2011年广州一模文科数学试题(附答案)纯word版

1、 试卷类型：A2011 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数 学（文 科）2011.3本试卷共 4 页，21 小题， 满分 150 分. 考试用时 120 分钟.一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A x ax 1 0 ，且1 Aa，则实数 的值为1. 已知集合10C12ABDDz 1 z 2 z z 12已知 i 为虚数单位, 若复数i，i，则122A3iB.22iC.1i2 2i 2,3 x,6/p q的值为3. 已知向量 p,q,且 p q，则1355C.D13AB.x2 y2x y 1 a 022 1

2、a有相同的焦点, 则 的值为4. 已知椭圆与双曲线a294 32104C.D10AB. aa 2,a a a aq，则公比 的值为5. 各项都为正数的等比数列中，n16123232D3AB.C. 上f x e e (e) 0,6. 函数xx为自然对数的底数 在A有极大值B. 有极小值C. 是增函数D是减函数n 5k7. 阅读图 1 的程序框图. 若输入, 则输出 的值为B3D524ACk 0m8. 已知l 、 是不同的两条直线， 、 是不重合的两个平面，kk1否n 150? 则下列命题中为真命题的是, / ，则lA若lB若lC若lD若l/, ，则l / m, / ,m ，则l ，则l m, /

3、 ,m 图 19. 向等腰直角三角形 ABC其中AC BC内任意投一点M , 则 AM 小于的概率为AC221ABCD22842x y 5, y 2,10. 某所学校计划招聘男教师x 名,女教师 y 名, x 和 y 须满足约束条件xx 6.则该校招聘的教师人数最多是A6 B8C10D12二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.频率（一）必做题（1113题）组距11.为了了解某地居民每户月均用电的基本情况,抽取出该地区若干户居民的用电数据, 得到频 0.040率分布直方图如图 2 所示, 若月均用电量在区间110,120上共有 150 户, 则月均用

4、电0.0350.0300.0250.020量在区间120,140上的居民共有户.0.0150.0100.00512. ABC 的三个内角 A、 B 、C 所对边的0120 130月均用电量(度)100110140 150 3,C , a 2b长分别为a 、 、c ，已知cb,图23则 的值为b. f x，1 2,x, yR 都有 f x y 13. 已知函数 f x 满足 f且对任意 f y 6 f i n10记 a a aa ，则n.i12i1i1C（二）选做题（1415 题，考生只能从中选做一题）14. (几何证明选讲选做题) 如图 3, CD 是圆O 的切线, 切点为C ,DB点 A、

5、B 在圆O 上， BC则圆O 的面积为 1,BCD 30，O. 1, 015. (坐标系与参数方程选讲选做题) 在极坐标系中，若过点A 4cos 且与极轴垂直的直线交曲线于 A、 B 两点，图 3则 AB.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. （本小题满分 12 分） 已知函数 f x 2sin xcos x cos2 x x(R). (1) 求 f x 的最小正周期和最大值；2tan 2 的值.，求(2) 若 为锐角，且 f8317. （本小题满分 12 分）某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1 小时抽一包产品，称其重

6、量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图4.(1) 根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定；(2) 若从乙车间 6 件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过2 克的概率.甲乙2454图4 18. （本小题满分 14分） A B CAA ,底面 ABC ,AB BC D 为 AC 的中点,如图 5,在三棱柱 ABC中，侧棱1111A A AB 2 ,BC1 3./（1）求证： AB 平面BC D1；AA11 AA C D(2) 求四棱锥 B的体积.11DBCC1图 519（本小题满分 14分）动点 P

7、与点 F(1,0)的距离和它到直线l : x 1的距离相等，记点 的轨迹为曲线C 圆CP12, N 两点，且| MN | 4的圆心T 是曲线C 上的动点, 圆C 与 y 轴交于 M.12（1）求曲线C 的方程；1 （2）设点 A a,0 (a 2) ,若点 A到点T 的最短距离为a 1,试判断直线 与圆C 的位置关系,l2并说明理由.20. （本小题满分 14分） 1 1是首项为 ,公差为 的等差设各项均为正数的数列 a 的前 项和为 S ,已知数列nSnnn 数列. (1) 求数列 a 的通项公式；n1Ln对任意n N*都成立，（2）令b，若不等式bna Sn a Si2n 1 1i12n1

8、n1 2n1求实数 的取值范围.L21. （本小题满分 14分） 已知函数 f x ,对于任意 xR都有 f x x,且 ax bx c a 0f 0 0满足2 11f x f x ,令 g x f x x 1 0 . 2 2 (1)求函数 f x 的表达式； (2)求函数 g x 的单调区间； (3)研究函数 g x 在区间 0,1 上的零点个数.2011年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以

