弹塑性力学习题集-很全有答案-

1、弹塑性力学习题第二章应力理论应变理论2-1试用材料力学公式计算：直径为lcm的圆杆，在轴向拉力P=10KN的作用下杆横截面上的正应力0及与横截面夹角0=30。的斜截面上的总应力P.、正应力Oa和剪应力J，并按弹塑性力学应力符号规则说明其不同点。2-2试用材料力学公式计算：题22图所示单元体主应力和主平面方位（应力单位MPa）,并表示在图上。说明按弹塑性力学应力符号规则有何不同。T2-3求题2-3图所示单元体斜截面上的正应力和剪应力（应力单位为MPa）,并说明使用材料力学求斜截面应力的公式应用于弹塑性力学计算时，该式应作如何修正。24已知平面问题单元体的主应力如题24图（a）、（b）、（c）所示

2、，应力单位为MPa。试求最人剪应力，并分别画出最人剪应力作用面（每组可画一个面）及面上的应力。C1)题2-4图25*如题25图，刚架ABC在拐角万点处受P力，已知刚架的EA求B、C点的转角和位移。（E为弹性模量、丿为惯性矩）2-6悬挂的等直杆在自重0的作用卞如题2-6图所示。材料比重为卩，弹性模量为E,横截面积为月。试求离固定端二处一点c的应变空与杆的总伸长2-7*试按材料力学方法推证各向同性材料三个弹性常数：弹性模量E、剪切弹性模量G、泊松比卩之间的关系：20+v）2-8用材料力学方法试求出如题2-8图所示受均布载荷作用简支梁内一点的应力状态，并校核所得结果是否满足平衡微分方程。29已知一点

3、的应力张量为:50500（对称）80-75-30MPa试求外法线n的方向余弦为：nx=,ny=,-=*的微斜面上的全应力耳，正应力仏和剪应力比。2-10已知物体的应力张量为：30-800-3011050MPa（对称）试确定外法线的三个方向余弦相等时的微斜面上的总应力乙，正应力和剪应力心。2-11试求以主应力表示与三个应力主轴成等倾斜面（八面体截面）上的应力分量，并证明当坐标变换时它们是不变量。2-12试写出下列情况的应力边界条件。态。设题213图中之短柱体，处于平面受力状态,213试证明在尖端C处于零应力状2-13图题2-14图14*如题2-14图所示的变截面杆，受轴向拉伸载荷P作用，试确定杆

4、体两侧外表面处应力7.（横截面上正应力）和在材料力学中常常被忽略的应力6、之间的关系。2-15如2-15图所示三角形截面水坝，材料的比重为卩，水的比重为幷，已求得其应力解为：a=ax+by,（yy=cx+妙-少，z妙=-dx-弓,其它应力分量为零。试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数b、c、d。16*已知矩形截面高为h,宽为b的梁受弯曲时的正应力=ML=YLy,试求当非纯弯时横截面上的剪应力公Jbh3式。（利用弹塑性力学平衡微分方程）217己知一点处的应力张量为：內=12606100MPa,试求该点的最人主应力及其主方向。218*219在物体中某一点7丫=ay=(t=6),=0,己知应力分量

5、为6=(Jy=6=0,匚枇一f试以和J表示主应力。二a,=b.计算主应力巧、刀、6,并求巧的主方向。2-20证明下列等式:丿27+挥(2)(4)丿2冷阴;%_s(6)T.%G)证明等式：山冷览陥S221*222*试证在坐标变换时，厶为一个不变量。要求：(a)以普通展开式证明；(b)用张量计算证明。223己知卜列应力状态：Ty=5303MPa,试求八面体单元的正应力乐与剪811应力%。224*一点的主应力为：5=75,勺=50a,cr3=-50a，试求八面体面上的全应力-fgf正应力Tg,剪应力Tgo225试求各主剪应力习、乃、作用面上的正应力。226*用应力圆求下列(a)、(b)图示应力状态的

6、主应力及最人剪应力，并讨论若(b)图中有虚线所示的剪应力/时，能否应用平面应力圆求解。b)题2-26图27*试求：如(a)图所示,ABC微截面与x、y、二轴等倾斜，但勺H0,Tyz0,Tzx0,试问该截面是否为八面体截面？如图少)所示，八面体各截面上的充指向是否垂直棱边？题2-27图2-28设一物体的各点发生如下的位移：u=aQ+x+ay+a?二v=Z?0+b2y+b?二yv=cQ+eg+c2y+c3s式中他，a】.,a2-为常数，试证各k的应变分量为常数。2-29设已知下列位移，试求指定点的应变状态。(1)u=(3x2+20)xl02,v=(4jzx)xl02,在(0,2)点处。(2)u=(

7、6x2+15)xl0-2,v=(8s0 xl02,w=(352-ZxjOxIO2,在(1,3,4)点处。230231试证在平面问题中下式成立:x+y己知应变张量-6-2%=-2-4000X10-3试求：(1)应变不变量；(2)主应变:(3)主应变方向；(4)八面体剪应变。2-32试说明下列应变状态是否可能存在：(式中a、b.c为常数)如+h)旬=珂0(2)勺=0ax2y+心+纫2)cy2x0c(x2+y2)(3)etj=件033*试证题233图所示矩形单元在纯剪应变状态时，剪应变/号与对角线应变砧之间的关系为空E=&。(用弹塑性力学转轴公式来证明)3as题2-33图234设一点的应变分量为x=

