各种矩阵 三角矩阵 正定矩阵 正交矩阵 伴随矩阵

1、二对角矩阵在线性代数中,一个三对角矩阵是矩阵的一种,它“几乎”是一个对角矩阵。准确来说：一个三对角矩阵的非零系数在主对角线上，或比主对角线低一行的对角线上，或比主对角线高一行的对角线上。例如，下面的是三对角矩阵：/I400341002340013/性质三对角矩阵是海森堡矩阵。尽管一般的三对角矩阵不一定是对称或埃尔米特矩阵，许多解线性代数问题时出现的矩阵却往往有这些性质。进一步如果一个实三对角矩阵A满足akk+1ak+1k0，所以它元素的符号都为正，从而相似于一个埃尔米特矩阵，这样特征值都是实数。后一个推论如果我们将条件akk+1ak+1k0换为akk+1ak+1k鼻0，结论仍然成立。所有nXn

2、三对角矩阵的集合组成一个3n-2维向量空间。许多线性代数算法应用于对角矩阵时所需计算量特别少，这种改进也经常被三对角矩阵继承。譬如，一个n阶三对角矩阵A的行列式能用continuant(Continuant)的递归公式计算：血4=说应d-et_1,_-_厲1%氾1%gdet4_1,_,仇.这里山-小川是第k个主子式，即.-0。其中Zt表示z的转置。对于复数的情况，定义则为：一个nXn的埃尔米特矩阵M是正定的当且仅当对于每个非零的复向量z,都有z*Mz0。其中z*表示z的共轭转置。由于M是埃尔米特矩阵,经计算可知，对于任意的复向量z,z*Mz必然是实数，从而可以与0比较大小。因此这个定义是自洽的

3、。正定阵的判别对nXn的埃尔米特矩阵M,下列性质与“M为正定矩阵”等价：矩阵M的所有的特征值A都是正的。根据谱定理,M必然与一个实对角矩阵D相似（也就是说M=P1DP,其中P是幺正矩阵，或者说M在某个正交基可以表示为一个实对角矩阵）。因此，M是正定阵当且仅当相应的D的对角线上兀素都是正数。半双线性形式定义了一个Cn上的内积。实际上，所有Cn上的内积都可看做由某个正定阵通过此种方式得到。M是n个线性无关的n维向量乂：-的Gram矩阵，其中的k为某个正整数。更精确地说，M定义为：换句话说，M具有A*A的形式，其中A不一定是方阵，但需要是单射的。M的所有顺序主子式,也就是顺序主子阵的行列式都是正的（

4、西尔维斯特准则）。明确来说，就是考察下列矩阵的行列式：M左上角1x1的矩阵M左上角2x2矩阵.M自身。对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。比如以下例子：_11f111110存在唯一的下三角矩阵厶，其主对角线上的元素全是正的，使得：M=LL*.其中L*是L的共轭转置。T这一分解被称为Cholesky分解。对于实对称矩阵，只需将上述性质中的改为:?.，将“共轭转置”改为“转置”就可以了。二次型由以上的第二个等价条件，可以得到二次型形式下正定矩阵的等价条件:用氏代表二或I：.，设“是三上的一个向量空间。一个埃尔米特型:B:VxVTK是一个双线

5、性映射，使得B(x,y)总是B(y,x)的共轭。这样的一个映射B是正定的当且仅当对丁中所有的非零向量x,都有B(x,x)0。负定、半定及不定矩阵与正定矩阵相对应的，一个nXn的埃尔米特矩阵M是负定矩阵当且仅当对所有不为零的:(或-)，都有:兀皿0m是半负定矩阵当且仅当对所有不为零的；(或n，都有：(。这个记法来自泛函分析，其中的正定阵定义了正算子。对于一般的埃尔米特矩阵，M、N，一“上t当且仅当-VA)。这样可以定义一个在埃尔米特矩阵集合上的偏序关系。类似地，可以定义MN。每个正定阵都是可逆的，它的逆也是正定阵。如果二-V那么如果M是正定阵，厂0为正实数，那么rM也是正定阵。如果M、N是正定阵

