1.1.1空间向量及其线性运算-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册同步练习【含答案】

1、空间向量及其线性运算同步练习一、选择题已知向量a=t+1,1,t,b=t1,t,1，则ab的最小值为( )A. 2B. 3C. 2D. 4如图所示，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，MN=xa+yb+zc，则x,y,z的值分别为( ) A. 12,23,12B. 23,12,12C. 12,12,23D. 23,23,12已知空间向量a=(0,2,1)，则与向量a+b方向相反的单位向量e的坐标是()A. (0,1,2)B. (0,1,2)C. (0,15,25)D. (0,15,25)已知正方体ABCDABCD的中心为O，则在下列

2、各结论中正确的共有( )OA+OD与OB+OC是一对相反向量；OBOC与OAOD是一对相反向量；OA+OB+OC+OD与OA+OB+OC+OD是一对相反向量；OAOA与OCOC是一对相反向量A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个已知在四面体ABCD中，点M是棱BC点，且BM=3MC，点N是棱AD的中点，若MN=xAB+yAC+zAD其中x，y，z为实数，则x+y+z的值是()A. 12B. 12C. 2D. 2已知向量a=(3,2，5)，b=(1,x，1)，且ab，则x的值为（ ）A. 4B. 1C. 3D. 2已知两个向量a=(2,1,3),b=(4,m,n)，且a/b，则m+n的值为(

3、)A. 4B. 4C. 8D. 8如图，在空间四边形ABCD中，ABCD+ACDB+ADBC=( )A. 1B. 1C. 0D. 不确定在三棱柱ABCA1B1C1中，AB=a，AC=b，AA1=c.点M在棱BC上，且BM=2MC，N为AA1的中点，若以a,b,c为基底，则MN=( )A. 23a13b+12cB. 23a13b+12cC. 13a+23b12cD. 13a23b+12c如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，M，G分别是BC，CD的中点，则AB+12BC+12BD等于（） A. ADB. GAC. AGD. MG如图，以长方体ABCDA1B1C1D1的顶点D为坐标原点

4、，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB1的坐标为(4,3，2)，则C1的坐标是（ ）A. (0,3，2)B. (0,4，2)C. (4,0，2)D. (2,3，4)已知正方体ABCDABCD中，点F是侧面CDDC的中心，若AF=AD+xAB+yAA，则xy等于（） A. 0B. 1C. 12D. 12已知O为坐标原点，OA在基底a,b,c下的坐标为(2,1,3)，其中a=4i+2j,b=2j+3k,c=3kj，则向量OA在基底i,j,k下的坐标为()A. (7,3,12)B. (3,7,12)C. (2,4,6)D. (8,3,12)平行六面体ABCDA1B1C1D1中，

5、向量AB,AD,AA1两两的夹角均为60，且|AB|=1，|AD|=2，|AA1|=3，则|AC1|等于（ ）A. 5B. 6C. 4D. 8二、填空题给出下列若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行;若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面;已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得p=xa+yb+zc;若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB+BC+CD+DA=0其中为真命题的是_.已知A(1,0,0)，B(0,1,1)，OA+OB与OB的夹角为，则=_已知AB=(1,2,3)，AC=(1,2，1)，则BC=_已知正方体ABCDA1B1

6、C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且AF=AD+mABnAA1，则m=_已知向量a=0,1,1，b=(4,1,0)，a+b=29且0，则=_三、解答题已知向量a=2,1,2，c=1,0,1，若向量b同时满足下列三个条件：ab=1；|b|=3；b与c垂直(1)求向量b的坐标；(2)若向量b与向量d=1,12,1共线，求向量ab与2b+3c夹角的余弦值三棱柱ABCA1B1C1中，M、N分别是A1B、B1C1上的点，且BM=2A1M，C1N=2B1N.设AB=a，AC=b，AA1=c(I)试用a,b,c表示向量MN；(II)若BAC=90，BAA1=CAA1=60，AB=AC=AA1=1，求MN

7、的长在空间直角坐标系Oxyz中，O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,1,2)，点P满足AP=AC(1)求点P的坐标(用表示)；(2)若OPBC，求的值如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM=2A1M，C1N=2B1N.设AB=a,AC=b,AA1=c (1)试用a,b,c表示向量MN；(2)若BAC=90，BAA1=CAA1=60，AB=AC=AA1=1，求MN的长答案和解析1.C解：由已知ab=(2,1t,t1)，所以ab=22+(1t)2+(t1)2=2t24t+6，因为tR，所以2t24t+6=2(t1)2+42故选C2.