8、1.0 xl04,y=5.0 xl0-4,=1.0 xl04,yy=yz=1.0 x10,J=3.0 xl04,试计算主应变。35*已知物体中一点的应变分量为1045_2试确定主应变及最人主应变的方向。236*某一应变状态的应变分量了。和“：=0,试证明此条件能否表示匕、弓、6中之一为主应变？2-37已知下列应变状态是物体变形时产生的：匕=0。+卬3+y2)+x4+yy=b0+(x2+y2)+x4+/,Y.y=q+c(x2+才+Q,S=Yyz=0试求式中各系数之间应满足的关系式。2-38*试求对应于零应变状态(旬=0)的位移分量。2-39*若位移分量耳和力所对应的应变相同，试说明这两组位移有何

9、差别？2-40*试导出平面问题的平面应变状态(=y:x=0)的应变分量的不变量及主应变的表达式。2-41*己知如题2-41图所示的棱柱形杆在自重作用下的应变分量为：士5=y=弋、y%试求位移分量，式中卩为杆件单位体积重量，E、A为材料的弹性常数。2T2如题242图所示的圆截面杆扭转时得到的应变分量为：,=y=：=0,yzx=-ey.试检查该应变是否满足变形连续性条件，并求位移分量侬供w。设在原点处ig=v0=1PO=0,dz在xoz和y比平面内没有转动，dr在X0平面内没有转动。题2-42图题2-41图第三章弹性变形塑性变形本构方程1试证明在弹性变形时，关于一点的应力状态，下式成立。(1)/8

10、=丄蓉(2)=k(设v=0.5)G2*试以等值拉压应力状态与纯剪切应力状态的关系，由应变能公式证明G、E、V之间的关系为：G=52(1+v)3*证明：如泊松比V=9则G=E,上T8e=09并说明此时上述23各弹性常数的物理意义。4*如设材料屈服的原因是形状改变比能(畸形能)达到某一极值时发生，试根据单向拉伸应力状态和纯剪切应力状态确定屈服极限6与的关系。5试依据物体单向拉伸侧向不会膨胀，三向受拉体积不会缩小的体积应变规律来证明泊松比v的上下限为：0vOo315*各向同性体承受单向拉伸(50,a2=r3=O),试确定只产生剪应变的截面位置。316给定单向拉伸曲线如题316图所示，s、E、F均为已

11、知，当知道B点的应变为时，试求该点的塑性应变。317给定下列的主应力，试由Piandtl-Reuss,Levy-Mises理论求:dff:d可:和:de2:de3。由UnbiomHH理论求可：。(a)6=3(7,7?=er,内=一(7。(b)5=2a,题311图3-18*已知一长封闭圆筒，平均半径为门壁厚为口承受内压力p的作用，而产生塑性变形，材料是各向同性的，如忽略弹性应变，试求周向、径向和轴向应变増量之比。319己知薄壁圆筒承受轴向拉应力字及扭矩的作用，若使用Mses条件，试求屈服时剪应力应为多人？并求出此时塑性应变增量的比值：d：d；：d：do3-20薄壁圆筒，平均半径为儿壁厚为施承受内

12、压力。作用，设碍=0,且材料是不可压缩的，卜=丄，讨论下列三种情形：（1）管的两端是自由的:（2）管的两端是固定的；（3）管的两端是封闭的。分别炖Mises和Tresca两种屈服条件，讨论。多人时管子开始屈服。己知材料单向拉伸试验6值。3-21*按题320所述，如已知纯剪试验值，又如何？322给出以下问题的最大剪应力条件与畸变能条件：（1）如已知，受内压作用的封闭薄壁圆筒。设内压为q，平均半径为门壁厚为九材料为理想弹塑性。（2）如q已知，受拉力p和弯矩M作用的杆。杆为矩形截面，面积b从。材料为理想弹塑性。323设材料为理想弹塑性,1当材料加载进入塑性状态，试给出筒单拉伸时的Prandtl-Re

13、uss增量理论与全量理论的本构方程以及塑性应变增量之间与应变分量之间的比值。3-24设己知薄壁圆管受拉伸与扭矩，其应力为6=6其它应力为零。若使1=43保持为常数的情况下进入塑性状态，试分别用増量理论与全量理论求圆管中的应力值。325已知某材料在纯剪时的曲线T=/（/）,问（a,）曲线是什么形式？3-26*由符合Mises屈服条件的材料制成的圆杆，其体积是不可压缩的，若首先将杆拉至屈服，保持应变不变，再扭至0=,式中R为圆杆的半径，K为材料的剪切屈服极GR限，试求此时圆杆中的应力值。第四章弹塑性力学基础理论的建立及基本解法1设某一体力为零的物体的位移分量为：n=v=0,w=w（二），试求位移函

14、数w（二）。2*试证明应力分量6=丫丁，=0是两端受弯矩M作用的单位厚度狭长J矩形板的弹性解,并设Zn见题42图。题44和题4一5图3已知平面应力问题的应变分量为：y=By试证此应变分量能满足变形谐调条件。4题44图所示的受力结构中，1、2两杆的长度Z和横截面积F相同，两杆材料的本构关系为：（a）b=Es（b）a=试求载荷P与节点C的位移之间的关系。5按上题44的条件，材料为理想弹塑性，并设d=45。，试求该静定结构的弹性极限载荷几与塑性极限載荷乙。第五章平面问题的直角坐标解答1已知平面应力问题的应变分量为：ey=By=Q2+Z）。试由平衡微分方程求出该弹性体所承受的体力分量只及竹。2给出函数

