四川省成都市2021-2022学年高一年级下册学期期末数学(文科)试题【含答案】

1、20212022学年度下期期末高一年级调研文科数学一选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量，则=（ ）A. B. 1C. 2D. 5A【分析】根据向量模的坐标表示求解即可.【详解】解：因为向量，所以.故选：A2. （ ）A. B. C. D. D【分析】利用二倍角余弦公式计算可得.【详解】解.故选：D3. 等差数列中，若，则公差（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5A【分析】根据等差数列的性质即可求解.【详解】由，得 故选：A4. 若，则向量与的夹角为（ ）A. B. C. D. C【分析】根据向量的数量积和模求夹角即可

2、.【详解】由题意， ， 与 的夹角为 ；故选：C.5. 已知l，b，c为空间中三条不同的直线，为空间中一个平面，若，则l与的关系是 （ ）A. B. C. l内D. 不确定D【分析】利用线面垂直的性质和判定分析判断即可【详解】因为，所以当为相交直线时，当为平行直线时，则或l在内都有可能，所以l与的关系不确定，故选：D6. （ ）A. B. C. D. D【分析】根据正切两角差的公式即可求解.【详解】因为；故，故选：D7. 下列说法正确的是（ ）A. 若，则向量与的夹角一定为直角B. 等比数列前n项和公式为C. D. 圆台（棱台）体积公式为（其中，S分别为上下底面面积，h为圆台（棱台）高）D【分

3、析】利用特例判断A，根据等比数列求和公式判断B，作差、利用辅助角公式判断C，根据圆台的体积公式判断D；【详解】解：对于A：当（或）时，也满足，故A错误；对于B：当时，当时，所以，故B错误；对于C：，所以，故C错误；对于D：圆台（棱台）体积公式为（其中，S分别为上下底面面积，h为圆台（棱台）高），故D正确；故选：D8. 已知都是锐角，若，则（ ）A. B. C. D. B【分析】先由已知条件求出，再由两边取余弦函数化简可求得结果【详解】因为为锐角，所以，因为都是锐角，所以，因为，所以，所以，故选：B9. 如图，两个正方形ABCD，ADEF不在同一个平面内，点P，Q分别为线段EF，CD的中点，则直

4、线FQ与PB的关系是（ ）A. 相交B. 平行C. 异面D. 不确定C【分析】取的中点，可得，进而可得平面，平面， 平面，即得.【详解】取的中点，连接，则，又，则确定平面，又平面，平面，平面，直线FQ与PB是异面直线.故选：C.10. 已知在递减等比数列中，若，则（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9A【分析】根据等比数列的计算可求，进而可得公比，即可求解.【详解】由，且可解得 ，因此可得等比数列的公比为 ，所以 故选：A11. 三棱锥的顶点都在同一球面上，其中、两两垂直，且，则该球的表面积为（ ）A. B. C. D. C【分析】将三棱锥补成长方体，计算出长方体的体对角线长，可得出该三棱锥外

5、接球半径，再利用球体表面积公式可求得结果.【详解】在三棱锥中，、两两垂直，将该三棱锥补成长方体，则长方体的体对角线长为，所以，三棱锥的外接球半径为，因此，该三棱锥外接球的表面积为.故选：C.12. 如图，在平面四边形中，若点F为边上动点，则的最小值为（ ）A. 1B. C. D. 2B【分析】建立平面直角坐标系，设出点坐标，求得的表达式，进而求得的最小值.【详解】以为原点建立如图所示平面直角.依题意，在三角形中，由余弦定理得.所以，所以.而，所以.在三角形中，由余弦定理得.所以，所以.在三角形中，所以三角形是等边三角形，所以.所以，设依题意令，即，所以，所以，所以对于二次函数，其对称轴为，开口

6、向上，所以当时，有最小值，也即有最小值为.故选：B本小题主要考查向量数量积的最值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量，且，则 _3【分析】根据向量共线的坐标表示求解即可.【详解】解：因为，且，所以，解得故14. 若圆锥的高为，底面半径为，则其体积为_.【分析】利用锥体的体积公式可求得结果.【详解】由题意可知，该圆锥的体积为.故答案为.15. 如图，取一个边长为1的正三角形，在每个边上以中间的为一边，向外侧凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的擦掉，得到第2个图形，重复上面的步骤，得到第3个图形这样无限地作下去，得到的图形的

7、轮廓线称为科赫曲线，又名“雪花曲线”根据上图可知，第3个图形的边长为_，第4个图形的周长为_ . . 【分析】根据题中给出的图形，先分析边长之间的变换规律，再分析边数的变化规律即可.【详解】由观察知，第1个图形的边长为1，第2个图形的边长为第1个图形边长的，则各个图形的边长构成首项为1，公比为的等比数列，所以边长，所以第3个图形的边长为.由观察知，各个图形的边数构成首项为3，公比为4的等比数列，数，周长为.所以第4个图形的周长为故答案为: ；.16. 在三棱锥A-BCD中，有，且，分别经过三条棱AB，AC，AD作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，则，的大小关系是_（按从大到小顺序排列，

