2021-2022学年安徽省淮南市第二中学高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷请考生注意：1请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用05毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知数列的通项公式为，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记为数阵从左至右的列，从上到下的行共个数的和，则数列的前2020项和为（ ）ABCD2已知变量的几组取值如下表：12347若与线性相关，且，则实数（ ）ABCD3直线l过抛物线的焦点

2、且与抛物线交于A，B两点，则的最小值是A10B9C8D74已知非零向量，满足，则与的夹角为（ ）ABCD5如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（ ）ABCD6已知函数（）的部分图象如图所示，且，则的最小值为（ ）ABCD7已知函数fx=sinx+6+cosx0在0,上的值域为32,3，则实数的取值范围为（ ）A16,13B13,23C16,+D12,238已知，是双曲线的两个焦点，过点且垂直于轴的直线与相交于，两点，若，则的内切圆的半径为（ ）ABCD9已知集合，则集合的真子集的个数是（ ）A8B7C4D310如图，中，点D在BC上，将沿AD旋转得到三棱锥，分别记，与平面ADC

3、所成角为，则，的大小关系是（ ）ABC，两种情况都存在D存在某一位置使得11已知双曲线（，），以点（）为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为（）ABCD12如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是（ ）A该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省B与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长C该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上移动时，的内心的轨迹方程为_14已知中，点是边

4、的中点，的面积为，则线段的取值范围是_.15若向量与向量垂直，则_.16已知双曲线的一条渐近线方程为，则_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）等比数列中，()求的通项公式；()记为的前项和若，求18（12分）已知在中，内角所对的边分别为，若，且.（1）求的值；（2）求的面积.19（12分）某地在每周六的晚上8点到10点半举行灯光展，灯光展涉及到10000盏灯，每盏灯在某一时刻亮灯的概率均为，并且是否亮灯彼此相互独立.现统计了其中100盏灯在一场灯光展中亮灯的时长（单位：），得到下面的频数表：亮灯时长/频数1020402010以样本中100盏灯的平均亮灯时

5、长作为一盏灯的亮灯时长.（1）试估计的值；（2）设表示这10000盏灯在某一时刻亮灯的数目.求的数学期望和方差；若随机变量满足，则认为.假设当时，灯光展处于最佳灯光亮度.试由此估计，在一场灯光展中，处于最佳灯光亮度的时长（结果保留为整数）.附：某盏灯在某一时刻亮灯的概率等于亮灯时长与灯光展总时长的商；若，则，.20（12分）已知在多面体中，平面平面，且四边形为正方形，且/，点，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.21（12分）在中，内角的对边分别是，已知（1）求的值；（2）若，求的面积22（10分）已知函数，.（1）当时，判断是否是函数的极值点，并说明理

6、由；（2）当时，不等式恒成立，求整数的最小值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解析】由题意，设每一行的和为，可得，继而可求解，表示，裂项相消即可求解.【详解】由题意，设每一行的和为 故因此：故故选：D【点睛】本题考查了等差数列型数阵的求和，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.2B【解析】求出，把坐标代入方程可求得【详解】据题意，得，所以，所以故选：B【点睛】本题考查线性回归直线方程，由性质线性回归直线一定过中心点可计算参数值3B【解析】根据抛物线中过焦点的两段线段关系，可得；再由基本不等式

7、可求得的最小值【详解】由抛物线标准方程可知p=2因为直线l过抛物线的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知 所以 因为 为线段长度，都大于0，由基本不等式可知，此时所以选B【点睛】本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用，基本不等式的用法，属于中档题4B【解析】由平面向量垂直的数量积关系化简，即可由平面向量数量积定义求得与的夹角.【详解】根据平面向量数量积的垂直关系可得，所以，即，由平面向量数量积定义可得，所以，而，即与的夹角为.故选：B【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，平面向量夹角的求法，属于基础题.5A【解析】由平面向量基本定理，化简得，所以，即可求解，得到答案【详解】由平面向量基本定理，

8、化简，所以，即，故选A【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，其中解答熟记平面向量的基本定理，化简得到是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，数基础题6A【解析】是函数的零点，根据五点法求出图中零点及轴左边第一个零点可得【详解】由题意，函数在轴右边的第一个零点为，在轴左边第一个零点是，的最小值是故选：A.【点睛】本题考查三角函数的周期性，考查函数的对称性函数的零点就是其图象对称中心的横坐标7A【解析】将fx整理为3sinx+3，根据x的范围可求得x+33,+3；根据f0=32，结合fx的值域和sinx的图象，可知2+323，解不等式求得结果.【详解】fx=sinx+6+cosx=sinx

9、cos6+cosxsin6+cosx=32sinx+32cosx=3sinx+3当x0,时，x+33,+3又f0=3sin3=32，3sin23=32，3sin2=3由fx在0,上的值域为32,3 2+323解得：16,13本题正确选项：A【点睛】本题考查利用正弦型函数的值域求解参数范围的问题，关键是能够结合正弦型函数的图象求得角的范围的上下限，从而得到关于参数的不等式.8B【解析】设左焦点的坐标， 由AB的弦长可得a的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径.【详解】由双曲线的方程可设左焦点，由