15、0=刊，试问：（1）检查卩是否可以作为应力函数；（2）如以/为应力函数，求出应力分量的表达式:（3）指出在图示矩形板边界上对应着怎样的边界面力。题5-2图題5-3图3*试检查p=-y3+-y2能否做为应力函数？若能，试求应力分量（不计体力）,6并画出如题5-3图所示板条上的面力，指出该应力函数所能解的问题。4试分析下列应力函数对一端固定直杆可解什么样的平面问题：题5-4图题5-5图5*悬臂梁（rcyc,OvxvZ）沿下边界受均匀剪力S作用，而上边界和x=l的端边界不受载荷作用时，可用应力函数：0*但一疋一芝+艺+（44c4c4c4c）求出应力解答。并说明，此解答在哪些方面必须用圣维南原理解释。

16、56*已求得三角形坝体的应力场为：=ax+by,ay=cx+d）trv=Tyx=-dx-矽-厂，g=%=q=0,其中卩为坝体材料的容重，齐为水的容重。试根据边界条件求常数Q、b、C、d的值。7*很长的直角六而体在均匀压力g的作用下，放置在绝对刚性和光滑的基础上，不计体力，试确定其应力分量和位移分量。8如题5-3图所示的两端简支梁，全梁只承受自重的作用，设材料的比重为卩，试检验应力函数（p=Ax2y3+03+加2）,能否成立，并求出各系数及应力分量。题5-7图题5-6图9*上端固定悬挂的棱柱杆，设其内部应力为：6=您（2-2）+,A=2-vs=0o试求此杆所受的体力及侧面和上、下端面所受的外载荷

17、。A是杆的横截面积。题510图10设图中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的比重为p试用纯三次式：（p=ax3+bx2y+cxy2+0“的应力函数求解应力分量。5-11*设有矩形截面的柱体，在一边侧面上受均匀剪力p如题5-11图所示，若柱的体力不计，试求应力分量。5-12*图中的悬臂梁受均布载荷q=100KN/m作用，试求其最人应力:（1）用应力函数+(x2+y2)G_tg-i（2）用材料力学求解，并比较以上结果。513*设应力函数为：（p=fO）sinax,（a=f,试问函数/（y）应满足什么样的条件？5-14*如图所示梁的上部边界作用着载荷：q（x）=qsin公,（d=竿），试求梁内的应力分

18、量。5-15图5-15*由于考虑材料的塑性性质，试求受弯杆件承载能力增加的百分比，设杆件的截面为：(a)正方形:(b)圆形；(c)内外半径比为k=a!b的圆环；(d)正方形沿对角线受弯；(e)工字梁；其尺寸如图所示。5-16设截面为2bX2h,跨度为I的悬臂梁受均匀布载荷，梁为理想弹塑性材料，试用初等理论假设求弹性与塑性极限载荷，并计算弹塑性分界线方程与梁的塑性段长度。题516图第六章平面问题的极坐标解答1试判断题6-1图中所示的几种不同受力情况是平面应力问题还是平面应变问题？是否是轴对称问题？2*考察函数cO是否可作为极坐标的应力函数，其中c为常数。若可以作为应力函数，则在】=a及r=b的环

19、形边界上对应着怎样的边界条件？63在极坐标中取(p=Anr+Cr式中月与C皆为常数。检査卩可否为应力函数？写出应力分量的表达式。(3)在广=a和r=b的边界上对应着怎样的边界条件？4*试求题64图中给出的圆弧曲梁内的应力分量，选取应力函数(p=/(r)sinoirnr；题6-1图题6-4图题6-5图5试确定应力函数卩=胪（心_迹3）中的常数c值，使满足题65图中的条件：在&=a面上t&=0,Trd=s,在Q=-a面上，7=0,Trd=S并证明楔顶端没有集中力与力偶作用。6试求内外径之比为1/2的厚壁圆筒在内外压力相等（即P1=p2）时的极限荷载,并根据平面应力与平面应变问题分别讨论之。7试用T

20、resca条件求只有外压力作用（p】=0,p2=p）时的厚壁筒的应力分布和塑性区应力公式。8楔形体在两侧面上受均布剪力g（题6-8图所示）作用，试求应力分量。取应力函数：（P=r2（Acos20+Bsin20+CO+D）9*薄壁圆管扭转时，壁内剪应力为q,若管壁上有一圆孔，试证孔边上的最大正应力为唤=气。10*如题610图所示，在半平面体边界的区间-ayr3,证明0816-66,并当两种特殊情况:(a)CT=6；(b)a2=(j3o试列出Tresca和Mises条件,并比较之。题10-3图题10-4图第十章弹性力学变分法及近似解法101试证：J7勺(呦+吟Y)少二均占一J內102103试给出平

21、面应力状态极坐标系的单位体积应变能表达式。设有图示悬臂梁右端受P作用，如取挠曲线为：yv=ax2+bx试求的值。4试给出题104图的余能表达式(不计均布力q引起的偏心弯矩)。5题105图所示中点受集中力F作用的简支梁，设位移函数v=Csiny,试求梁的挠曲线方程，最大挠度，及其与材料力学解的比较。题10-5图6试用卡氏第二定理求题10-6图示三杆桁架中加点的位移o己知杆的拉压刚度为恥。7*试用虚功原理求题107图所示梁的挠度曲线。设.7CCxv=a1sin题10-7图8*已知一简支梁，跨度为Z,承受均布载荷q的作用，抗弯刚度E7为常数，设，、.7DC.371Xxv(x)=sin+a2sin试用

22、虚位移原理系数Q】、勺及梁的最大挠度。10-9*已知如题109图所示两端固支梁，跨度为I,抗弯刚度7为常数，中点受集中力P作用，试用最小势能原理求设位移函数题10-10图510-10已知如题10-10图所示的一端固定，一端自由的压杆，截面抗弯刚度E7为常数，试用Ritz法确定端顶受临界压力為的近似值。设位移函数为v=c1x3+c2x2+C3X+C4。10-11*上题10-10如设位移函数V=d(l-cos等,求临界压力為.。10-12*已知如题10-12图示一端固定，一端自由的压杆，长度为Z,截面抗弯刚度EJ为常数。试用Ritz法求在自重q(N/mm)作用下的临界载荷。设位移函数w=a1-co

