2022年浙江省五校高考全国统考预测密卷数学试卷含解析

1、2021-2022 高考数学模拟试卷请考生注意：1请用 2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上， 请用 05 毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答 案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。R1已知集合A = x | x2 1, B = x | 3x 想 1，则A ( B)= ( )A x | x 想 0 B x | 0 x 1 C x | 一1 x 想 0 D x | x 一 12设抛物线C : y2

2、= 2px(p 0) 的焦点为 F,抛物线 C 与圆 C, : x2 + (y 一 3)2 = 3 交于 M,N 两点,若| MN |= 6 ,则MNF 的面积为( )A283B83 2C83 2D43下列不等式正确的是( )3A sin130 sin 40 log 4 B tan 226 想 ln 0.4 想 tan 48C cos (一20 )想 sin 65 想 lg11 D tan 410 sin 80 log 254已知 F1 , F2 分别为双曲线C : 一 = 1(a 0,b 0) 的左、右焦点，过F1 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别BF 42 AF 5 2交于A, B

3、两点，若AB . BF = 0, 2 = ，则双曲线C 的离心率为( )A 13 B 4 C 2 D 35给出50 个数 1 ， 2 ，4 ，7 ，11 ， ，其规律是：第1个数是1 ，第2 个数比第1个数大 1 ，第3 个数比第2 个数 大2 ，第4 个数比第3 个数大3 ，以此类推，要计算这50 个数的和现已给出了该问题算法的程序框图如图，请在图 中判断框中的处和执行框中的处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能( )A i 共 50 ；p = p + i B i 50 ；p = p + iC i 共 50 ；p = p + 1 D i 0) ，若函数y = f (x) 的图象恒在x 轴的

4、上方，则实数a 的取值范围为( )aA (|( , +w)| B (0,e) C (e, +w) D (|( ,1)|7函数 f(x) = ln (x2 + 1)的大致图象是 x3A B C D8已知数列 满足 ，且 ，则数列 的通项公式为( )A B C D9关于函数 f (x) = _ sin |(x _ 6 )|在区间|( 2 , )|的单调性，下列叙述正确的是( )( ) ( )A单调递增 B单调递减 C先递减后递增 D先递增后递减10秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出

5、了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、 x 的值分别为3 、1 ，则输出 v 的值为( )A 7 B 8 C 9 D 1011九章算术中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如4图， 在堑堵ABC 一 A B C 中， AC BC ， AA = 2 ，当阳马B 一 ACC A 体积的最大值为 时， 堑堵ABC 一 A B C 的1 1 1 1 1 1 3 1 1 1外接球的体积为( )4 A 8 2 364 2BD 332C 3312函数 f (x) = cos(2x + ) 的对称轴不可能为( )235 A x = 一 6B x =

6、 一 3 C x = 6D x = 3二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。10(2一x 一 1, x 共 0 313公比为正数的等比数列 an 的前n 项和为 S n ，若 a2 = 2 ， S4 一 5S2 = 0 ，则S6 一 S3 的值为_314在 ABC 中， 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，且c = 2,2sin A = sin C 若 B 为钝角， cos 2C = 一 ，则 ABC 4的面积为_(|x 共 215若 x ，y 满足|l，则x +2y 的最小值为_.lf (x 一 2), x 0 216已知函数 f (x) = ，若关于

7、x 的方程 f (x) = x + a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12 分)在平面四边形 ACBD(图)中， 编ABC 与编ABD 均为直角三角形且有公共斜边 AB ，设 AB = 2 ， BAD = 30。， BAC = 45。，将编ABC 沿 AB 折起，构成如图所示的三棱锥C, 一 ABD ，且使C,D = 2 .(1)求证：平面C,AB 平面DAB ；(2)求二面角 A 一 C,D 一 B 的余弦值.18(12 分)设椭圆 C : x2 + y2 = 1 的右焦点为 F ，过 F 的直线l

8、 与 C 交于A, B 两点，点M 的坐标为(2,0) 2(1)当直线l 的倾斜角为45。时，求线段AB 的中点的横坐标；(2)设点 A 关于x 轴的对称点为C，求证： M，B，C 三点共线；(3)设过点 M 的直线交椭圆于G, H 两点，若椭圆上存在点P，使得OG+ OH = 入 OP (其中 O 为坐标原点)，求实数入 的取值范围19(12 分)已知函数 f(x)= ax3 + bx2 ，当 x = 1 时，有极大值 3；(1)求a ，b 的值；(2)求函数 f(x)的极小值及单调区间.20(12 分)如图,在平面直角坐标系xOy 中, 以x 轴正半轴为始边的锐角a 的终边与单位圆O 交于

