20222022学年高二数学教案（A基础）距离与截面 （学生版）

1、第 PAGE 16 页2022-2022 学年高二数学教案 05A 根底距离与截面 同学版1、第 5 课：距离与截面教学目标 1、把握空间中点、直线、平面到平面的距离的概念，能用这些概念进展论证和解决有关问题 2、理解异面直线间的距离定义，会作异面直线的公垂线线段，学会将异面直线间距离的转化为线面距离，再到点到面的距离问题，培育同学转化力气 3、会作一些经过长方体棱上三点的截面问题，求一些相关长度问题重点1、把握求点到平面距离的计算题步骤是“一作、二证、三计算，思想方法是将空间图形转化为平面图形即“降维的思想方法；2、空间距离向平面距离的转化过程中，重点是确定垂足，作出挂念图形解三角形。难点经

2、过几何体棱上不2、共线三点作截面多边形一点到平面的距离学问梳理 1、点到平面的距离定义：过平面外任意给定的一点M，有且只有一条直线与平面垂直，从而把点 M 与垂足N 之间的距离叫做点M 到平面的距离；备注：1假设一条直线平行于一个平面，那么直线上任意两点到平面的距离都相等，从而直线与平面的距离可以转化为直线上任意一点M 到平面的距离问题.2两个平行平面间的距离可以转化为其中一个平面上的任意一点到另外一个平面的距离.n 例题精讲【例 1】在棱长为 1 的正方体中1求点到平面的距离；2求直线到的距离3求平面与平面的距离；3、【例 2】的三个顶点、到平面的距离分别为、，且它们在的同侧，那么的重心到平

3、面的距离为【例 3】正方形的边长为 4，、分别是、的中点，平面，且，那么点到平面的距离为【例 4】1长方体中，那么直线和平面的距离是2如图，立方体的棱长为，分别是，的中点，求：到截面的距离；n【例 5】用六 个完全违反的正方形围成的立体图形叫正六面体.正六面体的棱长为， 那么平面与平面间的距离为ABCD稳固训练 1、四边形为正方形，且平面，那么点到直线的距离为2、在正方体中，底面边长4、为，与交于点，1求直线与平面所成角n2求点到的距离声 3、如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，侧棱底面， 那么到的距离为 .4、平面，点，点，假设，且，在内射影 长分别为 5 和 9，那么平面与间的距离为 5、如

4、图，点是平面外一点，底面是边长为 2 的菱形，底面，为的中点，为的中点，1证明：直线平面；2求点到平面的距离n二异面直线间的距 离学问梳理定理对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线 与这两条直线都垂直并且相交.：直线是异面直线.求证：存在唯一的5、直线与都垂直且相交.证明：先证明存在性.如图，在直线上任取一点P，过P 作直线，使得.设与所确定的平面为，那么.过直线作平面，使得，交线为，由，有；又，故.设与的交点为 A，在平面上过点 A 作直线 AB 垂直于，交直线于点 B，因，所以，这样直线AB 与异面直线都垂直且相交.再证明唯一性.反证法如图，假设除了AB，还有一条共垂线 MN，使得

5、，垂足分别为 M,N.由于，所以；而与是平面上两条相交直线，所以；又，所以，从而 A、B、M、N 共面，而这与AM、BN 是异面直线相冲突.n 异面直线间的距离定义将与两条异面直线都垂直且相交的6、直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长度就叫做两条异面直线的距离.备注：1两条异面直线的公垂线段是连接两条异面直线全部线段中的最短线段.2异面直线的距离可以转化为直线与平面的距离，如上图距离转化为与的距离.例题精讲【例6】正方体的棱长为 a，异面直线 BD 与的距离为 【例 7】1正方体的棱长为 1，分别在线段与上，的最小值为 .