23、soI21丿10-13试用最小余能原理求题10-13图所示超静定梁肋的支座反力，己知梁的抗弯刚度EA其载荷为两个集中力P跨度为中点有支点C。10-14*如题10-14图示，载荷为均布荷载小跨度为仁求中间支点C的支座弯矩见题10-12图题10-14图1015已知如题1015图所示的桁架脑C,肋和方C杆的截面面积均为力。在万点作用力F，材料具有非线性弹性的应力应变关系d長,式中七为常数（拉压时均适用）。试用卡氏第二定理求结点B的水平位移及垂直位移形。题10-15图10-16*矩形薄板不计体力，三边固定，一边受有均布压力0如题10-16所示。设应力函数为：4宀“29舛a2b20=+A试用应力变分法求

24、解应力分量（计算应变能时，取泊松比“=0）o第十一章塑性力学极限分析定理及塑性分析1两端固定等截面梁受均布载荷作用（题11-1图），塑性弯矩为试确定极限荷载。0题11-1图2试用静力法和机动法求出一端固定，一端简支如题11-2图所示离固定端处受集中力的极限载荷。3*试用静力法和机动法求出一端固定，一端简支如题11-3图所示简支端半梁受均布载荷的极限载荷。4试用机动法求题11一4图示连续梁的极限载荷，设p=ql，梁为等截面，极限弯矩为M。第十二章理想刚塑平面应变问题1设有均匀受拉应力状态的自由边界，如题121图所示，试画出其滑移线场的形式。题12-1图2试求图示直角边坡的滑移线场及极限荷载。3如

25、图所示滑移线，试证明在D点的曲率半径尺,为常数。4试求题12-5图示斜坡的滑移场及极限荷载o题123图题12-4图12-5求图中有无限窄切II的长条板的极限荷载&（滑移线场如图所示）。题12-7图12-7绘出下列题12-6图中所示圆弧形边界附近的滑移场。题12-6图126通过一方形硕模进行无磨擦挤出工艺过程，截面尺寸收缩率50%,中心扇形区由直的径向射线0和圆周线a组成，如图所示。用进入的速度卩及极坐标、&来表达沿这两族滑移线的速度分量。12-8有平头冲模，压入空腔内挤出材料，接触面为光滑面，求滑移场、极限荷载及速度场。已知冲头以F的压力及7的速度向下运动。12-9有截锥楔体，顶面宽度为顶角为

26、2/,受均匀分布压力q作用，接触面为光滑面。求：1)滑移场，标出0、0线及中心角度数；2)求极限荷载p0;3)作速度图,设拙面以7的速度向下运动。ll/A1?/C1X题12-8图题12-9图附录一张量概念及其运算下标记号法求和约定附一1由张量求和约定展开下列各式：(1)SjSj(2)坊(5)(pa(6)(p.t讷q(4)%(8)傀附一2证明下式成立(1)SxjdjkShn=SimC)aijsjk=aikG)兀(4)Oxv附一3齐试展开方向余弦关系式，并说明其几何意义：(1)rijrij=1C)11jk=g习题参考答案及解题提示第二章应力理论应变理论21r=127MPa,Pa=llOMPa,aa

27、=95.5MPa,ra=55.1MPa(弹塑性力学中该剪应力为负值)22巧=724MPa,学主方向计算的结果一致。o尸一6.8MPa,(a)、(b)、(c)6=27.6MPa,6与6的交角如=58.3。弹性力学与材料力2324*25*%=-3.6MPa(弹塑性力学中该剪应力为正值)久卄=30MPa。最人剪切面为：Y_PQv_pb_pa2X-、yc,3EJ2EJ2EJ2627*2829210211212214*215216*217218*219222*223224*_PaaP*E2EA参见一般材料力学教材。满足=不满足Ey=o的平衡微分方程。乙=26.=108.7,Pn=111.8(应力单位：M

28、pa)Pn=(Jn=Tn=0=Tcos(2,7V=Tsinaysin0+&cosp=Tcosa,&sin0+aycos0=Tsina6f,ctg0,勺,ftge6=&ctg&-(h-y)/,j-(h-y)yax=-/(/?-y),q,=0y=0边界;巧=号x-q,z妙=0；x=二，y=(Z-x)tga边界：q=zy、ctga,6,=ftga。提示：分别列出尖角两侧月C与BC自由面的应力边界条件。心=-兀tga,q=qtg%。a=0,b=-yltc=/ctg/7-2XiCtg3A具=人吐才0。=0时，可求得了砂=丄头(，_4尸)，式中0=半。:22blrdr6=17.08MPa,6与x轴间的夹角

29、aQ=40.27,或一139.63,cr2=4.92MPao6=杞+丁;6=0,6=-6。6=Jq2+沪,a2=0,a3=-Jq2+沪.z、6的主方向,yb,0OIyla2+b2Ja?+b?丿(b)提示:应用=b屛“力及lAljk=%来计算=auoT3一；6=74,a2=-34,g=54(MPa)：ci=70”6=60(MPa)；图有/时，不能用平面应力圆计算。按定义不为八面体面。(b)心指向不一定垂直棱边，其方向由主应力的040120-3229(1)5=400 xlO-2；(2)s=03211.000_-31124.231(1)7；=-0.01,Z；=-2x10巳Z；=0；227*人小来决定

