2021-2022学年北京市平谷区高考数学四模试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡

2、一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若，点C在AB上，且，设，则的值为（ ）ABCD2设集合，则集合ABCD3已知边长为4的菱形，为的中点，为平面内一点，若，则（ ）A16B14C12D84某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为( )ABCD5若向量，则（ ）A30B31C32D336已知数列中，且当为奇数时，；当为偶数时，则此数列的前项的和为（ ）ABCD7已知函数若存在实数，且，使得，则实数a的取值范围为（ ）ABCD8已知函数.设，若对任意不相等的正数，恒有，则实数a的取值范围是（ ）ABCD9

3、已知且，函数，若，则（ ）A2BCD10设变量满足约束条件，则目标函数的最大值是（ ）A7B5C3D211已知函数,关于的方程R)有四个相异的实数根,则的取值范围是()ABCD12已知函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）A2B3C-2D-3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13的展开式中，的系数是_. (用数字填写答案)14在矩形ABCD中，点E，F分别为BC，CD边上动点，且满足，则的最大值为_.15设点P在函数的图象上，点Q在函数的图象上，则线段PQ长度的最小值为_16已知函数，若，则_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知数列满

4、足，其前n项和为.（1）通过计算，猜想并证明数列的通项公式；（2）设数列满足，若数列是单调递减数列，求常数t的取值范围.18（12分）已知三点在抛物线上.（）当点的坐标为时，若直线过点，求此时直线与直线的斜率之积；（）当，且时，求面积的最小值.19（12分）语音交互是人工智能的方向之一，现在市场上流行多种可实现语音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小爱同学”智能音箱和阿里巴巴的“天猫精灵”智能音箱，它们可以通过语音交互满足人们的部分需求.某经销商为了了解不同智能音箱与其购买者性别之间的关联程度，从某地区随机抽取了100名购买“小爱同学”和100名购买“天猫精灵”的人，具体数据如下：“小爱同

5、学”智能音箱“天猫精灵”智能音箱合计男4560105女554095合计100100200（1）若该地区共有13000人购买了“小爱同学”，有12000人购买了“天猫精灵”，试估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多多少人？（2）根据列联表，能否有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关？附：0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820（12分）超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素

6、产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的

7、，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.（i）试运用概率统计的知识，若，试求p关于k的函数关系式；（ii）若，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值.参考数据：，21（12分）已知数列，满足.（1）求数列，的通项公式；（2）分别求数列，的前项和，.22（10分）已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标

8、系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B【解析】利用向量的数量积运算即可算出【详解】解：，又在上，故选：【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用2B【解析】先求出集合和它的补集，然后求得集合的解集，最后取它们的交集得出结果.【详解】对于集合A，解得或，故.对于集合B，解得.故.故选B.【点睛】本小题主要考查一元

9、二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为，然后通过因式分解，求得对应的一元二次方程的两个根，再利用“大于在两边，小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.3B【解析】取中点，可确定；根据平面向量线性运算和数量积的运算法则可求得，利用可求得结果.【详解】取中点，连接，即.，则.故选：.【点睛】本题考查平面向量数量积的求解问题，涉及到平面向量的线性运算，关键是能够将所求向量进行拆解，进而利用平面向量数量积的运算性质进行求解.4A【解析】由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面

10、，结合直观图判断外接球球心的位置，求出半径，代入求得表面积公式计算【详解】由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为2，底面为等腰直角三角形，斜边长为，如图：的外接圆的圆心为斜边的中点，且平面，的中点为外接球的球心，半径，外接球表面积故选：A【点睛】本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征，利用几何体的结构特征与数据求得外接球的半径是解答本题的关键5C【解析】先求出,再与相乘即可求出答案.【详解】因为,所以.故选:C.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算,考查了学生的计算能力,属于基础题.6A【解析】根据分组求和法，利用等差数列的前项和公式

11、求出前项的奇数项的和，利用等比数列的前项和公式求出前项的偶数项的和，进而可求解.【详解】当为奇数时，则数列奇数项是以为首项，以为公差的等差数列，当为偶数时，则数列中每个偶数项加是以为首项，以为公比的等比数列.所以.故选：A【点睛】本题考查了数列分组求和、等差数列的前项和公式、等比数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.7D【解析】首先对函数求导，利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值，根据题意，列出参数所满足的不等关系，求得结果.【详解】，令，得，其单调性及极值情况如下：x0+0_0+极大值极小值若存在，使得，则（如图1）或（如图2）（图1）（图2）于是可得，故选：D.【点睛】该题考查的

