空间中的垂直关系(带答案)教学提纲

1、空间中的垂直关系（带答案）空间中的垂直关系专题训练知识梳理一、线线垂直:如果两条直线于一点或经过后相交于一点，并且交角为，则称这两条直线互相垂直.二、线面垂直：定义：如果一条直线和一个平面相交，并和这个平面内的，则称这条直线和这个平面垂直.也就是说，如果一条直线垂直于一个平面，那么他就和平面内任 意一条直线都. 直线I和平面a互相垂直，记作Ila.判定定理：如果一条直线与平面内的 直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也 于这个平面.推论：如果两条直线 同一个平面，那么这两条直线平行. 点到平面的距离：长度叫做点到平面的距离.三、面面垂

2、直：定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面 ，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线 ，就称这两个平面互相垂直.平面a,B互相垂直，记作a丄B判定定理：如果一个平面经过另一个平面的 则这两个平面互相垂直.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于直线垂直于另一个平面.四、求点面距离的常用方法：直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个三角形.转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解.题型一线线垂直、线面垂直的判定及性质例1.如图，在四棱锥 P-ABCD中，PM底面 ABCD AB丄AD,AC丄CD / AB

3、C=60 ,PA=AB=BC,E 是 PC的中点.求证：CD 丄 AEPD丄平面ABE.证明：(I) PA丄底面AB匚Lh ,PA_CD 又AC-CD* PAnAC-A故匚平面Pi匚.又HE匸平面FA匚.，CD_AE(II)由題意：AB-AD,ABPADj从而負日一 PD=BCj ABC = 60,.ACAB,就而AOPA.又匚为兀之中点，AE_PU由(I)师：AE_CDfAHnAE-PD故PD亠平面炬巳【变式1】已知：正方体 ABCD - AiBiClDl，AA仁2，E为棱CC1的中点.(I )求证：B1D1 丄 AE ;(H )求证：AC /平面 B1DE.【解答】(I)连接BD,则BD/

4、BQ，T ABCD是正方形，二ACLBD/ CEL平面 ABCD BD?平面 ABCD / CEL BD又 ACH CE=C BDL面 ACE / AE?面 ACE 二 BDLAE.B 1D1LAE( 5 分)(H)证明：取 BB的中点F,连接AF、CF、EF. T E、F是GC、BB的中点，CE /BiF且CE=BF,.四边形BiFCE是平行四边形， CF / B iE.v 正方形BBGC 中，E、F是 CC BB 的中点， EF / BC 且 EF=BC又 BC / AD且BC=ADE F / AD且EF=AD 四边形 ADEF是平行四边形，可得AF/ ED, / AF H CF=C BE

5、H ED=E平面 ACF/ 平面 BiDE又 T AC ?平面 ACF, - AC/面 BiDE【变式2】如图，已知四棱锥 P- ABCD，底面ABCD为菱形，PA丄平面ABCD ,/ ABC=60 点E、G分别是 CD、PC的中点，点 F在PD上，且PF: FD=2 :1.(I )证明：EA丄PB;(H )证明：BG / 面 AFC .【解答】(I)证明：因为面 ACD为等边三角形，又因为E是CD的中点，所以EAL PA而 ABA PA=A所以EAL面PAB 所以EAL PB.(H)取 PF中点 M 所以PM=MF=F.D连接 MG MG/ CF,所以 MG/面 AFC连接BM BD设ACH

6、 BD=O连接 OF,所以BM/ OF,所以BM/面AFC而 BMH MG=M所以面BGM面AFC 所以BG/面AFC【变式3】如图，四棱柱 ABCD - AiBlClDl的底面ABCD是正方形，0为底面中心, A10丄平面 ABCD , AB=|、：！ , AA 1=2 .证明：AA 1丄BD证明：平面 A1BD /平面CD1B1 ;求三棱柱 ABD - A1B1D1的体积.【解答】(1)证明：底面 ABCD是正方形，BDL AC 又 T A Q丄平面 ABCD且 BD?面 ABCD：A0丄BD 又T A iOn AC=O AiO?面 AAC, AC?面 AiAC,四边形ABiCD是平行四边

7、BDL面 AiAC AAi?面 AiAC, AA i 丄 BD(2)T A iBi/ AB AB/ CD - AiBi/ CD 又 AiBi=CD平面AiBD/平面CDBi.A iD/BiC,同理 AiB/ CD , / A iB?平面 AiBD, AiD?平面 AiBD CD?平面 CDBi , BiC?平面 CDB ,且 AiBQAiD=A , CDQBiC=C(3 )T A Q丄面 ABCD A iO 是三棱柱 ABD- ABD的高,在正方形 ABCD中 , AO=i 在 RtAiOA中，AA=2 , AO=i,A iO=.；, V 三棱柱 ABIAiBiD=&ABD?AiO=：? (.

