17.1 勾股定理 获奖【一等奖教案】

1、17.1勾股定理第1课时勾股定理经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题；(重点)3.了解利用拼图验证勾股定理的方法.(难点)一、情境导入即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出SABC；(3)根据面积公式得到CDAB=BCAC即可求出CD.解：(1)T在AABC中，ZACB=90，AB=13cm，BC=5cm,.AC=JAB2BC2=12cm；Smbc=1CBAC=1X5X12=30(cm2)；TS“JaC.BC=2cDAB，.CDABC22ACBC60=AB=cm-方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边

2、，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即BCD妙如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形.各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧.你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究探究点一：勾股定理类型一】直接运用勾股定理如图，在ABC中，ZACB=90，AB=13cm,BC=5cm,CD丄AB于D,求:(1)AC的长；f；(3)CD的长.解析：由于在AABC中，ZACB=90,AB=13cm,BC=5cm,根据勾股定理可.类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用

3、在ABC中，AB=15，AC=13,BC边上的高AD=12，试求ABC的周长.解析：本题应分AABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.解：此题应分两种情况说明：(1)当厶ABC为锐角三角形时，如图所示.在RtAABD中，BD=；AB2AD2=152122=9.在RtAACD中，CD=AC2AD2=132122=5,.BC=5+9=14,.ABC的周长为15+13+14=42；(2)当AABC为钝角三角形时，如图所示.在RtABD中，BD=；AB2AD2=152122=9.在RtACD中，CD=XIAC2AD2=132122=5，.:BC=95=4,AABC的周长为15+13+4=32,

4、当ABC为锐角三角形时，ABC的周长为42；当AABC为钝角三角形时，的周长为32.方法总结：在的可能情况，否符合题意.【类型三】ABC对于存判断是解题时要考虑全面,可作出相应的图形,勾股定理的讦明探索与研究：方法14-A1对任意的符合条件的直角三角形ABC绕其顶点A旋转90得直角三角形AED，所以ZBAE=90，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等,而四边形ABFE的面积等于RtABAE和RtMFE的面积之和.根据图示写出证明勾股定理的过程；方法2：该图形是由任意的符合条件的两个全等的RtABEA和RtACD拼成的，你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗？解析

5、：方法1：根据四边形ABFE面积等于RtASAE和RtBFE的面积之和进行解答；方法2:根据ABC和RtACD的面积之和等于RtABD和ABCD的面积之和解答.解：方法1:S正方形acfD=S四边形ABFE=SBAE+SBFE，即b2=2c22(b+a)(ba),整理得2b2=c2+b2a2,.a2+b2=c2；方法2：此图也可以看成RtBEA绕其直角顶点E顺时针旋转90,再向下平移得至卄SsSs四边形ABCDABCACD四边形ABCD=s-4-SS+S=S+ABDBCDABCACDABD=2c2a(ba)，整理得SBCDb2+ab=c2+a(ba),b2+ab=c2+aba2,a2+b2c2

6、.方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理.探究点二：勾股定理与图形的面积如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2则最大的正方形E的面积是.解析：根据勾股定理的几何意义，可得正方形A、B的面积和为S,正方形C、D的面积和为S2,S+S2=S3,即S3=2+5+l+2=10.故答案为10.方法总结：能够发现正方形A、B、C、D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边,根据勾股定理最终能够证明正方形A、B、C、D的面积和即是

7、最大正方形的面积.三板书设计勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b,斜边长为c,那么a2b2=c2.勾股定理的证明“赵爽弦图”、“刘徽青朱出入图”、“詹姆斯加菲尔德拼图”、“毕达哥拉斯图”.勾股定理与图形的面积课堂教学中，要注意调动学生的积极性让学生满怀激情地投入到学习中，提高课堂效率勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难进一步理解勾股定理的逆定理；（重点）灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题.（难点）一、情境导入某港口位于东西方向的海岸线上，“远望号”“海天号”两艘轮船同时离开港口，各自沿一固定的方向航行，“远望号”每小时航行16海里，“海天号”每小时航行

8、12海里，它们离开港口1个半小时后相距30海里，如果知道“远望号”沿东北方向航行，能知道“海天号”沿哪个方向航行吗？二、合作探究探究点：勾股定理的逆定理的应用类型一】运用勾股定理的逆定理求TJ如图，已知点P是等边ABC内一点，PA=3,PB=4,PC=5,求ZAPB的度数.解析：将ABPC绕点B逆时针旋转60得ABEA,连接EP,判断AAPE为直角三角形，且ZAPE=90,即可得到ZAPB的点，设计一些拼图活动，并自制精巧的课件让学生从形上感知，再层层设问，从面积（数）入手，师生共同探究突破本节课的难点第2课时勾股定理的逆定理的应用度数.解：ABC为等边三角形，BA=BC.可将ABPC绕点B逆

9、时针旋转60得BEA，连EP,：BE=BP=4,AE=PC=5,/PBE=60。，BPE为等边三角形,:.PE=PB=4,ZBPE=60.在AAEP中，AE=5,AP=3,PE=4,.AE2=PE2+PA2,APE为直角三角形，且ZAPE=90,.ZAPB=90。+60。=150。.方法总结：本题考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理.解决问题的关键是根据题意构造APE为直角三角形.类型二】运用勾股定理的逆定理求AB=13,AD=12,CD=9,AC=15,求BD的长.解析：根据勾股定理的逆定理可判断出ACD为直角三角形，即ZADC=ZADB=90.在RtAABD中利用勾股定理可得出

10、BD的长度.解：在ADC中，AD=12,CD=9,AC=15,.AC2=AD2+CD2,.ADC是直角三角形，ZADC=ZADB=90,.ADB是直角三角形.在RtADB中，TAD=12,AB=13,.BD=/AB2AD2=5,.BD的长为5.方法总结：解题时可先通过勾股定理的逆定理证明一个三角形是直角三角形，然后再进行转化，最后求解，这种方法常用在解有公共直角或两直角互为邻补角的两个直角三角形的图形中.类型三】勾股定理逆定理的实际应如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB=DC=8m,AD=BC=6m,AC=9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是

11、否合格？解析：把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判别条件，验证它是否为直角三角形.解：.AB=DC=8m,AD=BC=6m,.AB2+BC2=82+62=64+36=100.又.AC2=92=81，.AB2+BC2MAC2，.ZABCM90,该农民挖的不合格.方法总结：解答此类问题，一般是根据已知的数据先运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，然后再作进一步解答.类型四】运用勾股定理的逆定理解呦4如图，南北向MN为我国领海线,即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上

12、巡逻的我国反走私艇B密切注意.反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B测得距离C艇12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？解析：已知走私船的速度，求出走私船所走的路程即可得出走私船所用的时间，即可得出走私船何时能进入我国领海.解题的关键是得出走私船所走的路程，根据题意，CE即为走私船所走的路程.由题意可知，ABE和ABC均为直角三角形，可分别解这两个直角三角形即可得出.解：设MN与AC相交于E,贝kBEC=90.VAB2+BC2=52+122=132=AC2,.ABC为直角三角形，且ZABC=90.VMN丄CE,走私艇C进入我国领海的最短距离是CE.由Sabc=IABBC=2ACBE,得BE=6013海里.由CE2+BE2=122,144144144得CE=J3海里，1尹13=而宀0.85（小时）=51（分钟），9时50分+51分=10时41分.答：走私艇C最早在10时41分进入我国领海.方法总结：用数学几何知识解决实际问题的关键是建立合适的