30、。xW2232234235*(2)(3)(4)(1)e2=-2.764xW3,3=-7.236x10；(0,0,l),2(0.53,+0.86,0),3(0.86,0.53,0)；Yz=5-96x10o为可能应变状态。(2)、(3)为不可能应变状态。=600 x10，,e2=3.00 x10=3=-2.00 x10“。1=12.2x10,e2=4.95x10,s3=-3.17xW4,的方向余弦(0.862,0.503,0.058)。236*弓是主应变。2375=4,a】+2c2=0238*提示：如求比，要根据几何方程对dit积分，因为ii=u(x,y,s),所以要先计算U的偏导数:dlldll

31、dudx比其中如计算#又要先dx+drau忘XTk=dl求它的偏导数命du)a(du)a答案为:依次进行才可得山同样方法再求vu=ig+coyz-a)zyV=v0+%x-q二v=w0+coy一covx式中0、v0 xw为物体沿X、八二轴方向的刚性平移，a)x、3y、冬为物体绕X、歹、二轴的刚性转动。它们都是积分常数，由位移约束条件来确定。2-39*两组位移之间仅相差一个刚性位移。2*1=x+y,2=xy-vI3=。-5)2+X；勺=0。设+J(6_j+兀；5：522=Eardv加忘=-%y52-41*提示：由几何方程积分得吩寻+水对)得v=_122r+g(x,2)E-得=-E1一v1一vznm

32、亠，、亠加加八zH込二）込（兀二）八(b)引用式（a）,由&=+=0,得三一+；，=0QyaxQydx式（b）表明c2,c3与二无关（由于对二轴的对称性，”、u与二关系相同，如有二项，上式不为零）且仅是G为x，为丁的一次函数。故6=Q0+bG=-a+,又dv忘加忘2V+加加一dr=0=0Ed)?_竺+込(xj)=oEdx5=(x2+J;2)+(a3x+Z?3y+,于是得位移表达式为:(c)2E2Eu=-zx-axy+b2w=召二2+笔3+y2)+a3x+b3y+dl(d)1一v1一v式（d）线性部分为刚性位移。设上端位移边界条件x=y=0,二9处，u=v=0,微线段dr不发生绕二轴的转动：$=

33、0,微线段dz不发生绕丁和x轴转动：尖=0和OXdz寮=0,于是有aY=bY=b2=a3=b3=0,=代入式（d）可得位移：242*0二IEu=0yz.v=Ozx.w=0。第三章弹性变形塑性变形本构方程34*兀=0.5770；3-75=63X103，钢的体积弹性模量数值大。a383=-0.9x103*cTj=0,er?=19.8blPa,c3=60NIPaj=3.76x10*,2=0,3=-7.64X10，3-10*提示：先利用钢套与铝柱侧向应变相等计算出相互侧向压力：q=28MPa,再由薄壁筒公式求出钢套周向应力：T=28MPa。311P(l+v)(l-2v).刖换成刚体时E*，e=0。换成

34、不可压缩体时v=,0=0。3U令,”詈承U严曙裁rv=l(l-2v),心弓(1+哄301一v1一v3-15*提示：注意本题应力状态为单向应力状态，而由于横向变形的产生，所对应的应变状态为三向应变状态，可用应力与应变圆对应关系计算。所求截面与横坐标轴匕方向余弦为:cos2a0=(yAx+3By2)(yAx+3By2)316勺=(7)(1-钊317(a)1：0：-1(b)1：0：(yAx+3By2)(yAx+3By2)(yAx+3By2)(yAx+3By2)319坯吕;d昭:d坊：df:d熄=-1:-1:2:6320提示：对于(2)情形，两端固定，因径向内压力会促使薄壁圆筒涨开并缩短,故轴向为拉应

35、力。答案：Mises：(1)p=(2)和Tresca：(1)、(2)和(3)均为:321*Mises(1)p=:Mises2tr(2)(3)与Tresca(1)(2)(3)均为：p=-322(1)Tresca、Mises：(2)Tresca、Mises：3232tp6M+=y=F壬2芈；当加=_吒怦时炉3J33J3%可作为扭转应力函数。应力分量为：召仝弊卜+誓吟乞卜h）。76=1.356,玉=0.886o077(a)Kt=(b+b3t(b)Kt=4.704Ga4o78*79*M.=ka33提示：若柱体截面有对称形的孔，沙堆比拟法可推广使用。根据复连通域截面要求，外边界卩取为零，内边界。取为一个

36、不为零的常数，故此题可考虑与沙堆相应的按圆710711*台（截头圆锥）进行计算。Ms=2欣（b*-，）37-12见=竺兰（1_才），址=竺竺（1_才），塑性极限扭矩比弹性极限扭矩提咼比值为上。当兄=0时：上=33.3%;当兄=时：k=24.4%o3245第八章弹性力学的一般解空间轴对称问题81提示：将Lame方程式第一.二式分别对x、y求导并相加，且由3Ke=cr,v=2(久+“)8-3*应力分量满足平衡方程，但不满足协调方程，因而所给应力状态是不可能的。84由题意u=u（x）,v=w=0,可由Lame方程计算，且边界条件有（“）=0,V（也=0；6=-pgx,5：岁。（兀=曲1V85a+f+

37、Fx=0,e+d+Fj=0,眞二0;式中F,巧迟为体力分量。xxT.F86提示：按丄匕=tg&可知全应力p指向坐标原点o。全应力p的大小可由6二水平面的正应力与剪应力合成计算得到。878889q0=W1QN/trim2,a=9.510mm,a=0.069mm(7=0093mm,cr=-0.7xW2mm,q0=548JV/zw?w2,nux=0.133;q0=12.9N/mm2;TniX=0.31;q0=169.9Nfmm2(1+v)P2(i)RP3/s2第九章加载曲面材料稳定性假设塑性势能理论92*提示：利用弹塑性力学书例9-1的结果。93*提不：由式“o=_,并引用s”=比+s?+$3=oS

