直线与二次曲线

1、16 4m(*)3P,代B,C共线且P在线段AB 上,- 2X1_云2X22 a直线与二次曲线题型预测直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重主要涉及弦长、 弦中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题解题中要充分重视韦 达定理和判别式的应用.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的 分布找范围，曲线定义不能忘” 范例选讲例1.已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆x物线的定义可知：AF =点A到直线x=啲距离=2 .所以，【4x2 y2 = 2 .2 所以，抛物线顶点G的轨迹C的方程为：x2 丿 1 x= 1 . (U)因为m是弦MN的垂直平分线与y轴交点的纵

2、坐标，由MN所唯 一确定.所以，要求m的取值范围，还应该从直线l与轨迹C相交入手. y10 x 20 = 0 相切.过点P -4,0作斜率为1的直线I，使得I和G交于A,B两点，和y轴2交于点c，并且点P在线段AB上，又满足PA - PB| = PC .(I)求双曲线G的渐近线的方程；(U)求双曲线G的方程；(E)椭圆S的中心在原点，它的短轴是G的实轴.如果S中垂直于I的 平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，求椭圆S的方程.讲解：(I)设双曲线G的渐近线的方程为：y二kx，则由渐近线与圆 |5k|x2 y2 -10 x 20 =0 相切可得：5 .2Vk +11所以，k .2双曲

3、线G的渐近线的方程为：y =.2(U)由(I)可设双曲线G的方程为：x2-4y2=m .1把直线I的方程y x代入双曲线方程，整理得3x2 -8x -16-4m = 0 .48则 xA x , XaXb3v PA，PB|=|PC ，2 2(川)由题可设椭圆S的方程为：= 1 a 2行.下面我们来求 28 a2出S中垂直于l的平行弦中点的轨迹.设弦的两个端点分别为M x1, y1 ,N x2,y2 ，MN的中点为P x,y，贝U两式作差得：g严4al=0由于 上=-4，为 X2 = 2x0,% y2 二 2y% - x2所以，兰_马 ,28 a2所以，垂直于l的平行弦中点的轨迹为直线 = 0截在

4、椭圆S内的28 a2部分.又由题，这个轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，所以，旦=丄.所 112 22 2以，a2 = 56，椭圆S的方程为：1 .2856点评：解决直线与圆锥曲线的问题时，把直线投影到坐标轴上(也即化 线段的关系为横坐标(或纵坐标)之间的关系)是常用的简化问题的手段； 有关弦中点的问题，常常用到“设而不求”的方法；判别式和韦达定理是解 决直线与圆锥曲线问题的常用工具).例2 .设抛物线过定点A -1,0，且以直线x = 1为准线.(I)求抛物线顶点的轨迹C的方程；(U)若直线l与轨迹C交于不同的两点 M , N，且线段MN恰被直线1x八？平分，设弦MN的垂直平分线的方程为y

5、=kx，m，试求m的取值范围.讲解：(I)设抛物线的顶点为G x,y，则其焦点为F 2x-1,y .由抛2 Xp -Xa Xb -Xp 二 Xp -Xc ，即：Xb4-4-Xa=16，整理得：4Xa，XbXaXb3 0将(*)代入上式可解得：m = 28 .2 2所以，双曲线的方程为x - y =1.287显然，直线丨与坐标轴不可能平行，所以，1l : y 丄x b，代入椭圆方程得：k设直线l的方程为4k2 +12 2bx u2, cx -+b 4 = 0 k由于I与轨迹C交于不同的两点4b2 44k24上式得：k =-卫.又点ply/|在弦MN的垂直平分线上，所以,I 2*丿,3m = yk

6、y.4M,N ，1y - k m .所以，2由点P -, y0在线段12，丿1BB 上（B为直线_2与椭圆的交点，如*4k2 +1b2 -4 O即卩4k2 -k2b2 10 k = 0 .严图），所以，yB，c y0 c yB .也即：-J3 y0 J3 .1又线段MN恰被直线-平分，所以,Xm Xn2bk4k224k2 +1所以，bk二空 1-23代入（*）可解得：- :k2下面，只需找到m与k的关系，即可求出m的取值范围. 为弦MN的垂直平分线，故可考虑弦 MN的中点由于y = kx m所以，邑3：m：乞3且m=o44点评：解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次 方程，必

7、须讨论二次项系数和判别式，有时借助图形的几何性质更为方便.涉及弦中点问题，利用韦达定理或运用平方差法时（设而不求），必须以 直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法.从构造不等式的角度来说，“将直线I的方程与椭圆方程联立所得判别式（1 大于0”与“弦MN的中点P -，y在椭圆内”是等价的.I 2丿咼考真题11在l：y - - x b中，令x -，可解得：k21, -2k2将点Py = kx m，可得:yoI 1j2，y0 .21,1 4k 1 小b2 k.2k 2k 2k3km -2所以，-3：3且m=0 .44从以上解题过程来看，求m的取值范围，求m与其它参数之间的关系，二是构造一个有关参量

8、的不等式.发，我们可以得到下面的另一种解法：主要有两个关键步骤：一是寻从这两点出解法二.设弦MN的中点为P -1,y0，则由点M,N为椭圆上的I 2丿4Xm yM - 44Xn2 yN2 =4点，可知:两式相减得:又由于4 Xm -XnXm - Xn yM 一 yNyM yN =0Xm XnT, yM yN =2y, yM _yN =Xm Xn （1991年全国高考）双曲线的中心在坐标原点0，焦点在x轴上，过 双曲线右焦点且斜率为|的直线交双曲线于P、Q两点.若0P0Q，且PQ = 4，求双曲线的方程. （1994年全国高考）已知直线I过坐标原点，抛物线C顶点在原点， 焦点在x轴正半轴上.若点A（-1,0）和点B（0,8）关于I的对称点都在C 上,求直 线I和抛物线C的方程.（1996年全国高考）已知Ii,I2是过点P（- 2,0）的两条互相垂直的直线, 且Ii,I2与双曲线y2-x2=1各有两个交点，分别为A1