材料力学3-第三章扭转教材

1、第三章扭转1目录第三章扭转33 1扭转的概念3一、定义3二、基本概念3三、实例33 2外力偶矩计算、扭矩和扭矩图5一、外力偶矩计算5二、扭矩和扭矩图63 3纯剪切8一、薄壁圆筒扭转时的剪应力8二、剪应力互等定理9三、剪应变、剪切胡克定律103 4圆轴扭转时的应力10一、圆轴扭转时的应力计算公式10二、极惯性矩计算11三、圆轴扭转强度条件123 5圆周扭转时的变形13一、相邻截面扭转角计算公式132第三章扭转 31扭转的概念一、定义在杆两端作用两大小相等、 方向相反、 且作用面垂直于杆件轴线的力偶， 使杆的任意两个截面发生绕轴的相对转动。杆件的这种变形形式称为扭转。二、基本概念轴：工程中一般将发

2、生扭转变形的直杆称为轴扭转角：扭转时杆的任意两个横截面的相对角位移三、实例搅拌机轴、汽车传动轴等1、螺丝刀杆工作时受扭32、汽车方向盘的转动轴工作时受扭3、机器中的传动轴工作时受扭。4 32外力偶矩计算、扭矩和扭矩图一、外力偶矩计算在工程实际中， 作用于轴上的外力偶矩往往上未知的，已知的往往是轴的转速以及轴上各轮所传送的功率。以下图所示的齿轮轴简图为例，主动轮 B 的输入功率经轴的传递，由从动轮 A 、C 输出给其它构件。5外力偶矩与功率、角速度关系P M e外力偶矩与功率、转速关系m9549 P kW7024 P 马力n r/minn r/min二、扭转杆件的内力扭矩和扭矩图1、扭转杆件的内

3、力（截面法）MeMex(1 马力 =735.5N?m/s)MeMexT由平衡方程M T0 ， M T - M e0 得 M TM e ， M T 称为截面 m-m上的扭矩。按右手螺旋法则把M T 表示为矢量，当矢量方向与截面的外法线的方6向一致时， M T 为正；反之，为负。2、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。右手的四指代表扭矩的旋转方向， 大拇指代表其矢量方向， 若其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为负值。以横轴表示横截面的位置， 纵轴表示相应截面上的扭矩， 绘成的图形称为扭矩图。3、内力图（扭矩图）表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形扭矩图作法：同轴力图例题：一传

4、动轴如图 a)所示，主动轮 A 输入功率 PA22kW ,从动轮 B、 C 输出功率分别为 PB 14.8kW, PC7.2kW ,轴的转速为 n300r/min 。试求横截面上的扭矩，并画出扭矩图a)7CAB解： 1、计算作用于各轮上的外力扭M eA9549 PA954922 N m700N mn300M eB9549PA954914.8471N mn300M eC9549 PA95497.2229Nmn3002、用截面法计算各段内的扭矩CA 段：M x0，M T1M eC0 , M T1M eC229 N m负号说明实际扭矩方向与假设的正扭矩相反。AB 段： M T2M eAM eC471

5、 Nm471MT图：+单位： N?m229从图中可以看出，最大扭矩在AB 段内，且 M Tm ax471Nm33纯剪切一、薄壁圆筒扭转时的剪应力实验取一薄壁圆筒，加载前在表面画一系列圆周线和纵向线，然后加上一对转向相反的扭转力偶。当圆筒产生不大的扭转角，可观察到得现象：82、变形规律（1）各圆周线的形状、大小和它们之间的距离都没有变化，只是绕轴线相对转到了不同的角度，使图中矩形两侧对边发生相对错动；（2）各纵向线倾斜了同一个微小角度，纵向线之间的距离没有改变。tD3、 现象表明薄壁圆筒扭转后其横截面上没有正应力，只有切应力。由于筒壁 很小，可以认为沿筒壁厚度的各点处切应力是均匀分布的。如果在横

