asin(t +)何为谐振子这种运动称为简谐振动，作这种运动的粒子叫谐振子。量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运动的粒子axV

4、(x)0V0为何要研究谐振子自然界中随处可见简谐振动。事实上，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往作为复杂运动的初步近似，所以谐振子的研究无论理论还是在应用上都是很重要的。例:双原子分子，两原子间的势V 是二者相对距离x 的函数可见复杂势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述。处理线性谐振子的方法非常典型。 （1）写出Schrodinger方程Hamiton量Hamiton算符算符代替力学量(1)（2）方程简化利用引入参数，则方程变成： (1)(2)方程（2）是变系数的二阶常微分方

5、程。如果直接用幂级数方法求解，系数递推公式将会非常复杂，常用方法是先求方程的渐近解，然后再求方程再整个区间的解（这也是解Schrdinger方程的一种常用方法） （3）渐近解 为求解方程，我们先看一下它的渐近解，即当 时的行为。在此情况下， 2， 于是方程变为：以尝试解 代入并略去量级较小的项 (3)因此，方程(3)有两个解，分别为 和不满足波函数有限的条件，略去 所需要的波函数渐近解应当为 （4）由波函数标准条件确定出Schrodinger方程的解令 代入到方程（2）有 该方程称为厄米方程 (4)把H 展开成 的幂级数，即 代入到方程(4)可得 由的同次幂级数之和为零，得到递推公式(5)代入递推关系得：为满足波函数有限性要求，幂级数 H() 必须从某一项截断