2021-2022学年河北省张家口市张垣联盟高一年级下册学期第三次阶段数学试题【含答案】

1、2021-2022学年河北省张家口市张垣联盟高一下学期第三次阶段数学试题一、单选题1设复数（是虚数单位），则在复平面内复数对应的点的坐标为（）ABCDD【分析】根据复数的乘法运算法则，求出复数，即可得到其坐标.【详解】，复数对应的点为.故选：D.2已知、是不重合的直线，、是不重合的平面，对于下列命题若，则且，则且，则若、是异面直线，且，则其中真命题的序号是（）ABCDB【分析】根据空间中线线、线面位置关系的性质定理与判定定理一一判断即可.【详解】解：对于若，则与可能平行也可能异面，故错误；对于，若，且，则或，故错误；对于，若，且，则由线面垂直的判定定理得，故正确；对于，若、是异面直线，且，如图

2、，因为，所以存在直线，且满足，又，所以同理存在直线，且满足，又，所以，因为、是异面直线，所以与相交，设，又，所以，故正确.故选：B3如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中与所成角的大小为（）ABCDC【分析】根据正方体各面的展开图，画出正方体的直观图.根据直观图中直线和的位置关系，在正方体中，利用异面直线所成的角的相关知识可以求解.【详解】根据正方体的展开图可得该正方体的直观图如图所示，连接图中的、可知在正方体中有.所以异面直线和所成的角为或其补角.又因为在正方体中有，所以三角形为等边三角形，所以.所以与所成的角为.故应选：C.4已知菱形边长为，对角线与交于点，将菱形沿对角线折成平面角为的

3、二面角，若，则折后点到直线距离的最大值为（）ABCDB【分析】判断出二面角的平面角，求得折后到直线距离的表达式，进而求得正确答案.【详解】由于四边形是菱形，所以，由二面角的定义知，下面在中解决点到直线的距离的最值，因为菱形的边长为，所以，点到的距离，所以当，即时，取得最大值.故选：B5如图，圆锥的母线长为，底面圆的半径为，若一只蚂蚁从圆锥的点出发，沿表面爬到的中点处，则其爬行的最短路线长为，则圆锥的底面圆的半径为（）ABCDA【分析】把半个圆锥沿着直线展开，得到扇形，根据题意，计算扇形的弧长，由展开图和圆锥的关系，得到圆锥底面圆周长，进而计算底面圆半径.【详解】如图为半圆锥的侧面展开图，连接，

4、则的长为蚂蚁爬行的最短路线长，设展开图的扇形的圆心角为，根据题意得，在中，所以，所以扇形弧长为，所以圆锥底面圆的周长为，即，得.故选：A6如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则球圆锥圆柱的体积之比为（）ABCDB【分析】根据圆柱、圆锥及球的体积公式求解即可.【详解】解：，球圆锥圆柱的体积之比为.故选:B.7如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形是（）A面积为的矩形B面积为的矩形C面积为的菱形D面积为的菱形C【分析】根据题意利用斜二测画法判断原图形的形状，即可求出其面积.【详解】，所以，故在原图中，所以四边形为菱形(如图所示)，则面积为.故选

5、：C8已知为锐角，角的终边过点，则（）AB或CDD【分析】利用任意角的三角函数的定义及同角三角函数的平方关系，结合两角差的余弦公式即可求解.【详解】由角的终边过点，得又因为为锐角，所以为钝角，所以，所以.故选:D.二、多选题9下列命题正确的是（）A平行六面体是四棱柱B不存在每个面都是直角三角形的四面体C棱台的侧棱延长后交于一点D用一个平行底面的平面去截圆锥，截下来的圆锥与原圆锥的体积比等于截下来的圆锥的高与原圆锥高的立方比ACD【分析】根据棱柱、四面体、棱台、圆锥的几何性质对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】平行六面体符合四棱柱的定义，所以A选项正确.如下图所示，在正方体内，四面体每个面

6、都是直角三角形，所以B选项错误.根据棱台的定义可知，棱台的侧棱延长后交于一点，C选项正确.用一个平行底面的平面去截圆锥，截下来的圆锥与原圆锥相似，所以截下来的圆锥与原圆锥的体积比等于截下来的圆锥的高与原圆锥高的立方比，D选项正确.故选：ACD10已知向量，若，则以下结论正确的是（）A时与同向B时与同向C时与反向D时与反向AD【分析】由共线向量的坐标运算求出或，代入判断与的方向即可.【详解】解：，则即或，当时，与的方向相同，故A成立；当时，与的方向相反，故D成立.故选:AD.11已知在三棱锥中，平面平面为等腰直角三角形，且腰，为平面内动点，为的中点，满足平面，下列说法中正确的是（）APC与平面所

7、成角正弦值的范围为B与平面所成角正弦值的范围为C在内的轨迹长度为1D在内的轨迹长度为2AC【分析】连接，过作 ，连结，可证为与平面所成角的平面角，求出的范围后可求正弦值的范围，从而可判断AB的正误. 取分别为的中点，可证线段为在三角形内的轨迹，求出其长度后可判断CD的正误.【详解】连接， 为等腰直角三角形，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，则平面，而平面，故.又为等腰直角三角形且可得，因为，所以，所以，过作，连结，因为平面，平面平面，平面平面，故平面，故为与平面所成角的平面角，而，其中，故，故A正确，B错误；取分别为的中点，连接，则，而平面，平面，故平面，同理平面，但平面，故平面平面，当时