6、，那么和M+N、乘积MNM与NMN都是正定的。如果MN=NM,那么MN仍是正定阵。如果M=(m.)0那么主对角线上的系数mu为正实数。于是有tr(M)0。此外还有HjI卯两70使得B2=M。根据其唯一性可以记作B=M1/2,称B为M的平方根。对半正定阵也有类似结论。同时，如果MN0那么M1/2N1/20.如果M,N0那么.-)，其中C-Q表示克罗内克乘积对矩阵M=(mj),N=(n)，将两者同一位置上的系数相乘所得的矩阵记为U即=；J.，称为M与N的阿达马乘积。如果M,N0，那么/门.V0o如果M,N为实系数矩阵，则有如下不等式成立：det(AfojV)(detjV)口叫设M0，N为埃尔米特矩

7、阵。如果-VA-A.W上(MN+NM0)，那么工上门(N0)。如果-iA.v二为实系数矩阵，贝ym上。如果M0为实系数矩阵，那么存在(5使得匸订，其中I为单位矩阵非埃尔米特矩阵的情况一个实矩阵M可能满足对所有的非零实向量X，xtMx0而并不是对称矩阵。举例来说,矩阵匕;1就满足这个条件。对X=(X,X)T并且12一般来说，一个实系数矩阵M满足对所有非零实向量X，有xtMx0,当且仅当对称矩阵(M+Mt)/2是正定矩阵。对于复系数矩阵，情况可能不太一样。主要看的是怎扩展z*Mz0这一性质。要使z*Mz总为实数，矩阵M必须是埃尔米特矩阵。因此，若z*Mz总是正实数，M必然是正定的埃尔米特矩阵。如果

8、将z*Mz0扩展为Re(z*Mz)0,则等价于(M+M*)/2为正定阵。伴随矩阵在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。定义参见：子式和余子式、余因子矩阵及转置矩阵设R是一个交换环,A是一个以R中元素为系数的nxn的矩阵。A的伴随矩阵可按如下步骤定义：定义:A关于第/行第j列的余子式（记作M”）是去掉A的第/行第j列之后得到的（门-1）X（n-1）矩阵的行列式。定义：A关于第i行第j列的代数余子式是：定义:A的余子矩阵是一个nXn的矩阵C,使得其第i行第j

9、列的元素是A关于第i行第j列的代数余子式。引入以上的概念后，可以定义：矩阵A的伴随矩阵是A的余子矩阵的转置矩阵：o也就是说，A的伴随矩阵是一个nXn的矩阵（记作adj（A），使得其第i行第j列的元素是A关于第j行第i列的代数余子式：例子编辑2x2矩阵一个2/2矩阵的伴随矩阵是编辑3x3矩阵其伴随矩阵是:4曲4鮎+arijA)=川31貝3321卫22十31川32其中AisA12A13+冲22月23冲1113月：H川侣+31貝関21貝231112貝114血+血1玉2要注意伴随矩阵是余子矩阵的转置，第3行第2列的系数应该是A关于第2行第3列的代数余子式。具体情况对于数值矩阵，例如求矩阵的伴随矩阵M；

10、，只需将数值代入上节得到的表达式中。例如第2行第3列的代数余子式为-323-4=-(-3)-(-4)-2-3)=-6因此伴随矩阵中第3行第2列的位置上是-6。/-3计算后的结果是:应用adj(Af)=adj(-104Z-8-5I41812-6作为拉普拉斯公式的推论，关于nXn矩阵A的行列式，有:Aadj(A)=adj(A)A=det(A)I住)其中I是n阶的单位矩阵。事实上，Aadj(A)的第i行第i列的系数是52%Gj。根据拉普拉斯公式，等于A的行列式。如果i丰j,那么Aadj(A)的第i行第j列的系数是11。拉普拉斯公式说明这个和等于0(实际上相当于把A的第j行元素换成第i行元素后求行列式