10、题意可得，由，可得，所以双曲线的方程为: 所以，所以三角形ABF2的周长为设内切圆的半径为r，所以三角形的面积，所以，解得，故选：B【点睛】本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题.9D【解析】转化条件得，利用元素个数为n的集合真子集个数为个即可得解.【详解】由题意得，集合的真子集的个数为个.故选：D.【点睛】本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题.10A【解析】根据题意作出垂线段，表示出所要求得、角，分别表示出其正弦值进行比较大小，从而判断出角的大小，即可得答案【详解】由

11、题可得过点作交于点，过作的垂线，垂足为，则易得，设，则有，可得，；，；，综上可得，故选：【点睛】本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平11A【解析】求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则可根据圆心到渐近线距离为列出方程，求解离心率【详解】不妨设双曲线的一条渐近线与圆交于，因为，所以圆心到的距离为：，即，因为，所以解得故选A【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题对于离心率求解问题，关键是建立关于的齐次方程，主要有两个思考方向，一方面，可以从几何的角度，结合曲线

12、的几何性质以及题目中的几何关系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程.12D【解析】根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.【详解】由折线图可知A、B项均正确，该年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确；.故D项不正确.故选：D.【点睛】本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】考查更为一般的问题：设P为椭圆C:上的动点，为椭圆的两个焦点，为PF1F2的内心，求点I的轨迹方程解法一：如图，设内切圆

13、I与F1F2的切点为H，半径为r，且F1H=y，F2H=z，PF1=x+y，PF2=x+z，则.直线IF1与IF2的斜率之积：，而根据海伦公式，有PF1F2的面积为因此有.再根据椭圆的斜率积定义，可得I点的轨迹是以F1F2为长轴，离心率e满足的椭圆，其标准方程为.解法二：令，则三角形PF1F2的面积：，其中r为内切圆的半径，解得.另一方面，由内切圆的性质及焦半径公式得：从而有消去得到点I的轨迹方程为：.本题中：，代入上式可得轨迹方程为：.14【解析】设，利用正弦定理，根据，得到，再利用余弦定理得，平方相加得：，转化为 有解问题求解.【详解】设，所以， 即由余弦定理得，即 ，平方相加得：，即 ，

14、令，设 ，在上有解，所以 ，解得，即 ，故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理在平面几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于难题.150【解析】直接根据向量垂直计算得到答案.【详解】向量与向量垂直，则，故.故答案为：.【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力.16【解析】根据双曲线的标准方程写出双曲线的渐近线方程，结合题意可求得正实数的值.【详解】双曲线的渐近线方程为，由于该双曲线的一条渐近线方程为，解得.故答案为：.【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线方程求参数，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 ()或

15、()12【解析】（1）先设数列的公比为，根据题中条件求出公比，即可得出通项公式；（2）根据（1）的结果，由等比数列的求和公式，即可求出结果.【详解】（1）设数列的公比为，或.（2）时，解得；时，无正整数解；综上所述.【点睛】本题主要考查等比数列，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于基础题型.18（1）；（2）【解析】（1）将代入等式，结合正弦定理将边化为角，再将及代入，即可求得的值；（2）根据（1）中的值可求得和，进而可得，由三角形面积公式即可求解.【详解】（1）由，得，由正弦定理将边化为角可得，化简可得，解得.（2）在中，.【点睛】本题考查了正弦定理在边角转化中的应用，正弦差角公式的应

16、用，三角形面积公式求法，属于基础题.19（1）（2），,72【解析】（1）将每组数据的组中值乘以对应的频率，然后再将结果相加即可得到亮灯时长的平均数，将此平均数除以（个小时），即可得到的估计值；（2）利用二项分布的均值与方差的计算公式进行求解；先根据条件计算出的取值范围，然后根据并结合正态分布概率的对称性，求解出在满足取值范围下对应的概率.【详解】（1）平均时间为（分钟）（2），即最佳时间长度为72分钟.【点睛】本题考查根据频数分布表求解平均数、几何概型（长度模型）、二项分布的均值与方差、正态分布的概率计算，属于综合性问题，难度一般.（1）如果，则；（2）计算正态分布中的概率，一定要活用正态分

17、布图象的对称性对应概率的对称性.20（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）构造直线所在平面，由面面平行推证线面平行；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再由法向量之间的夹角，求得二面角的余弦值.【详解】（1）过点交于点，连接，如下图所示：因为平面平面，且交线为,又四边形为正方形，故可得，故可得平面，又平面，故可得.在三角形中，因为为中点，故可得/，为中点；又因为四边形为等腰梯形，是的中点，故可得/；又，且平面，平面,故面面，又因为平面，故面.即证.（2）连接，作交于点，由（1）可知平面，又因为/，故可得平面，则；又因为/，故可得即，两两垂直，则分别以，为，轴建立

18、空间直角坐标系，则，设面的法向量为，则，则，可取，设平面的法向量为，则，则，可取，可知平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查由面面平行推证线面平行，涉及用向量法求二面角的大小，属综合基础题.21（1）；（2）.【解析】（1）由，利用余弦定理可得,结合可得结果；（2）由正弦定理，, 利用三角形内角和定理可得，由三角形面积公式可得结果.【详解】（1）由题意，得. , ， .（2），由正弦定理，可得. ab，, . .【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.22（1）是函数的极大值点，理由详见解析；（2）1.【解析】（1）将直接代入，对求导得，由于函数单调性不好判断，故而构造函数，继续求导，判断导函数在左右两边的