河南省郑州外国语学校2022届高三数学开学摸底测试试题答案理

1、第 PAGE 5页（共 5页）高三年级数学 （理科）参考答案一、选择题CABDCABCCBCD二、填空题13 14714 20015.216 (1,2e)33三、解答题【解析】证明： 当 n = 1 时，左边 = 1+ a ，右边 = 1+ a .所以，当 n= 1时，命题成立 . 分假设当 n = k( k 3 1) 时，命题成立，即 (1+ a )k 3 1+ ka . 分那么，当 n= k + 1时，因为 a - 1 ，所以 1+ a 0 . 分根据假设知， (1+ a )k+ 1 = (1+ a ) k (1+ a) 分3 (1+ ka )(1+ a )= 1+ (k + 1)a +

2、ka 2 分由于 ka 2 3 0 ，所以 1 + (k + 1)a + ka 2 3 1 + (k + 1)a .从而 (1+ a ) k+ 1 3 1+ ( k + 1)a . 分这表明，当 n = k + 1时，命题成立 . 分根据知，该命题成立. 分【解析】(1)由题 fx3 x1, x15,x1, x1所以当 0 x1 时,f ( x)3 x11, 分故 ffxf ( 3 x1)( 3 x2)5 , 分而 ( 3 x2) 5 的展开式共有6 项, 分故二项式系数的最大值为C 2C 310 . 分（ 2）当 x1时，2f( x)1055x1， 分10即 x1102(1x)aa (1x)

3、a (1210a10 (1x)x)，分9012由TC rn rxr 分r 1n 2(1)可知，7aC71023 ( 1)7960 . 分19【解析】（ 1）由表格数据可得22列联表如下： 非移动支付活跃用户移动支付活跃用户总计男252045女154055总计4060100分将列联表中的数据代入公式计算，得2n ad bc 2abc dacb d100 25 40 15 20 2分40 60 55 45 2 450 8.2496.635. 分297所以有 99% 的把握认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关 分（ 2）视频率为概率，在我市“移动支付达人 ”中，随机抽取 1 名用户，该用户为男

4、“移动支付达人 ”的概率为 1，女 “移动支付达人 ”的概率为 2. 分33于是，抽取的4 名用户中，既有男“移动支付达人 ”，又有女 “移动支付达人 ”的概率为：P(A) 113 423 464. 分81【解析】(1) 证明：由题知证 ln x- 1 1 成立即可， 分x令 g(x) ln x1 1(x0) ，x则 g (x)11x 1x x2x2 . 分当 0 x1 时， gx()1 时， gx()0，故 g(x)在(0,1)上单调递减 ， g(x)在(1， )上单调递增 ， 分所以 g(x)g(1) 0， 即 ln x-1 1. 分x(当且仅当 x1 时取得等号 ) 分(2)由(1) 知

5、： h(x)=f(x) (x2 1) ln x x2ln x a(1 x2)12 1 a(1 x2xx) () 分=(x 1)(1 a)x a= (1-a)( x-1)(xa) 分1-a0，a由于 x1a ，所以 0a1，即 (1-a)0 ， 数形结合只需 0a 1-a1 成立即可 .解得 0a1. 分2又当a 1-a1 ，即 a1 时， ( )式取“”，2结合 h(1)0 ，可知 a1符合题意. 分2综上所述： 0a1. 分2【解析】令 f(x)ln xmx 1 0，得 m 1 ln x，x即函数 g(x) 1 ln x与直线 y m 在 (0， )上有两个不同交点， 分 1x因为 gx()

6、ln xx2(x0) ， 分当 x(0,1)时， gx()0 ；当 x(1， )时， gx()0 ，故 g(x)在(0,1)上单调递增，在 (1， )上单调递减，所以 g(x)max g(1) 1.又 g0， 11e 0，故当 xe 时， g(x)0. 分画出图象，如图所示， 分可得 m(0,1). 分由题，当 m时，f ( x)l nx1 ，由 f ( x)，知 fx( x0)1， 分x0故曲线yf ( x)在点( x0,f ( x0) 的切线为：1yf ( x0 )(xx0) ，x0即： yln x011(xx0) ，x0所以 y1 x x0ln x0 . 分又设该切线与xye 相切于点(

7、x1, y1 )，则由 yxe ，易知yex1ex1 ( xx ) ，11即： ye x1 xex1 (1x ) . 分于是：?ex1 =1?x0? x分?e 1 (1-x ) = ln x?10从而有 x1ln x0 ， 分整理可得：(x0 -1)lnx0 =1 .又x0 =1 显然不满足，因此 ln x =1成立 . 分0 x0 - 1【解析】23(1) A 系统需要维修的概率为C1 1111，分32222212345B 系统需要维修的概率为C11C 1111 ， 分55222222设 X 为该电子产品需要维修的系统个数，则XB，1 2，200 X .k11k0，1，2220200400111424k2 k2P200kP XkC， 分的分布列为 : E200212200P. 分(2) A 系统 3 个元件至少有 2 个正常工作的概率为 :22332PAC3 p1pp2 p3 p ， 分B 系统 5 个元件至少有 3 个正常工作的概率为 :332445543PBC5 p1pC5 p1pp6 p15p10 p ， 分则 fpPBPA6 p515 p412 p33 p23p 22p12 p1 . 0p1 .令 fp0 ，解得 1p1 . 分所以:当 1p2当 0p21 时， B 系统比 A 系统正常工作的概率大