11、。由于有两行相同，行列式为0)。由这个公式可以推出一个重要结论：交换环R上的矩阵A可逆当且仅当其行列式在环R中可逆。这是因为如果A可逆，那么1=dt(I)=dt.(AA_1)=血t(A)det(A如果det(A)是环中的可逆元那么公式(*)表明A-1=det(A)_1adj(A)编辑性质对nXn的矩阵A和B，有：1.2.adj(AB)=adj(B)adj(A)3.adj(Ar)=adj(A)r4.det.(adj(A)=血t(AT5.adj(*A)=adj(A)adj(I)=I6.当n2时，讪MA；二二A如果A可逆，那么川如果A是对称矩阵，那么其伴随矩阵也是对称矩阵；如果A是反对称矩阵，那么当

12、n为偶数时，A的伴随矩阵也是反对称矩阵，n为奇数时则是对称矩阵。如果A是(半)正定矩阵，那么其伴随矩阵也是(半)正定矩阵。如果矩阵A和B相似，那么至；和迁山也相似。11.如果n2,那么非零矩阵A是正交矩阵当且仅当立：:計伴随矩阵的秩当矩阵A可逆时，它的伴随矩阵也可逆，因此两者的秩一样，都是n。当矩阵A不可逆时，A的伴随矩阵的秩通常并不与A相同。当A的秩为n-1时，其伴随矩阵的秩为1，当A的秩小于n-1时，其伴随矩阵为0。伴随矩阵的特征值设矩阵A在复域中的特征值为九(即为特征多项式的n个根)，则A的伴随矩阵的特征值为入人；、入爪。显示证明伴随矩阵和特征多项式XQ)-pW设p(t)=det(Atl

13、)为A的特征多项式，定义厂/，那么：adj(A)=A)=(.PiI+pA+P3A2+PnA叽1),其中Pj是p(t)的各项系数：P(t)=p(y+Pit+p2t2+pf伴随矩阵也出现在行列式的导数形式中。6置换矩阵在数学中的矩阵论里，置换矩阵是一种系数只由0和1组成的方块矩阵。置换矩阵的每一行和每一列都恰好有一个1,其余的系数都是0。在线性代数中,每个n阶的置换矩阵都代表了一个对n个元素（n维空间的基）的置换。当一个矩阵乘上一个置换矩阵时，所得到的是原来矩阵的横行（置换矩阵在左）或纵列（置换矩阵在右）经过置换后得到的矩阵。严格定义每个n元置换都对应着唯一的一个置换矩阵。设n为一个n元置换:7T

14、：17讣T1机给出其映射图：它对应的nXn的置换矩阵P是：在第i横行只有n（i）位置上系数为1,其余为0。即可以写做：“其中每个。表示正则基中的第j个，也就是一个左起第j个元素为1,其余都是0的n元横排数组。由于单位矩阵是置换矩阵也可以定义为单位矩阵的某些行和列交换后得到的矩阵。性质对两个n元置换n和a的置换矩阵P和P，有na一个置换矩阵p必然是正交矩阵（即满足=），并且它的逆也是置换矩阵:n叮=凡-1=可用置换矩阵P左乘一个列向量g所得到的是g的系数经过置换后的向量:n用置换矩阵P右乘一个行向量h所得到的是h的系数经过置换后的向量:n置换矩阵与置换设S是n次对称群，由于n置换一共有n!个，n

15、阶的置换矩阵也有n!个。这n!个置n换矩阵构成一个关于矩阵乘法的群。这个群的单位元就是单位矩阵。设A是所有n阶的置换矩阵的集合。映射S-AGL(n,Z)是一个群的忠实表示。n2对一个置换O，其对应的置换矩阵P是将单位矩阵的横行进行o置换，或者将单位矩O阵的横行进行o1置换得到的矩阵。置换矩阵是双随机矩阵的一种。伯克霍夫-冯诺伊曼定理说明每个双随机矩阵都是同阶的置换矩阵的凸组合，并且所有的置换矩阵构成了双随机矩阵集合的所有端点。置换矩阵P的迹数等于相应置换o的不动点的个数。设a、a、a为其不动点的TOC o 1-5 h z、o12k序号，则e、e、e是P的特征向量。ala2ako由群论可以知道，每个置换都可以写成若干个对换的复合。由此可知，置换矩阵P都可以写成若干个表示两行交换的初等矩阵的乘积。P的行列式就等于o的符号差。o例子对应于置换n=(14253)的置换矩阵P是n给定