12、是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值，画出图象数形结合，属于较难题目.8D【解析】求解的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数，构造新函数，讨论其单调性即可求解.【详解】的定义域为，当时，故在单调递减；不妨设，而，知在单调递减，从而对任意、，恒有，即，令，则，原不等式等价于在单调递减，即，从而，因为，所以实数a的取值范围是故选：D.【点睛】此题考查含参函数研究单调性问题，根据参数范围化简后构造新函数转换为含参恒成立问题，属于一般性题目.9C【解析】根据分段函数的解析式，知当时，且，由于，则，即可求出.【详解】由题意知：当时，且由于，则可

13、知：，则，则，则.即.故选：C.【点睛】本题考查分段函数的应用，由分段函数解析式求自变量.10B【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件，表示的可行域，如图，由可得，将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最大，最大值为，故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标

14、函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.11A【解析】=,当时时,单调递减，时,单调递增,且当,当,当时，恒成立，时,单调递增且,方程R)有四个相异的实数根.令=则,即.12B【解析】根据求出再根据也在直线上，求出b的值，即得解.【详解】因为，所以所以，又也在直线上，所以，解得所以.故选：B【点睛】本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】根据组合的知识，结合组合数的公式，可得结果.【详解】由题可知：项来源可以是：（1）取1个，4个（2）取2个，3个的系数为：故答案为

15、：【点睛】本题主要考查组合的知识，熟悉二项式定理展开式中每一项的来源，实质上每个因式中各取一项的乘积，转化为组合的知识，属中档题.14【解析】利用平面直角坐标系，设出点E，F的坐标，由可得，利用数量积运算求得，再利用线性规划的知识求出的最大值.【详解】建立平面直角坐标系，如图（1）所示：设， ，即，又，令，其中，画出图形，如图（2）所示：当直线经过点时，取得最大值.故答案为：【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算、简单的线性规划问题，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于基础题.15【解析】由解析式可分析两函数互为反函数,则图象关于对称,则点到的距离的最小值的二倍即为所求,利用导函数即可求得最值.

16、【详解】由题,因为与互为反函数,则图象关于对称,设点为,则到直线的距离为,设,则,令,即,所以当时,即单调递减；当时,即单调递增,所以,则,所以的最小值为,故答案为:【点睛】本题考查反函数的性质的应用,考查利用导函数研究函数的最值问题.16【解析】根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，利用函数奇偶性的性质求解即可.【详解】因为函数，其定义域为，所以其定义域关于原点对称，又，所以函数为奇函数，因为，所以.故答案为:【点睛】本题考查函数奇偶性的判断及其性质；考查运算求解能力；熟练掌握函数奇偶性的判断方法是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明

17、过程或演算步骤。17（1），证明见解析；（2）【解析】（1）首先利用赋值法求出的值，进一步利用定义求出数列的通项公式；（2）首先利用叠乘法求出数列的通项公式，进一步利用数列的单调性和基本不等式的应用求出参数的范围【详解】（1）数列满足，其前项和为所以，则，所以猜想得：证明：由于，所以，则：（常数），所以数列是首项为1，公差为的等差数列所以，整理得（2）数列满足，所以，则，所以则，所以，所以，整理得，由于，所以，即【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠乘法的应用，函数的单调性在数列中的应用，基本不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题型18（）；（）16.【

18、解析】（）设出直线的方程并代入抛物线方程，利用韦达定理以及斜率公式，变形可得；（）利用，的斜率，求得的坐标，再用基本不等式求得的最小值，从而可得三角形的面积的最小值【详解】解：（）设直线的方程为. 联立方程组，得，故，. 所以；（）不妨设的三个顶点中的两个顶点在轴右侧（包括轴），设，的斜率为，又，则， 因为，所以由 得，（且）从而当且仅当时取“”号，从而，所以面积的最小值为.【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合，属于中档题19（1）多2350人；（2）有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关.【解析】（1）根据题意，知100人中购买“小爱同学”的女性有55人，购买“天猫精灵”

19、的女性有40人，即可估计该地区购买“小爱同学”的女性人数和购买“天猫精灵”的女性的人数，即可求得答案；（2）根据列联表和给出的公式，求出，与临界值比较，即可得出结论.【详解】解：（1）由题可知，100人中购买“小爱同学”的女性有55人，购买“天猫精灵”的女性有40人，由于地区共有13000人购买了“小爱同学”，有12000人购买了“天猫精灵”，估计购买“小爱同学”的女性有人.估计购买“天猫精灵”的女性有人.则，估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多2350人.（2）由题可知， ，有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关.【点睛】本题考查随机抽样估计总体以及独立性检验的应用，考查计算能力.20（1）（2）（i）（，且）.（ii）最大值为4.【解析】（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A,利用古典概型、排列组合求解即可；（2）（i）由已知得,的所有可能取值为1,则可求得,即可得到,