38、-$29495*96*单向压缩、双向等拉。Tresca与Mises分别为=真)(5)(6)(7)(8)dB(P切2丄%处贡卞+莎+17小旳pna(pa(pa(pg莎、亦、忘亠叽.迪3+dx2,衣3.迪+%讥-1-迪卜叫妃+込卜cbc比，比，cbcy(Py(p(py(Pc)2(py(p押dxctdx甘即即附一3*(a)尤+n；+疋=1为空间一直线与X、八二轴的方向余弦关系式。)ljk=J(注思比工匚*工4)(1)-h=y,3=1;/y.Zu=1,l2khk=hkhk=即：+片2+“3=hZn+忌+洛3=hZ；i+忌+殆=1为空间三直线与x、八二轴的方向余弦关系式。(ii)当1工丿,4=0；Zj+

39、Qj2+=0，即：/1丿21+心22+1323=QZ21Z31+l22l32+Z23Z33=0,l3lln+312+Z33S3=0为空间三直线相互垂直对：r、y.二轴的方向余弦关系式。xxxx第二章习题答案2.6设某点应力张量内的分量值己知，求作用在过此点平面处十十c二二上的应力矢量A(P，P叩P，并求该应力矢量的法向分量S。解该平面的法线方向的方向余弦为=a/d,m-b/d,n=c/d,d=Ja2+b2+c2而应力欠量的三个分量满足关系亿F+引+MPn=二而法向分量6满足关系=pj十pnvm+pj最后结呆为0”)An/|/0(r=(rxa2+avb2+cr,c2+2Tab+2+1tzjcq)

40、2d2=a2+b2+c22.7利用上题结果求应力分量为二。=2,辺=1心二1,心二2心=0时，过平面龙十3j，十二=1处的应力矢量P”，及该矢量的法向分量S及切向分量兀。解求出I=1/L1,m=3/y/ll,n=l/fu后，可求出PgP,p.,p,匕及q，再利用关系pn二P；十Pl十P；=处十丁：可求得%最终的结果为几,=5/伍化二7/伍,兀=3/41q=29/11蛊二J72/1212.8己知应力分量为巧=1，碍=5,=1,入=4,乙二2,匚二3,其特征方程为三次多项式，十bk十2十d=0,求如设法作变换，把该方程变为形式x3px+q=0f求P，Q以及龙与b的关系。解求主方向的应力特征方程为a

41、3-Jcr-J2（y-J3=0式中：厶,厶，厶是三个应力不变量，并有公式丿2=（一65+4）+（一55十处）十（一6+rT）/、6J儿=S久农生丿代入已知量得b=-14,c=b,d=192为了使方程变为Cardan形式，可令（y=x-b/3代入，正好/项被抵消，并可得关系b22b3bep=+c,q=+a3273代入数据得p二-178/3匕-59.3333,g二16.7407,x=er-14/32.9己知应力分量中（yx=cr3o解在crx=（yr=Tv=0时容易求得三个应力不变量为厶二厶二处+云=尸，厶=0特征方程变为o3-a.cr-re-c（cr-Cr,a2ct32.10己知应力分量er,=

42、0.9q,巧二0.2込，込=0.1込,q,二0.1込,务=0.2込,化，二O.lq,込是材料的屈服极限，求/；,；及主应力alya2,a3o解先求平均应力a=0.4crs,再求应力偏张量s”二0.5q,s.二-O.2q,s：=-0.3q,s”,二0.1込，s”：=0.2込，s次二0.1込。由此求得丿；=0.25&2,丿；=0.019壬(J1=sl+(y=0.3221込(y2=s2+(y=0.9344込q=S3+7=-0056q(J3=一0056込然后求得厂二q/JJ,sin3&二-0.3949,解出&=0.1353radS=z-sin0-0.0779s?=/sin(&十2兀/3)=0.5344

43、込S3=rsin(&十4刃3)=-0.4565込然后按大小次序排列得到O=0.9344,(72=0.3221込，2.11知应力分量中cTj=cr2=cr3=tav=0,求三个主应力qQ=1,2,3),以及每个主应力所对应的方向余弦(Zf,n?.,n.)(/=1,2,3)o解特征方程为-a3+(y(rl+r)=0=,则其解为=r,6=0,cr3=-to对应于q的方向余弦人，伦，叫应满足下列关系TOC o 1-5 h z-CT.Z.+Tn.=0(a)-q/%=0(b)年十加；十才=1(c)由(a),(b)式，得Ijn.=tkI(yt,mjn.=Tyz/a,代入(c)式，得(G/q)十1=1/中，由

44、此求得弘=士/。、上=士/!，叫=r=后十V后+T-2；十VTT0,代入得土亦，讣土启,唇土石02=0,代入得仇=芋，加2=予二。6二Y,代入得l3=-j=-,m3=-,n1=干l/JI2.12Sy=0时，证明丿；=迅（-丿；）成立。S,入0丿；=4,二S,S.-晾）00s.丿;=*（s；十十S；）十处由；=0,s；=G+sJ=f+s；+2s移项之得证得7；=s,s；-丿；）xxxx第三章习题答案3.5取入G为弹性常数，宀（十订仁）帀是用应变不变量右仏，厶表示应力不变量O解：由5=2（勺十6十3）十26勺=2右十26勺，可得厶=（32十2G）4,由（yx（y2=A3；!2+2GAIX（+）+4