9、点A ,且点 A 的纵坐10标是 1、D(1)求 cos (|(a _ )| 的值:(2)若以x 轴正半轴为始边的钝角b 的终边与单位圆O 交于点 B ,且点B 的横坐标为_ 5 ,求a + b 的值 521(12 分)已知函数 f (x) =| x + 2 | + | x _ 3| .(1)解不等式 f (x) 共 3x _ 2 ；2a + 1 b + 1(2)若函数 f (x) 最小值为M ，且2a + 3b = M (a 0, b 0) ，求 1 + 3 的最小值.22(10 分)如图，在四棱锥P _ ABCD 中，底面是边长为 2 的菱形， 三BAD = 60。， PB = PD =

10、2 .(1)证明：平面PAC平面ABCD；1 6(2)设 H 在 AC 上， AH = AC ，若 PH = ，求 PH 与平面 PBC 所成角的正弦值. 3 3参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。【解析】( B) R先求出集合A，B，再求集合 B 的补集，然后求A【详解】A = x | _ 1 x 1, B = x | x sin 65 ，利用排除法，即可求解3【详解】由 sin 40 1 log 4,ln 0.4 0 tan 226 ,cos( 20 ) = cos 20 = sin 70 sin 65

11、，3可排除 A、B、C 选项，1又由 tan 410 = tan 50 1 sin80 = log 5 log 2 ，2 5 55所以tan 410 sin 80 log 2 故选 D【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及对数的比较大小问题，其中解答熟记三角函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题4、A【解析】由已知得AB BF2 ， = 4x ，由已知比值得= 5x, AB = 3x ，再利用双曲线的定义可用 a 表示出 AF 1 ，AF 2 ，用勾股定理得出a, c 的等式，从而得离心率【详解】AB . BF = 0, AB 士 0,BF 士 0,：

12、三ABF = 90o .又2 2 2BF 42 = ，：可令 BF = 4x ，则 AF = 5x, AB = 3x .设AF 5 2 22AF = t ，得 AF 一 AF = BF 一 BF = 2a ，即5x 一 t = (3x + t)一 4x = 2a ，解得t = 3a, x = a ，1 2 1 1 2 BF = 4a , BF = AB + AF = 6a ,2 1 11 2 1 2 a由 BF 2 + BF 2 = F F 2 得(6a)2 + (4a)2 = (2c)2 ， c2 = 13a2 ，c = 13a ，：该双曲线的离心率e = c = 13 .故选： A.【点睛

13、】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由向量数量积为0 得出垂直关系，利用双曲线的定义把双曲线上的点A, B 到焦点的距离都用a 表示出来，从而再由勾股定理建立a, c 的关系5、A【解析】要计算这50 个数的和，这就需要循环 50 次，这样可以确定判断语句，根据累加最的变化规律可以确定语句.【详解】因为计算这50 个数的和，循环变量i 的初值为 1，所以步长应该为 1，故判断语句应为i = i +1 ，第1个数是1，第2个数比第1个数大 1，第3 个数比第2 个数大2 ，第4 个数比第3 个数大3 ，这样可以确定语句为p = p + i ，故本题选 A.【点睛】本题考查了补充循环结构，正确读

14、懂题意是解本题的关键.6、B【解析】函数y = f (x) 的图象恒在x 轴的上方， ex 一 x 0 在(0,+w )上恒成立.即 ex x ，即函数 y = ex 的图象在直线 y = xa a aex上方，先求出两者相切时a 的值，然后根据a 变化时，函数 y = 的变化趋势，从而得a 的范围 a【详解】由题 ex - x 0 在(0,+w )上恒成立.即 ex x ，a ay = ex 的图象永远在y = x 的上方，a( ex0设 y = 与y = x 的切点(x0 , y0 )，则 ，解得 a = e ，|l a = x0易知a 越小， y = ex 图象越靠上，所以0 a e .

