基本不等式知识点归纳2

1、精品文档向量不等式：基本不等式学问点总结 |a|b| |ab| |a|b|【留意】： a b、 同向或有 0|ab| |a| | b | | | |ab ；a b、 反向或有 0|ab| | | | b |a| | |ab ；a b、 不共线| | | |ab| |a| | b .这些和实数集中类似代数不等式 ：a b 同号或有 0|ab| |a| | | |ab|；0时取得等号 .）a b 异号或有 0|ab| |a| | |a| |ab|. 肯定值不等式：a1a2a3a 1a2a3ababab ab0 时, 取等双向不等式：ababab（左边当ab 00时取得等号,右边当ab0放缩不等式：

2、ab0,am0,就b ambbm. . a b. x, 0. maam【说明】：b abm（ab0,m0,糖水的浓度问题）am【拓展】：ab0,m0,n0,就bbm1anaambna b cR ,b ad,就bbdd；caaccob nN ,n1n21nnn1；nN,n1,1n111n111. nn2n lnx1xx0,exx1xR . 函数f x axba、b0图象及性质x1函数fx axba、b0图象如图：b2yxab2函数fx axba、b0性质：ax2abab值域：,2ab2ab,；b单调递增区间：,b,b,；单调递减区间：0,aaaa精品文档精品文档基本不等式学问点总结重要不等式2

3、21、和积不等式：a b R a b2 ab 当且仅当 a b 时取到 “” 2 2 2 2【变形】： ab a b 2a b（当 a = b 时, a b 2 a bab）2 2 2 2【留意】：aba b , a b R ,ab a b , 2a b R 2 22、均值不等式：两个正数 a、b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系,即“ 平方平均 算术平均 几何平均 调和平均 ”2 22 2 ababa ba b（当且仅当 a b 时取“”）1 1 a b 2 2a b*. 如 x 0,就 x 1 2 当且仅当 x 1 时取“= ”）; x如 x 0,就 x 12 当且仅

4、当 x 1 时取“= ”）x如 x 0,就 x 1 2 即 x 1 2 或 x 1-2 当且仅当 a b 时取“= ”）x x x*. 如 ab 0,就 a b 2 当且仅当 a b 时取“= ” ）b a如 ab 0,就 a b2 即 a b2 或 a b-2 当且仅当 a b 时取“= ” ）b a b a b a3、含立方的几个重要不等式（a、b、c 为正数）：3 3 3a b c3 abc（a b c 0 等式即可成立 ,a b c 或 a b c 0 时取等）；3 3 33abca b cabc a b c 3a b c3 3 3* 不 等 式 的 变 形 在 证 明 过 程 中 或

5、 求 最 值 时 , 有 广 泛 应 用 , 如 ： 当 ab 0 时 ,a 2b 22 ab 同时除以 ab 得 b a2 或 b1 1 a；a b a b2* a ,b , 均为正数,a2 a bb2 2 2 2八种变式： ab a b； ab a b 2； a b 2 a b2 2 2 22 a b 2 a 2b 2；如 b0,就 a2 a b； a0,b0,就 1 1 4；b a b a b如 a0,b0,就 1 1 2 4； 如 ab 0,就 12 12 1 1 1 2；a b ab a b 2 a b上述八个不等式中等号成立的条件都是“a b” ；精品文档精品文档最值定理（积定和最

6、小） , x y0, 由xy2xy,如积xyP 定值,就当 xy 时和 xy 有最小值 2p ；（和定积最大） , x y0, 由xy2xy,如和xyS 定值 ,就当 xy 是积 xy 有最大值12 s .4【推广】：已知x,yR,就有xy 2xy22xy. （1）如积 xy是定值, 就当|xy|最大时,|xy|最大； 当|xy|最小时,|xy|最小 . （2）如和|xy|是定值,就当|xy|最大时,| xy 最小；当|xy|最小时,| xy 最大 . 已知a x b yR,如axby1,就有就的最小值为：11axby11abbyaxab2ab ab2xyxyxy已知,如就和的最小值为：. 应