45、G22,得J2=一（仍6+cf2t3+oyT）=一3才片-4GQZ2十4G2I2二一（3加十4G2）X+8gZJ3=（700=兄2几+2G入I、（勺十与）十4GL尼（2Z1+2Ge2）=A3l十2G22；!3一4G，W十8G3/3=（23+2G，）里-4G2AI1Z2+8G3I336物体内部的位移场由坐标的函数给出，为ur=（3x2j?+6）x10-3uy=（b十6xl）x10,uz=（6z2+2+10）x103,求点卩（1,0,2）处微单元的应变张量、转动张量珂和转动矢量解：首先求岀卩点的位移梯度张量丸LLrdudxa%dx辿dx0120dli人砂0624见1垒dzdllX1Q-6型6二03

46、L2y2二06x12二+2yX103030_07.50_0-4.50_1206X10-3=7.505X10-3+4.501042405240-10将它分解成对称张量和反对称张量之和xloJq+%转动矢量的分量为=每=-O.OOlsd,叭=%=O/ad,=碍=0.0045厂加该点处微单元体的转动角度为(p=J(-0.001)十(0.0045)2二00046厂加3.7电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。如图3.1所示，在一点的3个方向分别粘贴应变片，若测得这3个应变片的相对伸长为，=0.0005,=0.0008,=0.0003,求该点

47、的主应变和主方向。解：根据式%=即宀先求出剪应变人,。考察45方向线元的线应变，将n=l=m=fn=0,6=%,5二务,0代入其中，可得打=2%=2%一-嗨=700X10-6则主应变有500Y-350,X10=0-350800Y解得主应变勺二1031X10，,2=269X10，,6=0。由最大主应变可得.500-1031-3501(1ioxN二0-350800-1031上式只有1个方程式独立的，可解得勺与工轴的夹角为m531tana=-=-1.5165350于是有a】二-56.6，同理，可解得勺与才轴的夹角为勺二33.4。xx38物体内部一点的应变张量为5003000300400-1000-1

48、00200 xxxx试求：在n=2gj+2e2+e3方向上的正应变。根据式n=,则方向的正应变为5003000_221-300400-100（33亍丿0-1002004=勺叭=X106=644x103.9己知某轴对称问题的应变分量具有：=/（二）的形式，乂设材料是不可压缩的，求J,J应具有什么形式?解：对轴对称情况应有知=0,乙勒=0,这时应变和位移之间的关系为汽,仔应变协调方程简化为沪畤+叨由不可压缩条件0十5+6=0,可得可积分求得J=-/（二）/2十c（二,c（二）是任意函数，再代回p=P笔+片,可得=-/(s)/2-c(z)p-2o310己知应变分量有如下形式鞋警沪磐，-2暮乙二垄卫，

49、人=遵,勺二人（二），由应变协调方程，试导出dydx应满足什么方程。解：由方程宾十薯二煞，得出y;必须满足双调和方程Wy;=0odxdyoxdy得出=oox由此得r=c,其它三个协调方程自动满足，故对厶没有限制。xx第四章习题答案4.3有一块宽为a,高为6的矩形薄板，其左边及下边受链杆支承，在右边及上边分别受均布压力和吐作用，见题图4.1,如不计体力，试求薄板的位移。y题图4-1解：1设置位移函数为TOC o 1-5 h zu=xW+A2x-A3y+)-(1)v=y(31+52x+B3y+)/因为边界上没有不等于零的己知位移，所以式u=uQ+,v=vo+4,!vm中的uo-vo都取为零，显然，

50、不论式(1)中mm各系数取何值，它都满足左边及下边的位移边界条件，但不一定能满足应力边界条件，故只能釆用瑞兹法求解。计算形变势能。为简便起见，只取4、妫两个系数。u=Ax=yv=Bxy=Bvl(2)duA加cduaxdydydxU=麵务JoJo凶+时+2朋M=灌”N+用+2必乌)确定系数4和乌，求出位移解答。因为不计体力(X=Y=0)f且注意到加=1,式414简化为=J刃体(4)au=JYVds对式(4)右端积分时，在薄板的上下边和左边，不是壬=0,就是均=0,故积分值为零。在右边界上有X=-?!,u1=x=a,ds=dy(6)JXigds=(-)ady=-qxab同理，式(5)右端的积分只需

51、在薄板的上边界进行,(7)bdx=-qab将式(3)、式(6)、式(7)分别代入式(4)、式(5)可解出4和坊：Eab2()(2耳十2匕4)=qibTOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark1652(1-v2)V7坷一41,斫鱼二空！(8)EEu=占x=一_x,v=Bxy=_y(9)EE分析：把式(8)代入几何和物理方程可求出应力分量，不难验证这些应力分量可以满足平衡微分方程和应力边界条件，即式(8)所示位移为精确解答。在一般情况下(这是一个特殊情况)，在位移表达式中只取少数几个待定系数，是不可能得到精确解答的。44设四边固定的矩形薄板，受有平行于板面的体力作用(X=

52、0,Y=-pg),坐标轴如题图4.2所示。求其应力分量。xx题图42解：1.本题为平面应力问题，可用瑞兹法求解。由题意知位移分量在边xx界上等于零，所以，所以式4=心+工几轴,V=VO+SAtVw中的UD-VQ都取为零，且将位移函数设置为如下形式:.m;rx.n7ryW=EEA.smsin-mnQD.m7cx.rury(1)把=O,x=a或y=o,y=ZH弋入上式，因为，sin=O或sin=O，所以,ab位移边界条件是满足的。2.把式(1)代入式(916),得薄板的变形势能为1m21z?22(1厂)CT4(1+v)T1n21m22(l-v2)b24(1+v)a2(2)3确定系数心和空。由于位移

