新人教版八年级上册数学 12 3 角的平分线的性质 教学课件

1、问题一： 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角.你有什么办法？AOBC 再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？ 对折问题引入下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是DAB 的平分线你能说明它的道理吗？ ABDCE问题二： 如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？证明：在ACD和ACB中， AD = AB（已知）， DC = BC（已知）， CA = CA（公共边）, ACD ACB（SSS）CAD=CAB（全等三角形的 对应边相等）.AC平分DAB（角平

2、分线的定义）.ADBCE 问题三： 根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？OABCENOMCENMABOMNC1以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N3.画射线OC射线OC即为所求2分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在AOB的内部交于点C用尺规作角的平分线你能说明为什么射线OC 是AOB 的平分线吗？(1)平分平角AOB.(2)通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？(3)结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的

3、方法.ABOCD扩展巩固 如图，任意作一个角AOB，作出AOB的平分线OC.在OC 上任取一点P，过点P 画出OA，OB 的垂线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE 并作比较，你得到什么结论？在OC 上再取几个点试一试 通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？角的平分线的性质利用尺规可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？ 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论：_. PD PE 第一次第二次 第三次 PD = PE已知：AOC = BOC，点 P在OC上，PDOA，PEOB， 垂足分别为D，E求证：PD =PE猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等题设： 一

4、个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等证明: PD OA，PE OB， PDO= PEO=90. 在PDO和PEO中， PDO = PEO ， AOC = BOC ， OP = OP ， PDO PEO（AAS），PD = PE .OC是AOB的平分线， PDOA，PEOB，PD=PE几何语言：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线的性质的作用是什么？ 主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等角的平分线的性质的作用由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？（1）明确命题中的已知和求证；（2

5、）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程证明几何命题的一般步骤1.如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交叉处500 m. 这个集贸市场 应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？ 图上距离 = 0.025m = 2.5cm.运用新知图上距离500m120000=解：,P如图，作角平分线，再取离交点2.5cm即为P点.理由：P点在交叉口的角平分线上，所以P点到公路与铁路的距离相等.在此题的已知条件下，你还能得到哪些结论？2.如图，ABC中，BD = CD，AD 是BAC

6、的平分线， DEAB，DFAC，垂足分别为E，F求证：EB =FCABCDEF证明：AD是角平分线，DEAB，DFAC，DE = DF.在RtDEB和RtDFC中， DB=DC, DE=DF,RtDEBRtDFC（HL）.EB = FC.ABCDEF我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.反过来，到角的两边的距离相等的点是否在这个角的平分线上呢？质 疑角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论？探索角平分线的性质定理的逆定理 这个新结论正确吗？ 证明: QDOA，QEOB（已知）， QDOQEO90（垂直的定义）. 在RtQDO和

7、RtQEO中， QOQO（公共边）， QD=QE， RtQDORtQEO（HL）. QODQOE，即点Q在AOB的平分线上.已知：如图,QDOA，QEOB，点D，E为垂足，QDQE求证：点Q在AOB的平分线上证 明PDOA，PEOB， PD = PE，点P 在AOB的平分线上（OP 平分 AOB）几何语言：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上角平分线的性质定理的逆定理 这个结论可以判定角的平分线，而角的平分线的性质可用来证明线段相等这个结论与角的平分线的性质在应用上有 什么不同？角相等角平分线的性质定理和它的逆定理，揭示了“角相等”和“线段相等”之间的一种特殊关系.角平分线性质角平分线

8、性质定理的逆定理线段相等这为今后我们证明角相等，线段相等提供了一种解题思路.精讲例题例如图，ABC 的角平分线BM， 相交于点P求证：点P到三边AB，BC，CA 的距离相等证明：过P 点作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.BM 是ABC的角平分线，点P 在BM 上，PD = PE .同理 PE = PF . PD = PE = PF .即点P 到三边AB，BC，CA 的距离相等EDF1. 判断题：（1）如图，若QM =QN，则OQ 平分AOB；（ ）ABOQMN巩固拓展 （2）如图，若QMOA 于M，QNOB 于N，则OQ是AOB 的平分线； （ ）ABOQMN

9、（3）如图，OC 平分AOB，点P 在OC 上，PDOA，垂足为D若PD =3，则点P 到OB 的距离为3 （ ）ABOPCD （4）如图，Q 到OA 的距离等于2 cm， 且Q 到OB 距离等于2 cm，则Q 在AOB 的平分线上 （ ） ABOQMN2.如图，OP平分AOB，PCOA，PDOB，垂足分别是C、D下列结论中错误的是（ ） A.PC = PDB.OC = ODC.CPO =DPOD.OC = POD3. 如图，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A.1处B.2处C.3处D.4处D4. 如图，ABC的ABC的外角的平分线BD 与 ACB 的外角的平分线CE 相交于点 P . 求证：点P 到三边AB，BC，CA 所在直线的距离相等.证明：过点P作PMAC于M，PNBC于N，PQAB于Q.CE为M 的平分线，PM = PN，同理 PN = PQ，点P到三