6、2平面平面，且直线与不平行.记平面的距离为，直线的距离为，那么7、ABCD与大小不确定【例 8】正方体棱长为 1，那么直线与直线的距离为 .n【例 9】空间四边形各边及对角线的长都是 11求边、的距离；2求异面直线与所成角大小稳固训练 1、正方体的棱长为，是棱的中点，那么异面直线与的距离为 .2、是异面直线、的公垂线段，且与成角，在直线上取，那么点到直线的距离为 n3、在三棱锥中，那么异面直线和的距离为 .4、线段平面，为垂足，且与平面成 30 角，求：1异面直线与间的距离；8、2、两点间的距离三截面问题拓展学问梳理 1、平面截几何体的截面：用一个平面去截一个几何体，几何体外表与平面的交线所围

7、成的平面图形叫做平面截几何体的截面.n 说明：1几何体的外表指几何体的面构成几何体的各平面多边形，是有限区域，并非指多面体的面所在平面；2它们的交线应理解为线段；3围成的平面图形含两层含义：封闭、共面。思考题：1一个平面去截正方体，截面的样子会有哪些样子？【答案】截面的样子会有三角形、四边形正方形、矩形、菱形、平行四边形、梯形、五边形、六边形.三角形正方形矩形矩9、形 n 梯形菱形五边形六边形思考题：2平面截几何体的截面的边和顶点确定在什么位置？为什么？【解析】依据截面概念，截面多边形的边是平面与多面体外表的交线，所以截面多边形的边确定在几何体的面上。由于正方体有六个面，且截面六边形存在，所以

8、正方体的截面多边形边数最多是 6。又由于截面的顶点是相邻两边的公共点，继而也同时在相邻两边所在面上，因此在相邻两面的公共交线， 即棱上。例题精讲【例10】如图，正方体的棱长为2，设点分别为的中点，那么过点的平面与正方体的截面样子不行能为A三角形B矩形C五边形D六边形【例10、11】在棱长为的正方体中，分别是和的中点，经过点的平面把正方体截成两局部，那么截面与的交线段长为 .n 稳固训练 1、如图，在正方体中，M，N，P 分别是的中点.1求证：/平面；2平面过三点，那么平面截此正方体的截面为一个多边形. 仅用铅笔和无刻度直尺，在正方体中画出此截面多边形保存作图痕迹，不需要写作图步骤；假设正方体的

9、棱长为 6，直接写出此截面多边形的周长.2、在棱长为 3 的正方体中，点，分别是棱，的中点，过，三点作正方体的截面，将截面多边形向平面作投影，那么投影图形的面积为 11、n 实战演练一、填空题 1、在长方体中，正方形的面积为 16， 与平面所成的角为，那么该长方体的高为 .2、给出以下四个命题：1异面直线是指空间两条既不平行也不相交的直线；2假设直线上有两点到平面的距离相等，那么；3假设直线与平面内无穷多条直线都垂直，那么；4两条异面直线中的一条垂直于平面a ， 那么另一条必定不垂直于平面 a. 其中正确命题的是 .3、设是的二面角内一点，,分别为垂足，,那么的长为 .4、长方体中，底面是边长

10、为 4 的正方形12、，高为 2，那么顶点到截面的距离为 .n5、在长方体中，那么异面直线和的距离为 6、RtABC 的斜边 BC在平面 内，A，设 A 在 上的射影为，那么由AB,AC,BC 组成的图形是 .二、选择题 7、三个平面两两垂直， 它们的交线交于一点O，点P 到三个面的距离分别是 3,4,5，那么OP 的长为ABCD8、如图，在长方体中，.那么直线与平面的距离为nABCD9、如图，在正方体中，分别是线段上的点13、，且那么以下直线与平面平行的是 ABCD10、河堤斜面与水平面所成角为，堤面上有一条直道，它与堤角的水平线的夹角为，沿着这条直道从堤角向上行走到 20m 时，那么人上升了ABCD三、解答题11、如图，在四棱锥OABCD 中，底面ABCD是边长为 1 的菱形，ABC，OA平面ABCD，OA2，M 为 OA 的中点，N 为 BC 的中点n1画出平面 AMN 与平面 OCD 的交线保存作图痕迹，不需写出作法；2证明：直线 MN/平面 OCD；3求异面直线AB 与MD 所成角的大小