8、并用“”号连接）【分析】根据题意，可由，直接计算出，可得，在用作差法，可得最后答案.【详解】因为，所以三棱锥A-BCD可由以点为顶点的长方体所截，设三边分别为，即，经过三条棱AB作一个截面平分三棱锥的体积，作图如下：因为，且，所以平面，在平面内，分别过作，因为平面，所以，因为，所以平面，同理平面，因为截面平分三棱锥的体积，所以，易得为的中点，从而易得，同理可得：，则，因为，所以，同理可得：，所以，故答案为.三解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 已知，是夹角为60的单位向量，设.（1）求；（2）求的最小值.（1） （2）【分析】（1）根据数量积定义直接计

9、算可得；（2）利用性质，将所求问题转化为关于t的二次函数最值问题.小问1详解】由向量，为夹角为60的单位向量，可得，.所以.【小问2详解】，.当且仅当时等号成立，的最小值为.18. 已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C的对边，且，（1）若，求角A；（2）若_，求ABC的面积请从，这两个条件中任选一个，将（2）中的条件补充完整，并作答（注意：只需选一个，若两个都选，则按所选的第一个计分）（1）或 （2）选：或；选：【分析】（1）运用正弦定理求得，根据角的范围可求得答案；（2）若选：由正弦的二倍角公式得或，再由三角形的面积公式可求得答案 选：由余弦定理求得，从而得，运用三角形的面积公式可求得答

10、案.【小问1详解】解：在ABC中，由可得：，又，或；【小问2详解】解：选：，或或选：， .19. 已知正项数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.（1） （2）【分析】（1）利用求出首项，根据等差数列的通项公式即可写出；（2）利用裂项求和即可.【小问1详解】，数列是以公差为3的等差数列.又， ，.【小问2详解】由（1）知，于是20. 设函数（1）求的周期和最值；（2）已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C的对边，求线段CD的长（1）， （2）【分析】(1)对 作恒等变换，将 表示为单个三角函数的解析式即可求解；(2)先算出角B，再运用余弦定理求出c，再根据D点

11、的位置即可求解.【小问1详解】，；【小问2详解】， （舍），；综上， 的周期为 ，最大值为2，最小值为-2，.21. 在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面ABCD平面PAB，点E，F分别在线段CB，AP上，且，（1）求证：平面PCD；（2）若，求点D到平面EFP的距离（1）证明见解析 （2）【分析】（1）取的中点，连接，即可得到且，再由且，即可得到是平行四边形，从而，即可得证（2）由面面垂直的性质得到平面，再证平面，即可得到点到平面的距离等于点到平面的距离，最后根据等体积法计算可得【小问1详解】证明：如图，取的中点，连接，在中，点，分别为，的中点，且在矩形中，点为的中点，且，且.

12、四边形是平行四边形，又平面，平面，平面【小问2详解】解：四边形是矩形，平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，平面.平面，即就是点到平面的距离，平面，平面，所以平面，点到平面距离等于点到平面的距离又，同理可证平面，即，且， 平面，平面.，即， 点到平面的距离为22. 数列在实际生活中有很多应用例如某县城一位居民为了改善家庭的住房条件，决定重新购房2022年7月1日，他来到了当地一个房屋交易市场，面对着房地产商林林总总的宣传广告，是应该购买一手商品房还是二手房呢，他一时拿不定主意经过一番调查，这位居民收集到一些住房信息，然后在下表中列出了他的家庭经济状况和可供选择的方案：家庭经济状况家庭每月总收

13、入3000元，即年收入3.6万元现有存款6万元，但是必须留2万元3万元以备急用预选方案买一手商品房：一套面积为80平方米的住宅，每平方米售价为1500元买二手房：一套面积为110平方米的二手房，售价为14.2万元，要求首付4万元购房还需要贷款，这位居民选择了当地一家商业银行申请购房贷款该银行的贷款评估员根据表格中的信息，向他提供了下列信息和建议：申请商业贷款，贷款期限为15年比较合适，年利率为5.04%，购房的首付款一般为实际购房总额的30%（最低20%），贷款额一般为实际购房总额的70%，还款方式可选择等额本金还款，一般采用按季还款的方式，每季还款额可以分成本金部分和利息部分，其计算公式分别

14、为：本金部分=贷款本金贷款期季数；利息部分=（贷款本金已归还贷款本金累计额）季利率请用学过的数列知识帮这位居民算一算需要偿还的贷款总和，根据计算结果，你认为预选方案、到底哪个是他的最佳选择？阐述你的建议，并说明理由参考资料i对于家庭经济收入的分配，国内外经济学家提供了下述参考标准：家庭收入的30%用于偿还购房贷款，30%用于投资储蓄，20%用于子女教育，20%用于日常开销因此，偿还购房贷款的金额占家庭总收入的20%30%为宜月利率=年利率12，季利率=年利率4建议选方案，建议和理由见解析【分析】分别计算方案和方案的还款总额和还款情况，结合家庭收入基本情况，下结论.【详解】方案：如果首付3.6万元（住房总价值的30%），贷款8.4万元，季利率为，以贷款期为15年为例每季等额归还本金为（元）因为第1个季度利息为（元），则第1个季度还款额为（元）因为第60个季度的利息为（元），则第60个季度还款额为（元）所以根据等差数列求和公式可得：前60个季度求和，共还款额为（元）方案：如果首付4万元，贷款10.2万元，季利率为，以贷款期为15年为例每季等额归还本金为（元）因为第1个季度利息为（元）