9、相应的分数2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算共 10小题，每小题 5分，满分 50分.题号答案1A2A3B4C5C6C7B8D9D10C 二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算本大题共5 小题，考生作答 4 小题，每小题5 分，满分 20 分其中 1415题是选做题

10、，考生只能选做一题11. 30012.313. 3214.2 315.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16（本小题满分 12 分）(本小题主要考查三角函数性质, 同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) 2sin xcos x cos2 x(1) 解: f x sin 2x cos2 x 2分 3分22 2sin 2x cos 2x22 2 sin 2x . 4分 6分 7分 8分42 f x 的最小正周期为, 最大值为 2 .2222 sin 2(2) 解: f,.832313 .cos 2 为锐

11、角，即0 ,0 2 .22 23sin 2 1 cos22 . 10分 12分sin 2tan 2 2 2 .cos 217（本小题满分 12 分）(本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)1x 107 111111113 114 122 113甲(1) 解：, 1分 2分61x 108 109 110 112 115 124 113,乙61 S 107 113 111113 111113 113 113 114 113 122 1132222222甲6=21 , 3分 16 S 108 113 109 1

12、13 110 113 112 113 115 113 124 1132222222乙883, 4分 x x, SS ,2乙 5分2甲甲乙甲车间的产品的重量相对较稳定.(2) 解: 从乙车间 6件样品中随机抽取两件,共有 15种不同的取法: 6分 108，109 ，108，110 ， 108，112 ，108，115 ，108，124 ，109，110 ，109，112 ，109，115 ，109，124 ，110，112 ， 110，115 ，110，124 ，112，115 ，112，124 115，124., 8分设 A表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过2克”,则 A的基本事件

13、有 4种: 108，109 ，108，110 109，110 ，110，112,. 10分 12分4 故所求概率为 P A.1518. （本小题满分 14 分）(本小题主要考查空间线面关系、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)（1）证明:连接 B C ,设 B C 与 BC 相交于点O ,连接OD ,111 四边形 BCC B 是平行四边形,11点O 为 B C 的中点.1A1A D为 AC 的中点，OD 为 AB C 的中位线,1E/ ABD OD . 3分1BC D1OD 平面 BC D ,AB1平面,1BB1/ AB

14、平面BC D1. 6分1O(2)解法 1: AA 平面 ABC ,AA AA C C1平面,111CC1 平面 ABC 平面 AA C C ，且平面ABC平面 AA C C AC .1111 ACEBE ，垂足为 ，则 平面 AA C C ，作 BE 8分11 BB 2， BC 3， AB1AB BCAC6 AB BC 4 9 13 BE 在 Rt ABC 中， AC22，13 10分 12分1 1 AA C DV AC AD AA BE四棱锥 B四棱锥 B的体积3 2111111 36 13 26 2 3 .13 AA C D3的体积为 . 14分11A1A解法 2: AA 平面 ABC ,

15、AB 平面 ABC ,1 AA AB .1/ AA BB,D11 BB AB .1B BC, BC BB B AB,1EO AB 平面 BB C C . 8分11CC11取的中点 E ,连接 DE ,则 DE,BC/ AB, DE AB2 DE 平面 BB C C .111 A B CV AB BC AA 6三棱柱 ABC的体积为, 10分211111 111 11 BC CC DE V 1 V B C BB A B V 2则V,.3 263 23DBCC11A BB C1111111 1 12分而V VVV,DBCC1A BB CB AA C D1111 16 1 2 V 3 .VB AA

16、C DB AA C D111 1 AA C D3的体积为 .四棱锥 B 14分1119（本小题满分 14 分）(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、直线、圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) , y,依题意,得PF x 1 ,(1)解法 1: 设动点 P 的坐标为 x 1 y x 1即 x2, 2分 4分2化简得:y 4x ,2曲线C 的方程为 y1 4x .2解法 2:由于动点 P 与点 F(1,0)的距离和它到直线l : x 1的距离相等，根据抛物线的定义可知, 动点 P 的轨迹是以点 F(1,0)为焦点,直线 为准

17、线的抛物线. 2分 4分l曲线C 的方程为 y1 4x .2(x , y ) ,圆C（2）解: 设点T 的坐标为的半径为 ，r002: y 4x 点T 是抛物线C上的动点,21 4x x 0 y20().00 x a y 0 AT22 6分00 x 2ax a 4x20200 x a 2 2 4a 4.0 a 2 , a 2 0 ,则当 x a 2时, AT 取得最小值为 a2 1 , 8分02 a 1 1,依题意得a两边平方得a2 6a 5 0, 5 a 1或解得a(不合题意,舍去). 10分 a 2 3 y 4x 12y 2 3. x,即20000 3, 2 3圆C 的圆心T 的坐标为.2

18、, N 两点，且| MN | 4 圆C 与 y 轴交于 M2,| MN | 2 r x 4220. 4 x 13 r. 12分20 x 1 4 13点T 到直线 的距离dl,0直线 与圆C 相离.l 14分220（本小题满分 14 分）(本小题主要考查数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) 11是首项为 ,公差为 的等差数列，（1）解：数列Sn 1 n 1 n S.n S当n n2 . 2分n1 1时， a S；11 2a S S n n 1 2n 1当n又 a时，2.2nnn1 1适合上式.1 a 2n 1.