7、用基本不等式求最值的“ 八种变形技巧”：凑系数（乘、除变量系数）.例 1.当 0 x 4 时,求函的数 y x 8 2 x 最大值 . 凑项（加、减常数项） ：例 2.已知 x 5,求函数 f x 4 x 2 1的最大值 . 4 4 x 52x 7 x 10调整分子：例 3.求函数 f x x 1 的值域；x 12 2 变 用 公 式 ： 基 本 不 等 式 a b ab 有 几 个 常 用 变 形 , a b a b,2 2 22 2a b a b 2 不易想到,应重视；2 2例 4.求函数 y 2 x 1 5 2 1 x 5 的最大值；2 2连用公式：例 5.已知 a b 0,求 y a

8、2 16的最小值；b a b 对数变换：例 6.已知 x 1 , y 1,且 xy e ,求 t 2 ln y的最大值；2三角变换：例 7.已知 0 yx,且 tan x 3tan y ,求 t x y 的最大值；2常数代换 （逆用条件）：例 8.已知 a 0, b 0,且 a 2 b 1,求 t 1 1的最小值 . a b精品文档精品文档“ 单调性” 补了“ 基本不等式” 的漏洞：平方和为定值2 2如 x y a （ a 为 定 值 ,a 0）, 可 设 x a cos , y a sin , 其 中02 . f x y , x y a sin a cos 2 sin 在 0, 1 , 5

9、,2 上是4 4 4增函数,在 1 , 5 上是减函数；4 4 g x y , xy 1 a sin 2 在 0, 1 , 3 , 5 , 7 ,2 上 是 增 函 数 , 在2 4 4 4 4 1 , 3 , 5 , 7 上是减函数；4 4 4 4 m x y , 1 1 x y sin cos.令 t sin cos 2 sin ,x y xy a sin cos 4其中 t 2, 1 1,1 1, 2 .由 t 21 2sin cos,得 2sin cos t 21,从而 m x y , a t 22 t1 a t 21 在 2, 1 1,1 1, 2 上是减函数 . t和为定值如 x

10、y b（ b 为定值,b 0）,就 y b x . g x y xy x 2bx 在 , b 上是增函数,在 b , 上是减函数；2 2 m x y , 1 1 x y2 b.当 b 0 时,在 ,0,0, b 上是减函数,在x y xy x bx 2 b b , , , 上是增函数； 当 b 0 时,在 , , , b 上是减函数, 在 b ,0,0, 上2 2 2是增函数 . n x y x 2y 22 x 22 bx b 在 2, b 上是减函数,在 b , 上是增函数；2 2精品文档精品文档积为定值如 xy,c（ c 为定值,c0）,就yc.xf x y , xyxc. 当c0时 ,

11、在 c, 0 , 0 ,上 是 减 函 数 , 在 x,c,c上是增函数；当c0时,在 ,0,0, 上是增函数；11xxyy1xc.当c0时,在 c,0,0,c 上是减函数,m x y , 在 xycx,c,c,上是增函数；当c0时,在 ,0,0, 上是减函数；x2y2x2c2xc22c在 ,c,0,c 上是减函数,在n x y , x2xc,0,c,上是增函数 . 倒数和为定值0,如1 x12（ d 为定值,1 1 1 x d y）,就yc.成等差数列且均不为零,可设公ydx差为 z ,其中z1,就1 x1z ,11z,得x1d,y1d. ddzdzdydf x xy12d. 当d0时 , 在,1,1,0上 是 减 函 数 , 在2 2d zdd1, 1d1 ,d,1上 是 增 函 数 ； 当d0时 , 在,1,1,0上 是 增 函 数 , 在ddd上减函数；0,d0,g x yxy1d22. 当d0时 , 在,1,1 ,0 上 是 减 函 数 , 在d1 ,0