年广东省佛山地区高二数学选修22数学归纳法

1、数学归纳法(1)2021/8/8 星期日1问题 1:大球中有5个小球，如何证明它们都是 绿色的？ 问题 2:完全归纳法 不完全归纳法 问题3：某人看到树上乌鸦是黑的，深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。 问题情境一2021/8/8 星期日2费马(Fermat) 曾经提出一个猜想：形如Fn22n+1(n=0,1,2)的数都是质数100年后问题情境二2021/8/8 星期日3 ：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法 结论一定可靠结论不一定可靠考察全体对象,得到一般结论的推理方法考察部分对象,得到一般结论的推理方法归纳法分为完全归纳法 和 不完全归纳法归纳法2021/8/8 星期日4H:/%E

2、5%A4%9A%E7%B1%B3%E8%AF%BA%E9%AA%A8%E8%A7%86%E9%A2%91.mpg （2）验证前一问题与后一问题有递推关系； （相当于前牌推倒后牌） 如何解决不完全归纳法存在的问题呢？ 如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？（1）处理第一个问题；（相当于推倒第一块骨牌）问题情境三2021/8/8 星期日5 对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关自然数的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成立;【归纳奠基】（2）假设当n=k(kN* ,k n0)时命题成立 证明当n=k+1时命题也成立. 这种证

3、明方法叫做 数学归纳法数学归纳法【归纳递推】2021/8/8 星期日6框图表示2021/8/8 星期日7例1.用数学归纳法证明2021/8/8 星期日81.用数学归纳法证明等式 1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，当n1时，左边所得项是 ；当n2时，左边所得项是 ；1+2+31+2+3+4+5A、1B、1+aC、1+a+a2D、1+a+a2+a3C课堂练习：2021/8/8 星期日93.用数学归纳法证明：如果an是一个等差数列，则an=a1+(n-1)d对于一切nN*都成立。 证明: (1)当n=1时,左边=a1,右边=a1 +（1-1）d=a1, 当n=1时，结论成立(2)假

4、设当n=k时结论成立， 即 ak=a1+(k-1)d 则当n=k+1时ak+1 = ak+d = a1+(k-1)d+d = a1+(k+1)-1d当n=k+1时，结论也成立。由(1)和(2)知,等式对于任何nN*都成立。凑假设结论从n=k到n=k+1有什么变化2021/8/8 星期日104.用数学归纳法证明1+3+5+(2n1)=n2 证明: (1) 当n=1时左1，右121n=1时，等式成立(2) 假设n=k时，等式成立，即1+3+5+(2k1)=k2 那么，当n=k+1时左1+3+5+(2k1)2(k+1)-1=k2+2k+1=(k+1)2=右即n=k+1时命题成立由(1)、(2)可知等式对任何nN*都成立递推基础递推依据2021/8/8 星期日111.数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论: 【归纳奠基】（1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确（2）假设n=k时结论正确，证明n=k+1时结论也正确（3）由（1）、（2）得出结论