19、4分n11（2）解：b na Sn a S2n 1 2n 1 2n 1 2n 12n1n1 2n11 2n 1 2n 1 2n 1 2n 12n 1 2n 1 2 2n 1 2n 11 11 . 6分2 2 12n 1 nnb b bbi12ni11 1 1 11 1 11 1 232 352 2 12n 1 n1 1 2n 1 1 1. 8分22 12 2n 1n Ln故要使不等式 b对任意n N* 都成立，2n 1 1ii12n 1 1L对任意nN* 都成立，即2 2n 1n2 1 1 2n 1 1 2n 1 1n对任意nN* 都成立.得 L 10分 12分 14分2 2n 12n 1 2

20、n n 4n 15cn1 2n 1n321.令c，则n12n 12 3n nc2 3n2nn3n3 cc c c c.3n1nnn113 L3 .3,实数 L 的取值范围为3 n 1 2n 1 n 2n 3n1n c 另法:c 2n 32n 1n2 1 2n 3n1n2n 5n 4n 1 2n 3n3233 0 . 2n 1 2n 33c c .c c c . 12分3n1nnn113 L.3 .3,实数 L 的取值范围为 14分321（本小题满分 14 分）(本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证

21、能力、运算求解能力和应用意识) 0 0(1) 解： f，c 0 . 1分11f x f x对于任意 x R都有 ,22 函数 f x 的对称轴为 x12b12 2a，得a b .，即 2分 又 f x xax b 1 x 0对于任意 xR都成立，即2 2 b 1 0 a 0,且 1 2 0b 1,a 1 b， x x f x 4分 5分2 1x 1 x 1, x ,2 (2) 解： g x f x x 1 1x 1 x 1, x .2 11 g x x 1 x 1x 的对称轴为 当 x时，函数，221 1 1 2,若若，即0，函数 g x 在上单调递增； 6分2 1 11 11, 2 2g x

22、,，即，函数在上单调递增，在上单调递减22 7分g x x 1 x 1x 11 1 当 x时，函数的对称轴为，22 1 则函数 g x 在11,上单调递增，在上单调递减 8分 22 时，函数 g x1 2, ，单调递减区间为综上所述，当0单调递增区间为 2,1； 9分2 1 1 1 2当时，函数 g x 单调递增区间为, 和, ，单调递减区间为 2 21 ,1 1和, 10分2 2 时，由(2)知函数 g x 在区间 0,1 上单调递增， 2(3)解： 当0 又 0g 1 0,g 1 2 1 0， 在区间 0,1 上只有一个零点g x故函数 11分1 1 1 2 ，而 0g 1 1 1 2 0

23、 ， 当时，则1 0, g 2 g 1 2 1，11 3（）若2 1，由于2 2 1 211 1 1 1 且， g1 0 2 2 24 此时，函数在区间 0,1 上只有一个零点； 12分g x1 3，由于 且 1 2 ，此时，函数 在区间 0,1g x 1g 01（）若2上有两个不同的零点 13分 在区间 0,1 上只有一个零点；g x 3综上所述，当0 时，函数 当 3时，函数在区间 0,1 上有两个不同的零点 14分g x2011年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，

24、如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算共 10小题，每小题 5分，满分 50分.题号答案1A2A3B4C5C6C7B8D9D10C二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算本大题共5 小

25、题，考生作答 4 小题，每小题5 分，满分 20 分其中 1415题是选做题，考生只能选做一题 11. 30012.313. 3214.2 315.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16（本小题满分 12 分）(本小题主要考查三角函数性质, 同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) 2sin xcos x cos2 x(1) 解: f x sin 2x cos2 x 2分 3分22 2sin 2x cos 2x22 2 sin 2x . 4分 6分 7分 8分42 f x 的最小正周期为, 最大值为

26、2 .2222 sin 2(2) 解: f,.832313 .cos 2 为锐角，即0 ,0 2 .22 23sin 2 1 cos22 . 10分 12分sin 2tan 2 2 2 .cos 217（本小题满分 12 分）(本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)1x 107 111111113 114 122 113甲(1) 解：, 1分 2分61x 108 109 110 112 115 124 113,乙61 S 107 113 111113 111113 113 113 114 113 122

