2021年第五届鹏程杯数学邀请赛初三年级评分标准

1、第五届鹏程杯数学邀请赛初三年级评分标准(2018年3月24日10:0011:40)一、选择题(满分30分，每小题5分)1扇形弧长为20n，面积为240n，则扇形的半径为(A.6B.12C.24答：C.D.提示：根据扇形面积公式S_Llr，其中l,r分别为扇形弧长和半径.2若a、b、c、d是互不相等的正数，且a_匕，则下列式子错误的是(bdAa-b_c-dba-b_c-dC_acbda+bc+dd2答:D.提示：由二1二1得到ad+(a+d)_bc+(b+c).b+1d+14正比例函数y_x与反比例函数y三的图象交于A(2,2)、B(-2,-2)两点,x).:D.当y=x的函数值大于y=4的函数

2、值时，x的取值范围是(x).Ax-2C-2x2答：C.提示：x,当x0时，x2；当x0时，-2xbc，a+b+c_0，贝U函数y_ax2+bx+c的图象可能是(Bx2D一2x0或0 xbc可知，若abc，这时a+b+c0；由a+b+c=0知，图像过（1,0）点；由以上可排除C,D.y=ax2+bx+c函数值有可能小于零，故排除B.5.已知i3a+2bc+d+、2aba2+3+b+4c-c2-8=4，其中a、b、c、d均为实数，则Ja+b+2c+d的值为（）A2B3C4D5答:C.提示：由于2aba2+3n0,b+4cc28n0，以上两式左右相加得到(a1)2(c2)2n0，因此，a=1,c=2

3、；于是2aba2+3=4bn0,b+4cc28=b4n0，由此得至Ub=4；又由y3a+2bc+d+：2aba2+3+；b+4cc28=4，得至Ix1+2x42+d+J2xl-412+3+4+4x2228=4，得到d=7.故、a+b+2c+d=v+4+4+7-=4.6.已知三角形ABC的周长为L三条中线长之和为M,则一定成立的().A.M2-一-L4C.MEF，即有JBE+1CF1BC，类似还有两式，将332以上三式左右两边分别相加，得到2（AD+BE+CF）1（BC+CA+AB）,32M3即即_L4二、填空题（满分42分，每小题7分）1_与!（x+4）互为倒数，则x=37.若2x17答案：.

4、一51提示：2x1x+4=1,即得.I-8.已矢口y=(m+lXm2-2mi+(m3)x+1t是-个关于x的二次函数，则答：3.2m1=2,由此得到m=3.m+1丰0,9若x=3，则x2+丄的值为xX2提示:答:11.提示：x2+丄=（x丄）2+2=32+2=11.x2x10.如图，E、F分别是矩形ABCD的AD、BC边的中点，M、N分别在AB、CF边上，MN与AF交于点P,MN=12,AD=2AB,PE丄MN,贝VPE长为A1V答案：6.提示：如图，连EM,EN，依题意设正方形ABFE和正方形EFCD边长为a.PE丄MN,ZEPN=ZEPF=90o，因此,E,P,F,N四点共圆，ZFEN=Z

5、FPN./MAE=ZMPE=9Oo,A,M,P,E四点共圆，ZMPA=ZMEA.ZFEN=ZFPN=ZMPA=ZMEA,ZMEN=ZAEF=9Oo，即AMEN是直角三角形.同时在RtEAM和RtEFN中，由于ZFEN=ZMEA,EA=EF，因此，有NEAM仝AEFN，从而有ME=NE，所以AMEN为直角等腰三角形.又由已知条件PE丄MN，因此得到EP三1MN三1xl2=6.2211.直线y=-x+b与曲线y=-1（x0）交于点A,与x轴交于点B则xOA2OB2=.答案：21解直线y=x+b与曲线y=(x0)交于点A(x（注意到交点在第二象限），与x轴交于点B（b,O），因此bb2+4b+b+4

6、OA2OB2=(；2)+(、2+4b+22iKjr)2b2=2.2彎212.在ABC中，AC=3，BC=4，AB=5,以C为圆心的圆与边AB只有一个公共点，则OC半径的最大值与最小值之和为答：严.5提示：由于AC=3，BC=4，AB=5,则AABC为直角三角形，且ZB为直角.以C为圆心的圆与边AB交于点B时，其半径最大，最大值为当OC与AB相切时（设切点为D），其半径最小，这时，由等积可知有BD-AC=AB-BC，即BD三ABBC4x312AC=5=5*1232故OC半径的最大值与最小值之和为4+上=55三、解答题（满分48分，每小题12分）13.求方程f号=竺1的所有正整数解.baab答：无

7、正整数解.解：a2b2018baab3分a2+ab2b2=2018，即(ab)(a+2b)=2018x2a-b=1Pa-b=2所以只能是a+2b=2018或ja+2b=1009，刀由a、b均为正整数知0a-b0，由此说明，方程+px+q=0有两个不同的实数根，即知抛物线=x2+px+q与x轴总有两个交点(2)答：y=x2-4x+3.解：由(】)知y=Ix+pI-_p22p5，则k2丿47分8分M为(-1p,-1p2-2p-5、；124k丿抛物线y=x2+px-2p-5与x轴相交于点A(x,0)、B(x,0)，则12Px+x=-p，x1-x2=-2p-512从而x-1+x)2-4xx2129分于是有SAAMBp2-2p-4Jp2+8p+20p2+8p+2=8(p2+8p+20)5=8b.V若c=b，则可将黄衣人和蓝衣人一对一地全变成红色人4分若c丰b，不妨设cb.则先安排3b+n个黄衣人与3b+n个蓝衣人碰面，他们都变成了红衣人.此时共有(3a+m)+2(3b+n)个红衣人，3(c-b)个蓝衣人.6分接着，将1个红衣人和1个蓝衣人变成2个黄衣人，然后再将这2个黄衣人与2个蓝衣人变成4个红衣人，如此进行下去，直至黄衣人的人数为0，此时所有人都变成了红衣人8分两个服装颜色不同的人碰面，黄衣人和蓝衣人人数，要么一种减少，另一种增加2，要么均减少1,所以，两种人的人数被3除余