8、，则有平面，故平面，则线段为在三角形内的轨迹，长度为.故C正确，D错误.故选：AC.12如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点，则以下结论正确的是（）A直线/平面B平面/平面C平面平面D与不垂直ABC【分析】A选项，连接，利用中位线可得出/，从而得到线面平行；B选项，根据面面平行的判定并结合A选项，只需要再证一次线面平行即可；C选项，根据B选项的结论容易得出；D选项，通过证明平面得出矛盾.【详解】如图，连接分别是的中点，/，又平面平面，直线/平面，所以A正确；连接，分别是的中点，/. 又平面平面，/平面，又/平面，且平面平面，平面/平面，故B正确；在正方体中显然侧棱底面，又平面，故平面平面，

9、根据B选项：平面/平面，故平面平面，C选项正确；所以平面平面，故C正确；，所以平面，平面，故，故D错误.故选：ABC三、填空题13已知分别为三个内角的对边，且，的外接圆的半径为4，则_.【分析】根据题中条件，由正弦定理，先求出角；再由（为三角形外接圆半径），即可求出结果.【详解】在中，因为，所以，则，所以，由于，可得，所以，因为，所以，再由，解得.故14已知正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为_.【分析】作平面，由正四棱锥的对称性，球心在上，在，结合勾股定理和长度关系，求解即可【详解】作平面，由正四棱锥的对称性，球心在上，连接由正四棱锥的对称性可知交于点，底面为正方形，所以，在Rt

10、中，又，设球的半径为，则，解得，所以.故15如图所示的方格纸中有定点，则_.（答案不唯一）【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求得正确答案.【详解】设小正方形的边长为，如图，以为原点建立平面直角坐标系，则，所以，所以.故（答案不唯一）16已知正方体的棱长为分别为的中点，则平面将正方体分成体积大小不等的两部分，则较小部分的体积为_.【分析】由题设知与延长交于一点，判断为三棱台，应用棱台、棱柱体积公式求两部分体积，比较大小即可得答案.【详解】因为分别为的中点，所以且，又且，所以，且，所以与延长交于一点，面面面面，所以几何体为三棱台，因为棱长为4，所以，三棱台的高为4，则而另一部分的体积，

11、故较小的体积为.故四、解答题17已知向量.(1)若，求的值；(2)求的最大值及取得最大值时角的余弦值.(1)(2)最大值，【分析】（1）利用向量得到，对所求的式子进行弦化切代入可得答案；（2）由数量积的坐标运算和辅助角公式化简可得，再根据三角函数的有界性可得最大值及.【详解】(1)因为向量，所以，所以，；(2)，其中，当时，取得最大值，此时，即时，取得最大值.18如图，三棱柱中，平面平面.(1)在线段上寻找一点，使平面，并给出证明；(2)若，求A到平面的距离.(1)是的中点，证明见解析(2)【分析】(1)取的中点，连接交于点，由中位线可得，即可得平面；(2)由余弦定理可得,从而可得,进而得平面

12、，利用等体积法即，即可求A到平面.【详解】(1)解：是的中点时平面.证明：连接交于点，则为的中点，因为是的中点，所以，又平面平面，所以平面.(2)解：，又平面平面，平面平面，BC在平面ABC中，平面.设A到平面的距离为，因为平面平面，所以，即，解得.19已知复数(1)求复数的共轭复数；(2)若复数，复数在复平面内对应的点在第三象限，且，求实数的取值范围.(1)(2)【分析】（1）根据复数除法的法则及共轭复数的定义即可求解；（2）根据（1）的结论及复数除法法则，再利用复数的几何意义及复数的魔公式即可求解.【详解】(1)，所以复数的共轭复数为.(2)由（1），所以复数对应点坐标为，它在第三象限，则

13、，解得 解得或，综上所述，实数的取值范围为.20如图，棱柱，底面ABCD是平行四边形，侧棱底面，过的截面与侧面交于；且点在棱上，点在棱上，且(1)求证：(2)若为的中点，与平面所成的角为，求侧棱的长.(1)证明见解析(2)【分析】（1）由面，利用线面平行的性质定理，可得证；（2）连接，分析可得为与平面所成的角，则，求解即可.【详解】(1)在棱柱中，面面，面面，由线面平行的性质定理有，又，故.(2)证明：在底面中，.又因为侧棱底面，则底面面又面连接，则为与平面所成的角为，因为，所以，在中，解得，故21已知.(1)求的最小正周期及单调递减区间；(2)将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，求的对称轴.(1)最小正周期为，(2)【分析】（1）根据二倍角公式结合辅助角公式化简可得，进而求得周期，并代入单调递减区间求解即可；（2）根据函数图象平移的性质可得，再代入正弦函数的对称轴方程求解即可.【详解】(1)，所以的最小正周期为.由，解得，所以的单调递减区间为.(2)将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，所以所以函数的对称轴为，解得22已知梯形中，分别是的点，沿将梯形翻折，使平面（如图）.(1)证明：平面平面；(2)求二面角的正切值.(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据折叠