53、分量在边界上为零，所以，方程式414简化为3Ul严.m7rx.Y7ty,.=XsinsinaxaycL4tJ。J。abdUl严“m7rx.rury.,=ysinsinaxdy35J。J。ab式(2)代入式(3),得(3)Ejrab4E7C2ab4 HYPERLINK l bookmark2271oyvn+YTtlVZ?2(l-y2)la2(l+v)A孑严.m7rxn7ty,=Xsinsinaxdy*abfa严.mx.n7ry,=JQJqysinsindxdy(4)由于X=0,Y=-pg,从式(4)的第一式得厶回=0，由第二式得E7rabrrm24d2(l-v2)+22dxdy2(L-y2)Jo

54、?Bfmn7C、bxsin咤abb_ar门斤兀.m托x.7ixn7ry-2E林,sinsincos一-bbaabdxdyE2(l-v2)工IX俘严gmn.。丿T+PEracbBu3v,4二于石门宀忘亦嘶2(i_，)Jo1弓弓4”2Evm7rm/rx.n7ry门nn.m7rxnnvcossinxEgsincos-aabbabm;rm7rxn.n7ry.龙x-Acosxsinsinaabba(、2_EP_2(l-V3)JoJo十2dx莎丿dxdydxdyE4(1+v)护代试bnot十4ci6a7r2En2a2十16(l+l/)b卞E20+v)塚ban兀龙.m7rx兀x,严n7ry,&和sincos

55、axxycos一ax_joaabxx2.确定待定系数。按题意三边固定(um=vm=0),一边只存在v0=vw=0)而面力待求。所以，(2)dUrr,cb.m7rx.n7ry,迥=JJXitxdy=JqJqAsinsinaxaym7rx.n7ty,sinaxdvab=JJmdrdy=J；J；Xsinmfl将式(1)代入式(2),得dU_7C2Eab瓦一42(l-v2)+Zb2(l+v)xxxx=叱鈕竺如y-如-业JoJoab-%Z?2(1-v3)+22(1+v)dU7C2Eab4Tral7TErjrafiy.7TX.mTTX.H7Ty.一-一sinsinsinaxay2(j-(l+y)JoJob

56、aabra严niTrx.n?ty-YsinsinaxayJoJoab当体力分量为零时，x=y=o,得a3b(1+v)nrrr卜2(72(1+v)?2(l-y22xxcacby.7Txm7rx.nny.xsinsinsindxdy律、(du&adxdy=0,所以，此时有JoJobaab当加二1时，(P=Uc=0,0二亦気J；J：砖T厂(1+1/)2a2(l+v)+b2(l-v2)门兀ybTOC o 1-5 h z_(-1厂2/r,、7iarr1n十y(1-v)2才丿3.位移和应力解答为u=0(,xn-i.7TX.rury(-1)sinsinabn21+-b(l-v)2crE(dudv)Evdv=

57、d+v=x一厂(比为丿一厂彷:Ev7TXsina1十工/xnn7ry(T)cosT-Z?2(1-v)+21-v2&(dvdu十”dx丿E1-y2冷）1十工n(y卩riny(-1)cos-)b*o-)va1+d-(l-v)2_Edv2(Y+v)dx.7TXSilla兀En7Txcos2(1+v)ba,w.ruvy(-1)sin-b3on/nH2(l-v)24求上边界施加的面力（设v=0,a=b）,在y=b处具G一空Zcos竺一1.57竺cos竺52aaaa二竺sin竺aa46用伽辽金法求解上例。解：应用瑞兹法求解上例时，形变势能的计算工作量较大。由于此问题并没有应力边界条件，故可认为上例题意所给

58、的位移函数“卩不但满足位移边界条件，而且也满足应力边界条件，因此，可以用伽辽金法计算。对于本题，方程可以写成xxE孔十巳變十空空3x222卉十巳列十空色叮1-y222比亦丿+y将上题所给的况*表达式代入，积分后得ETTab4rr2(l-y2)+2d2(l+v)EjPab4rrnvb2(l-v2)+2a2(l+v).m;rx.Y7ty,门xsinsinaxay=0ab.m7rxn7rv,八xsinsinaxay=0ab估皿竽或n罟如円Lfbm7rx.YiTty,ETrn严cby龙X.mTTX.Y7ty,xsinsinsinaxay0bbClab当体力不计时，X=Y=O,此时Am=Q,而氏由下式确

59、定:EjPab4rrnvd3(l-y2)+23(l+v)E7T2nfarn7CX7TX?严yn7ty.-sinsinaxsinay2(7-(1+v)JoaaJobb当加工1时，sin巴空sin竺dx=0即=0,当巾=1时，上式成为JoaaETTab4d3(l-y2)+23(l+v)由此解出E如及位移分量如下:77(-If17101nn2十12(l-v)icry.7vxlv=-sin-yban7tcrnE7T1厂一“L.ex严歹.n7ry久=s-sin-axsinayin2/(1十V)J。aJobb“缠讥-1)14a(l+v)n/.7TX.7/(-1)sinsinaorrriTty9rb7TXa

60、y(-1)*4Z十JLyb_b代几3十土b2(l-V)2=一叶sinJ_戸(17)十而以及上边界的面力，都有上例用瑞兹法求得结果相同。求出的位移和应力分量，47铅直平面内的正方形薄板边上为2,四边固定，见题图4.4,只受重力作用。设二0,试取位移表达式为xx/1X-/八厂XV/0X-厂U=ir4+A+Ar+-1a)1/丿aa置了因子才和y,因为按照问题的对称条件，况应该是x和y的奇函数）。xxxx题图44解：1位移表达式中仅取4和月项:.X-u=1-I/丿I1-41/v=1-I旷丿旷丿2X1与耳F/丿(1)2由“得变形势能为一十U=a2J-aJ-adx丿丿十2力丿dxdy(2)xxxx其中/0