8、B解：MN=ONOM=12OB+OC23OA=23a+12b+12c，所以x=23,y=12,z=12故选：B3.D解：a=(0,2，1)，b=(0,1,1)，a+b=(0,1，2)，|a+b|=5，与向量a+b方向相反的单位向量e的坐标是15(0,1，2)=(0，15，25)，故选D4.C解：如图所示，OA=OC，OD=OB，所以OA+OD=(OB+OC)，是一对相反向量；OBOC=CB，OAOD=DA，而CB=DA，故不是相反向量；同也是正确的；OAOA=AA，OCOC=CC=AA，是一对相反向量，所以正确，故选C5.B解：因为BM=3MC，点N是棱AD的中点；MB=34BC，AN=12A

9、D；BC=ACAB；MN=MB+BA+AN=34(ACAB)AB+12AD=14AB34AC+12AD；MN=xAB+yAC+zAD ；x=14，y=34，z=12；x+y+z=126.A解：由题可得ab=0，31+2x+5(1)=0，解得x=4，故选A7.B解：，存在实数k使得a=kb，解得k=12，m=2，n=6，则m+n=4故选B8.C解：ABCD+ACDB+ADBC=(AC+CB)CD+ACDB+ADBC=ACCD+CBCD+ACDB+ADBC=ACCD+DB+CBCD+DA=ACCB+CBCA=CBAC+CA=CB0=0故选C9.D解：因为BM=2MC，所以AM=AB+BM=AB+2

10、3BC=AB+23(ACAB)=13a+23b.因为N为AA1的中点，所以AN=12AA1=12c，故MN=ANAM=13a23b+12c.故选D10.C解：因为M 、G 分别是BC、CD的中点，所以12BC=BM，12BD=MG所以AB+12BC+12BD=AB+BM+MG=AG故选C 11.A解：DB1的坐标为(4,3，2)，D为坐标原点，B1(4,3，2)，BC=4，DC=3，CC1=2，C1的坐标为(0,3，2).故选A12.A解：由向量的运算法则可得AF=AD+DF=AD+12(DC+DD)=AD+12(AB+AA)=AD+12AB+12AA又AF=AD+xAB+yAA，故x=12，

11、y=12，所以xy=0，故选A13.D解：因为OA在基底a,b,c下的坐标为(2,1，3)，所以OA=2a+b+3c，又因为a=4i+2j,b=2j+3k,c=3kj，所以OA=2a+b+3c=24i+2j+2j+3k+33kj=8i+3j+12k，所以则向量OA在基底i,j,k下的坐标为(8,3，12)故选D14.A解：如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量AB、AD、AA1两两的夹角均为60，且|AB|=1，|AD|=2，|AA1|=3，AC1=AB+BC+CC1，AC12=(AB+BC+CC1)2=AB2+BC2+CC12+2ABBC+2ABCC1+2BCCC1=1+4+9+2

12、12cos60+213cos60+223cos60=25，|AC1|=5故选A15.解：若a，b共线，则a，b所在的直线可能平行也可能重合，故不正确;三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确;只有当a，b，c不共面时，空间任意一个向量p，才一定能表示为p=xa+yb+zc，故不正确;据向量运算法则可知正确故答案为16.66解：OA+OB=(1,0,0)+(0,1,1)=(1,)，OA+OB与OB的夹角为120，cos120=(OA+OB)OB|OA+OB|OB|=21+222，化为2=16，0，=66故答案为6617.(2,4，2)解：AB=(1,2,3)，AC=(

13、1,2，1)，BC=ACAB=(2,4，2)故(2,4，2)推导出BC=ACAB，由此能求出结果本题考查向量的求法，考查向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题18.12解：如图所示，AF=AD+DF，DF=12(DD1+DC)，DD1=AA1，DC=AB，AF=AD+12AA1+12AB，与比较可得m=12，故1219.3解：由向量a=0,1,1，b=(4,1,0)，得a+b=4,1,，由a+b=29，得16+12+2=29，解得=3或=2(舍去)，故答案为320.解 (1)设b=x,y,z，则由题意可知2x+y2z=1,x2+y2+z2=9,x+z=0,解得x=2,y=1z=

14、2，或x=2,y=1,z=2.b=2,1,2或b=2,1,2(2)向量b与向量d=1,12,1共线，b=2,1,2，又a=2,1,2，c=1,0,1，ab=0,2,4，2b+3c=1,2,7，ab2b+3c=32，且|ab|=25，|2b+3c|=36，ab与2b+3c夹角的余弦值为cosab,2b+3c=ab2b+3c|ab|2b+3c|=8304521.解：(1)BM=2A1M，C1N=2B1N，MA1=13BA1，B1N=13B1C1，MN=MA1+A1B1+B1N=13BA1+AB+13B1C1=13ca+a+13ba=13a+13b+13c；(2)a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1+1+1+0+21112+21112=5，a+b+c=5，MN=13a+b+c=5322.解：(1)因为O(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,2)，所以AC=(1,1,2)，OA=1,0,0 ，因为AP=AC，所以OP=OA+AP=OA+AC=(1,0,0)+(1,1