22数列的极限解析课件

1、22数列的极限解析22数列的极限解析2.2 数列极限割圆术 我国古代数学家刘徽在九章算术注利用圆内接正多边形计算圆面积的方法-割圆术，就是极限思想在几何上的应用。一、数列概念2.2 数列极限割圆术 我国古代数学家刘徽在九“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”播放(魏晋)刘徽割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而正六边形的面积正十二边形的面积正 形的面积说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正3072边形得到圆周率 的近似值为3.1416正六边形的面积正十二边形的面积正 形1、数列的定义例如称为无穷数列,简称数列. 1、数列的定义例

2、如称为无穷数列,简称数列. 说明：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数说明：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次2、有界性2、有界性例如,有界；无界例如,有界；无界3、单调性为单调增数列；单调减数列单调增数列和单调减数列统称为单调数列.3、单调性为单调增数列；单调减数列单调增数列和单调减数列统4、子数列 (subsequence)注意：例如，4、子数列 (subsequence)注意：例如，数列有以下几种变化趋势:数列的变化趋势数列有以下几种变化趋势:数列的变化二、数列的极限二、数列的极限 公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲学家芝诺(Ze

3、no)用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论： 如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟之间举行一场赛跑,让乌龟在阿基里斯前头1000米开始,假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍,他永远也追不上乌龟.芝诺的理论依据是：当比赛开始的时候,阿基里斯跑了1000米,此时乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时,乌龟仍然前于他10米, 如此分析下去,显然阿基里斯离乌龟越来越近,但却是永远也追不上乌龟的.这个结论显然是错误的,但奇怪的是,这种推理在逻辑上却没有任何毛病.那么,问题究竟出在哪儿呢？ 芝诺悖论阿基里斯与乌龟 公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲

4、学家芝诺(Zeno 如果我们从级数的角度来分析这个问题,芝诺的这个悖论就会不攻自破. 如果我们从级数的角度来分析这个问题,芝诺的这个悖论就22数列的极限解析 然而芝诺将这样一个直观上都不会产生怀疑的问题与无限纠缠在一起，以至于在相当长时间内不得不把“无限”排除在数学之外.直到19世纪，当反应变量无限变化极限理论建立之后，才可用极限理论回答芝诺的挑战. 然而芝诺将这样一个直观上都不会产生怀疑的问题与无限纠ExampleKoch 雪花做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形“Koch雪

5、花”ExampleKoch 雪花做法：先给定一个正三角形，然后112233445566第一次分叉：第一次分叉：周长为面积为第次分叉：周长为面积为第次分叉：于是有雪花的面积存在极限（收敛）结论：雪花的周长是无界的，而面积有界做一个雪花蛋糕会比较有趣，这样就可以宣称“我吃掉了一条无限长的曲线”了. 于是有雪花的面积存在极限（收敛）结论：雪花的周长是无界的， 这种奇怪的几何怪物的发现,向十九世纪的数学家提出了挑战，因为这种曲线打破了人们的直觉观念:连续曲线总能借助于铅笔的不间断移动画出来，局部曲线总是 “光滑”的. 但是Koch曲线提醒人们，在研究无穷过程时，直觉是一个很不可靠的向导，这种挑战迫使数

6、学家们为其职业制定更高更严的标准，曲线的定义也需要加以修改，以适应类似这种“病态”的雪花怪物.Koch曲线是一条浪漫的分形曲线，它的周长为无限大，曲线上任两点之间的距离也是无限大，却包围着有限的面积. 曲线在任何一点处都连续，但却处处“不可导”（每一点都是“尖点”）.还好我的浪漫没这么抽象 这种奇怪的几何怪物的发现,向十九世纪的数学家提出一尺之棰，日取其半，万世不竭.初始长度为：1 在庄子天下篇中有截丈问题的精彩论述：截杖问题：一尺之棰，日取初始长度为：1 在庄子天下篇中有第一天剩的长度为：截丈问题：一尺之棰，日取其半，万世不竭.第一天剩的长度为：截丈问题：一尺之棰，日取第二天剩的长度为：截丈

7、问题：一尺之棰，日取其半，万世不竭.第二天剩的长度为：截丈问题：一尺之棰，日取第三天剩的长度为：截丈问题：一尺之棰，日取其半，万世不竭.第三天剩的长度为：截丈问题：一尺之棰，日取第四天剩的长度为：截丈问题：一尺之棰，日取其半，万世不竭.第四天剩的长度为：截丈问题：一尺之棰，日取这样可以看出第n天剩的长度为：一尺之棰，日取其半，万世不竭.于是得到了数列:当n 越来越大时,棰越来越短,逐渐趋于0.这样可以看出第n一尺之棰，日取于是得到了数列:当n 越来越大数列极限的定性描述Definition如果n无限增大时，数列xn的通项xn无限接近于常数a，则称该数列以a为极限，记做或如果数列没有极限,就说数

8、列是发散的.上例中，数列极限的定性描述Definition如果n无限增大时，数以0为极限的变量称为无穷小量.如每一项均为常数的数列称为常数列. 常数列的极限仍是该常数.如数列1,1,1,为常数列，且绝对值无限变大的变量称为无穷大量，或称其收敛于，或.如2n,-2n 均为无穷大量，且为n时的无穷小量以0为极限的变量称为无穷小量.为n时的无穷小量播放数列极限的定量描述播放数列极限的定量描述问题:当n无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它?通过上面演示实验的观察:问题:当n无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数22数列的极限

9、解析如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：定义总存在正数N, 不等式记为或如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：定义总存在正数N,几何解释:其中几何解释:其中例6证例6证例7证例7证三、收敛数列的性质性质1（极限的唯一性）收敛数列的极限必唯一.证由定义,故收敛数列不可能有两个极限.三、收敛数列的性质性质1（极限的唯一性）收敛数列的极限必唯一收敛数列必为有界数列.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论 无界数列必定发散.性质2（有界性）收敛数列必为有界数列.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要推论性质3（保号性）证这个定理表明 若数列的极限为正（或负），则该数列从某一项开始以后所有项也为正（或负）.推论性质3（保号性）证这个定理表明 若数列的极限为正（或负性质4（收敛数列与其子数列间的关系）这个定理表明 若数列有两个不同的子数列收敛于不同的极限，则该数列是发散的.性质4（收敛数列与其子数列间的关系）这个定理表明 若数列有四、小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质:唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性.四、小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想、精确定义、22数列的极限解析22数列的极限解析22数列的极限解析22数列的极限解析22数列的极限解析22数列的极限解析22数列的