15、a故选： B 【点睛】 本题考查函数图象与不等式恒成立的关系，考查转化与化归思想，首先函数图象转化为不等式恒成立，然后不等式恒 成立再转化为函数图象，最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值，然后得出参数范围 7、A 【解析】 利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断. 【详解】 由题意可知函数 f(x)为奇函数，可排除 B 选项； 当x ln1027 ， 即 f(1)(3)，可排除 C 选项，故选： A【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题8、D【解析】试题分析： 因为 ，所以 ，即 ，所以数列 是以 为首项，公比为 的等比数列， 所以 ，即 ，所以数列 的通项

16、公式是 ，故选 D考点：数列的通项公式9、C【解析】 6 3 先用诱导公式得 f (x) sin x cos x ,再根据函数图像平移的方法求解即可.【详解】 6 3 3 2 函数 f (x) sin x cos x 的图象可由y cos x 向左平移 个单位得到,如图所示, f (x) 在 , 上先递减后递增.故选： C【点睛】本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.10、B【解析】列出循环的每一步，由此可得出输出的v 值.【详解】由题意可得：输入n 3 ， x 1 ，v 2 ，m 3 ；第一次循环， v 21 3 5 ， m 3 1 2 ， n 31 2 ，继续循环；第二次循环，

17、 v 51 2 7 ， m 2 1 1 ， n 2 1 1 ，继续循环；第三次循环， v 711 8 ，m 11 0 ， n 11 0 ，跳出循环；输出v 8 .故选： B.【点睛】本题考查根据算法框图计算输出值，一般要列举出算法的每一步，考查计算能力，属于基础题.11、B【解析】利用均值不等式可得V = 1 BC . AC . AA = 2 BC . AC 共 1 (BC2 + AC2 )= 1 AB2 ,即可求得 AB ,进而求得外接B一ACC1A1 3 1 3 3 3球的半径,即可求解.【详解】由题意易得 BC 平面ACC A ,1 1所以V = 1 BC . AC . AA = 2 B

18、C . AC 共 1 (BC2 + AC2 )= 1 AB2 ,B一ACC1A1 3 1 3 3 3当且仅当AC = BC 时等号成立,又阳马B 一 ACC A 体积的最大值为 41 1 3 ,所以 AB = 2 ,所以堑堵ABC 一 的外接球的半径R = (|(A1 )|2 + (|()|2 = 2 ,4 8 2所以外接球的体积V = 几 r3 = 几 ,3 3故选:B【点睛】本题以中国传统文化为背景,考查四棱锥的体积、 直三棱柱的外接球的体积、 基本不等式的应用,体现了数学运算、 直观 想象等核心素养.12、D【解析】由条件利用余弦函数的图象的对称性，得出结论【详解】对于函数 f (x )

19、= cos (|(2x + )| ，令2x+ = k几 , k = Z ，解得 x = k 一 , k = Z ，5几 几 几当k = 一 1,0,1 时，函数的对称轴为x = 一 ， x = 一 ， x = .6 3 6故选： D.【点睛】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、56【解析】根据已知条件求等比数列的首项和公比，再代入等比数列的通项公式，即可得到答案.【详解】2 4 2a = 2 ， S _ 5S = 0 ，(a q = 2,： a (1_ q4 ) a (1_ q2 ) 亭 1 |l 1 1_ q = 5

20、 1 1_ q , lq = 2,：S _ S = a + a + a = 23 + 24 + 25 = 56 . 6 3 4 5 6| 1 (a = 1,故答案为： 56 .【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求 解能力.3 714、8【解析】c转化2sin A = sin C 为a = 2 ，利用二倍角公式可求解得cosC ，结合余弦定理 c2 = a2 + b2 _ 2ab cosC 可得 b，再利用面积公式可得解.【详解】因为c = 2,2sin A = sin C ，c所以 a = = 1 23又因为cos 2

21、C = _ ，且C 为锐角，42 14所以 cos C = ,sin C = 4 4由余弦定理得c2 = a2 + b2 _ 2ab cosC ，即 4 = 1+ b2 _ 2b 根 2 ，解得 b = 3 2 ，4 214 3 7=4 8所以 S = 1 ab sin C = 1 1 3 2 ABC 2 2 23 7故答案为：8【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 15 5【解析】先作出可行域，再做直线l : y = 1 x ，平移l ，找到使直线在 y 轴上截距最小的点，代入即得。2【详解】作出不等式组表示的平面区域，如

22、图，令z = x + 2y ，则 y = 1 x + 1 z ，作出直线l : y = 1 x ，平移直线l ，由图可2 2 2得， 当直线经过 C 点时， 直线在 y 轴上的截距最小， 由 ，可得C(2,1) ，因此x + 2y 的最小值为2 + 2 1 = 4 .(x = 2x + y = 3故答案为： 4【点睛】本题考查不含参数的线性规划问题，是基础题。16 (,3)【解析】画出函数 f (x) 的图象，再画y = 3 x + a 的图象，求出一个交点时的a 的值，然后平行移动可得有两个交点时的a 的范2围【详解】函数 f (x) 的图象如图所示：3因为方程 f (x) = x + a