27、1132222222甲6=21 , 3分1 S2乙108 1132 109 1132 110 1132 112 1132 115 1132 124 11326 883, 4分 5分 xS , x, S2甲2乙甲乙甲车间的产品的重量相对较稳定. 6分 108，109 ，108，110 ，(2) 解: 从乙车间 6件样品中随机抽取两件,共有 15种不同的取法: 108，112 ，108，115 ，108，124 ，109，110 ，109，112 ，109，115 ，109，124 ，110，112 ， 110，115 ，110，124 ，112，115 ，112，124 115，124., 8分

28、设 A表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过2克”,则 A的基本事件有 4种: 108，109 ，108，110 109，110 ，110，112,. 10分 12分4 故所求概率为 P A.1518. （本小题满分 14 分）(本小题主要考查空间线面关系、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)（1）证明:连接 B C ,设 B C 与 BC 相交于点O ,连接OD ,111 四边形 BCC B 是平行四边形,11点O 为 B C 的中点.1A1A D为 AC 的中点，OD 为 AB C 的中位线,1E/ ABD OD

29、. 3分1BC D1OD 平面 BC D ,AB1平面,1BB1/ AB 平面BC D1. 6分1O(2)解法 1: AA 平面 ABC ,AA AA C C1平面,111CC1 平面 ABC 平面 AA C C ，且平面ABC平面 AA C C AC .1111 ACEBE ，垂足为 ，则 平面 AA C C ，作 BE AB 8分11 BB 2 3， BC1 AB BCAC6 AB BC 4 9 13 BE 在 Rt ABC 中， AC22，13 10分 12分1 1 AA C DV AC AD AA BE四棱锥 B四棱锥 B的体积3 2111111 36 13 26 2 3 .13 AA

30、 C D3的体积为 . 14分11A1A解法 2: AA 平面 ABC ,AB 平面 ABC ,1 AA AB .1/ AA BB,D11 BB AB .1B BC, BC BB B AB,1EO AB 平面 BB C C . 8分11CC11取的中点 E ,连接 DE ,则 DE,BC/ AB, DE AB2 DE 平面 BB C C .111 A B CV AB BC AA 6三棱柱 ABC的体积为, 10分211111 111 11 BC CC DE V 1 V B C BB A B V 2则V,.3 263 23DBCC11A BB C1111111 1 12分而V VVV,DBCC1

31、A BB CB AA C D1111 16 1 2 V 3 .VB AA C DB AA C D111 1 AA C D3的体积为 .四棱锥 B 14分1119（本小题满分 14 分）(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、直线、圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) , y,依题意,得PF x 1 ,(1)解法 1: 设动点 P 的坐标为 x 1 y x 1即 x2, 2分 4分2化简得:y 4x ,2曲线C 的方程为 y1 4x .2解法 2:由于动点 P 与点 F(1,0)的距离和它到直线l : x 1的距离相等，根据

32、抛物线的定义可知, 动点 P 的轨迹是以点 F(1,0)为焦点,直线 为准线的抛物线. 2分 4分l曲线C 的方程为 y1 4x .2(x , y ) ,圆C（2）解: 设点T 的坐标为的半径为 ，r002: y 4x 点T 是抛物线C上的动点,21 4x x 0 y20().00 x a y 0 AT22 6分00 x 2ax a 4x20200 x a 2 2 4a 4.0 a 2 , a 2 0 ,则当 x a 2时,AT取得最小值为 a2 1 , 8分02 a 1 1,依题意得a两边平方得a2 6a 5 0, 5 a 1或解得a(不合题意,舍去). 10分 a 2 3 y 4x 12y

33、 2 3. x,即20000 3, 2 3圆C 的圆心T 的坐标为.2, N 两点，且| MN | 4 圆C 与 y 轴交于 M2,| MN | 2 r x 4220. 4 x 13 r. 12分20 x 1 4 13点T 到直线l 的距离d,0 直线 与圆C 相离.l 14分220（本小题满分 14 分）(本小题主要考查数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) 11是首项为 ,公差为 的等差数列，（1）解：数列Sn 1 n 1 n S.n S当n n2 . 2分n1 1时， a S；11 2a S S n n 1

34、 2n 1当n又 a时，2.2nnn1 1适合上式.1 a 2n 1. 4分n11（2）解：b na Sn a S2n 1 2n 1 2n 1 2n 12n1n1 2n11 2n 1 2n 1 2n 1 2n 12n 1 2n 1 2 2n 1 2n 11 11 . 6分2 2 12n 1 n bn b b bi12ni11 1 1 11 1 11 1 232 352 2 12n 1 n1 1 2n 1 1 1. 8分22 12 2n 1n Lnn *对任意 N 都成立，故要使不等式 b2n 1 1ii1 2n 1 12 2n 1L对任意nN* 都成立，即2 1 1n 2n 1 1 2n 1 1n对任意nN* 都成立.得