6、截面上取一微面积 dA, 则作用在其上的微内力为dA ,所有微内力对x轴的力矩应为2 r r ，其中 r 为圆筒的平均半径。4、切应力的计算公（薄壁圆筒横截面上的切应力计算）TdA.r02r02tdr02t 20AT22 r0 t二、剪应力互等定理9在相互垂直的两个平面上， 切应力必定成对存在， 且数值相等， 两者都垂直于两个平面的交线，方向共同指向或共同背离这一交线，称剪应力互等定理。当所研究的单元体的侧面上只有切应力而无正应力作用， 单元体的这种应力状态也称为纯剪切应力状态三、剪应变、剪切胡克定律1. 试验通过低碳钢薄壁圆筒的扭转实验，可以得出材料在纯剪切力与切应变之间的关系，实验结果表明

7、： 当切应力不超过材料的切应力比例极限P 时，切应变与切应力成正比，这就是剪切胡克定律:G.2. G、 E 之间的关系EG2 1 3 4圆轴扭转时的应力一、圆轴扭转时的应力计算公式变形几何关系：由实验找出变形规律应变的变化规律D取楔形体 O1 2微段扭转变形O ABCD为研究对象d在扭转力矩作用下， 当圆轴转动一个不大的角度时，观察到的表面现象与薄10壁圆筒受扭转时的现象完全一样。（1）各圆周线的形状、大小和相邻圆周线间的距离都没有变化，只是绕轴线相对地旋转到了一个角度（2）各纵向线倾斜了同一个微小角度，变形前表面上的矩形方格，变形后错动为平行四边形。（3）圆轴扭转的平面假设：圆轴扭转变形前原

8、为平面的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变， 半径仍保持为直线， 且相邻两截面间的距离不变。ddx该式表明横截面上沿径向任意点的切应变与该点到圆心的距离成正比。物理关系：由应变的变化规律应力的分布规律maxPGGGddx静力关系M TdAA二、极惯性矩计算11yzdAyo计算公式I P2 dAAM TM T RImaxII抗扭转截面系数 WPR圆形截面极惯性矩计算（1）实心圆轴2 dAD3 dD 4I P2 2WPA032（2）空心圆轴2 dAD3d( D 4d 4 )I Pd2 2A232WPI P16D 4 - d 4D3 (14 )R16zmaxI PD 3R164D4 (1 )

9、M TW P三、圆轴扭转强度条件对于等截面杆 ，M T I Pmax M T maxWP例题：某汽车的主传动轴AB ，由 45 钢的无缝钢管制成， 如图，其外径 D=90mm，壁厚 2.5mm。在使用时最大力偶矩 We1.8kNm 。已知材料的a65MPa ，试12校核该轴的强度。 如果汽车主传动轴AB 改用实心轴， 在保证轴的最大应力不变的条件下，试确定实心圆轴的直径D 1 ，并比较空心轴和实心轴的重量。M eM eAB解： 1.计算 AB 轴的抗扭截面系数WPD 34)903 mm 30.9454)29 103mm3(1(116162.校核轴的强度max M T max1.8 103 N

10、m62.1MPa，所以该轴强度足够WP29103 10 9 m 33在保证62.1MPa 条件下，设实心圆轴的直 22 为 D 1 ，maxM T max1.8103 N m62.1MPa解得： D1 0.053m 53mmWPD 13,164.在两轴长度相等、材料相同的情况下，实心轴与空心轴的重量之比等于其A 实心D1253243.2横截面面积之比，即 A 空心85222902(D- d )4可见，在同等受载情况下， 实心轴的重量超过空心轴， 空心轴的材料消耗少。注意，若将空心轴沿轴线方向切开，则其扭转的承载能力将大为降低，所以工程中的扭转构件要避免空心轴纵向开口。 3 5圆周扭转时的变形一、相邻截面扭转角计算公式lTdxGI PGI P 反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。GI P 越大，扭13转变形愈小。