23、有且只有两个不相等的实数根，23所以y = f (x) 图象与直线 y = x + a 有且只有两个交点即可，23当过(0,3) 点时两个函数有一个交点，即a = 3 时， y = x + a 与函数 f (x) 有一个交点，2由图象可知，直线向下平移后有两个交点，可得a 0 ，整理得k2 ，又 x + x = , x x = ，3 4 3 4 1+ 2k2所以 y + y = k(x + x _ 4) = _ 4k ，结合 OG + OH = 入 OP ，得入x = x + x , 入y = y + y ，0 3 4 0 3 4当入 = 0 时，该直线为x 轴，即y = 0，|l 0 入 1

24、 + 2k2此时椭圆上任意一点 P 都满足OG+ OH = 入 OP ，此时符合题意；( 1 8k2 |y = 1 . 一4k 入2 (1+ 2k2 )2 入2 (1+ 2k2 )2当入 才 0 时，由OG+ OH = 入 OP ，得|x0 = 入 . 1 + 2k2 ，代入椭圆 C 的方程，得 32k4 + 16k2 = 1 ，整理，入 2 = 16k2 = 16得 1 + 2k2 1 + 2 ，k2再结合k2 1 ，得到 0入 2 0 ，即 一 18x(x 一 1) 0 ，解得0 想 x 想 1，令 f ,(x)想 0 ，即 一 18x(x 一 1) 想 0 ，解得x 想 0 或x 1 ，

25、所以函数的单调减区间为(一w,0),(1, +w) ，递增区间为(0,1)，当x = 0 时，函数取得极小值，极小值为f (0) = 0 .当x = 1 时，有极大值 3.【点睛】本题主要考查了函数的极值的概念，以及利用导数求解函数的单调区间和极值，其中解答中熟记函数的极值的概念， 以及函数的导数与原函数的关系，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20、(1) _ 5 (2) a + b = 3几 5 4【解析】(1)依题意,任意角的三角函数的定义可知, sin a = 10 ,进而求出cosa = 3 10 10 10在利用余弦的和差公式即可求出cos (|(a _

26、)| .(2)根据钝角b 的终边与单位圆交于点B ,且点 B 的横坐标是_ 5 ,得出cos b = _ 5 ,进而得出sin b = 2 5 ,利用 5 5 5正弦的和差公式即可求出sin(a + b)= 2 ,结合a 为锐角, b 为钝角,即可得出a + b 的值.2【详解】10,解：因为锐角a 的终边与单位圆交于点A ,点 A 的纵坐标是10所以由任意角的三角函数的定义可知, sin a = 10 10从而cosa = 1 _ sin 2 a = 3 10 10(1)于是 cos (|(a _ )| = cosa cos + sina sin = 10 根 |(_ 2 )| + 10 根

27、 |( 2 )| = _ 5 3 10 ( 2 ) 10 ( 2 ) 5(2)因为钝角b 的终边与单位圆交于点B ,且点 B 的横坐标是_ 5 , 5所以cos b = _ 5 ,从而 sin b = 1 _ cos2 b = 2 5 5 5于是sin(a + b)= sina cosb + cosa sinb= 10 根 |(_ 5 )| + 10 根 5 = 2 10 ( 5) 3 10 2 5 2因为a 为锐角, b 为钝角,所以a + b = (|( , 3 )|33从而a + b = 3 4【点睛】本题本题考查正弦函数余弦函数的定义,考查正弦余弦的两角和差公式,是基础题.921、(1

28、) , +w)| (2) 16【解析】(1)利用零点分段法，求得不等式的解集.2a + 1 b + 1(2) 先求得 f(x)5，即2a + 3b = 5(a 0,b 0) ，再根据“1 的代换”的方法， 结合基本不等式， 求得 1 + 3的最小值.【详解】(1)当x ，无解； 5当 -2 共 x 共 3 时， x +2 - x +3 共 3x - 2 ，即 7 共 x ，得 7 共 x 共 3 ；3 3当x 3 时， x +2 + x - 3 共 3x - 2 ，即x 1 ，得x 3 .故所求不等式的解集为| , +w | . 7 )L 3 )(2)因为 f (x) =| x + 2 | + | x - 3| | (x + 2) - (x - 3) |= 5 ，所以2a + 3b = 5(a 0,b 0) ，则2a + 1 +