高中数学 立体几何中的向量方法

1、高中数学 立体几何中的向量方法第1页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四2014高考导航考纲展示备考指南1.理解直线的方向向量与平面的法向量2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的作用.从近几年的高考试题来看，利用空间向量证明平行与垂直，以及求空间角是高考的热点，题型主要为解答题，难度属于中等偏高，主要考查向量的坐标运算，以及向量的平行与垂直的充要条件，如何用向量法解决空间

2、角问题等，同时注重考查学生的空间想象能力、运算能力.第2页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四本节目录教材回顾夯实双基考点探究 讲练互动名师讲坛精彩呈现知能演练轻松闯关第3页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四教材回顾夯实双基1直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一_向量作为它的方向向量(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向非零第4页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四思考探究直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗？提示：不唯一，凡是在直线l上的非零向量或与l平行的非

3、零向量都可以作为直线的方向向量，凡是与平面垂直的非零向量都可以作为平面的法向量第5页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四第6页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四coscosn1，n2或cosn1，n2第7页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四课前热身答案：B第8页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四2已知M(1,0,1)，N(0,1,1)，P(1,1,0)，则平面MNP的一个法向量是()A(1,0,0) B(0,1,0)C(0,0,1) D(1,1,1)第9页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四3已知直

4、线l的方向向量为v，平面的法向量是，且v0，则l与的位置关系是_答案：l或l4已知正方体ABCDA1B1C1D1中平面AB1D1与平面A1BD所成的角为(090)，则cos_.第10页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四考点探究讲练互动例1第11页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四【证明】以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.PC平面ABCD，PBC为PB与平面ABCD所成的角，PBC30.第12页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四第13页，共48页，2022年，

5、5月20日，8点55分，星期四第14页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四第15页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四第16页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四【名师点评】(1)利用空间向量解决空间中线面位置关系的证明问题，以代数运算代替复杂的空间想象，为解决立体几何问题带来了简捷的方法. (2)用空间向量解决立体几何问题的关键是建立适当的坐标系，并准确地确定点的坐标，另外运算错误也是解题中常出现的问题第17页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四跟踪训练第18页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四例2

6、(2011高考大纲全国改编卷)如图，四棱锥SABCD中，ABCD，BCCD，侧面SAB为等边三角形，ABBC2，CDSD1.(1)证明：SD平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值第19页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四【解】以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设D(1,0,0)，则A(2,2,0)、B(0,2,0)又设S(x，y，z)，则x0，y0，z0.第20页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四第21页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四第22页，共48页，2022年，5月20日，

7、8点55分，星期四第23页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四【名师点评】利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角第24页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四跟踪训练第25页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四解：(1)证明：由正三棱柱ABCA1B1C1的性质知，AA1平面ABC.又DE平面ABC，所以DEAA1.又DEA1E，AA1A1EA1，所以DE平面AC

8、C1A1.又DE平面A1DE，故平面A1DE平面ACC1A1.第26页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四第27页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四第28页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四例3 (2012高考天津卷)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC45，PAAD2，AC1.(1)证明PCAD；(2)求二面角APCD的正弦值；(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30，求AE的长第29页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四第30页，共48页，2022年，5月2

9、0日，8点55分，星期四第31页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四第32页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四第33页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四【名师点评】求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角第34页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四第35页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四解：(1)证明：如图，连接AB，AC，因为三棱柱ABCABC为直三棱柱，所以四边形ABBA为矩形，

10、又M为AB的中点，所以M为AB的中点又因为N为BC的中点，所以MNAC.又MN平面AACC，AC平面AACC，因此MN平面AACC.第36页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四第37页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四第38页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四1用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、

11、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题第39页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四2空间向量在求空间角中的价值体现(1)求两异面直线a、b的夹角，须求出它们的方向向量a，b的夹角，即cos|cosa，b|.(2)求直线l与平面所成的角，可先求出平面的法向量n与直线l的方向向量a的夹角则sin|cosn，a|.(3)求二面角l的大小，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角，则n1，n2或n1，n2第40页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四名师讲坛精彩呈现例 (本题满分12分)如图，已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA

12、11，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30，AE垂直BD于点E，F为A1B1的中点(1)求异面直线AE与BF所成角的余弦值；(2)求平面BDF与平面AA1B1B所成二面角(锐角)的余弦值第41页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四1第42页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四2第43页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四3第44页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四信息提炼层层剖析 建系时，要说明详细，属易失分点 找准向量，求角或求角的三角函数值时，若为钝角或负值， 直接转化为锐角或正值 绝对值符号的加与不加，要看所求角为锐角或钝角而定123第45页，共48页，2022年，5月20日，8点55分，星期四【名师点评】利用向量法求两异面直线a，b的夹角，须求出它们的方向向量a，b的夹角，则cos |cosa，b|；求二面角l的大小，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角，则n1，n2或n1