8、：)2? :；2三棱柱ABD- AiBiDi的体积为.；【变式4】如图，三棱柱 ABC - AiBiCi中，侧棱AA i丄底面ABC ,AB=BC=AC=AA i=4 ,点F在CCi上,且CiF=3FC , E是BC的中点.求证：AE丄平面BCCiBi求四棱锥 A - BiCiFE的体积；证明：BieL AF .【解答】(i ) AB=AC , E是BC的中点，AE1 BC .在三棱柱 ABC- AiBiCi ,中，BB / AA i ,BB i丄平面ABC/ AE ?平面 ABCBB i 丄 AE ,.(2 分)又 BB iA BC=B .（3 分）BB , BC?平面 BBCiC,AE!平

9、面BRGC,.（4分）(2)由(1)知，即AE为四棱锥 A BCiFE的高，在正三角形 ABC中，AE=AB=2 -;，2在正方形BB* 中, ce=be=2 E，律四晰严甲正方形冋SCFE=4X 4 -丄X 2 乂 4 一 丄X 2X12 2佻-誓詞申四血形BCFe|?ae冒XU X 2（3）证明：连结 B1F,由（1）得 AE!平面 BBCC,t B 1E?平面 BBiCiC, AEIBtE,.(8分)在正方形 BBGC,中，B1F寸b 严+C=5,BE=-I S ，EF= i|. - !，B 1F2=B1E2+EF2,a B 1E丄EF.（9 B iE丄平面AEF,.（11分）分) 又

10、AEn EF=E （ 10 分）AE, EF?平面 AEF/ AF ?平面 AEF,. B 1E丄 AF.（12 分）【变式5】如图，四棱锥 P ABCD中，PD丄平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2 , E为PC的中点，G在BC上，且 CGCB求证：PC丄BC ;求三棱锥 C DEG的体积；AD边上是否存在一点 M,使得PA/平面MEG ?若存在，求 AM的长；否贝叽说明理由.【解答】（1）证明：T PDL平面 ABCD： PDL BC又/ ABCD是 正方形， BCL CD又 PDn CD=D： BCL平面 PCD 又 T PC?平面 PCDPC! BC （ 2 ）T BCL

11、平面 PCDGC是三棱锥G- DEC的高.E是PC的中点,S ED -SapdC=_:x丄2x2） =1. V2 Jde=Vg de(=GC?Sde(= X 二 X 1=二.33 39(3)连结AC,取AC中点O 连结EO GO于点 M贝y PA/平面 MEG证明：TE为PC的中点，O是AC的中点，/ EO?平面 MEG PA?平面 MEGPA/平面 MEG在正方形 ABCD中, TO是AC的中点，BC=PD=2 CG=CB.3 OC3A OAM： AM=CG，所求 AM的长为 2.33【变式6】如图所示，在三棱柱 ABC - AiBiCi中，BB1丄底面AiBiCi, A1B1丄BiCi且A

12、iBi=BB i=BiCi, D 为 AC 的中点.(I )求证：AiB 丄 ACi(n )在直线CCi上是否存在一点 E,使得AiE丄平面AiBD，若存在，试确定E点的位置；若不存在，请说明理由.【解答】（I）证明：连接ABi BB i丄平面 AiBiGB iG 丄 BBiB iG丄A iBi 且 AiBi A BBi=BiB iG丄平面 AiBiBA A i B丄B iG . 又t A i Bl AB| 且 AB AB iCi=Bi AiB丄平面 ABCiAiB丄ACi(n)存在点 E在CG的延长线上且 CE=2CC寸，AE丄平面ABD.设 AB=a, CE=2a,A1BDLAC BDLC

13、Ci,二打耳 2 + &乎二 DEAiE 丄AiDACT) CG=C, BDL平面 ACCAi , 又AiE?平面 ACCAi A iEL BD.又 BDTA iD=D , A iE丄平面B【变式7】如图，在直三棱柱ABC - AiBiCi 中,AC=3 , BC=4 ,AB=5，点D是AB的中AiBD占八、求证：AC 丄 BCi；求证：ACi / 平面 CDB i.【解答】 证明：(i)因为三棱柱 ABC- AiBiCi为直三棱柱,所以GC丄平面ABC所以GC丄AC又因为 AC=3 BC=4, AB=5,所以 aC+bCaB2,所以acl bc又 C|CT BC=C 所以 ACL 平面 CC

14、BiB,所以 ACL BCi.(2)连结GB交CB于E,再连结DE由已知可得 E为GB的中点，又TD 为AB的中点, DE BAG 的中位线. ACi / DE 又t DE?平面 CDB, AG?平面 CDB： AG/ 平面 CDB.【变式8】如图，直三棱柱 ABC - AiBiCi中，AAi=2AC=2BC , D是AA i的中点，CD 丄 BiD.证明：CD 丄 BiCi;平面CDB i分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.【解答】(i )证明：由题设知，直三棱柱的侧面为矩形，由D为AA的中点，贝U DC=DG 又 AA=2AG 可得 DC2+dG=CC2, 贝U CDL DCi,而 CD

15、L B iD, BiDQ DGi=D,则CDL 平面BiGD,由于BG?平面BQD,故 CDL B iCi；(2)解：由(1)知，CDLB iCi,且BiG丄CiC,贝U BiG丄平面ACGAi,设Vi是平面CDB上方部分的体积，W是平面CDB下方部分的体积，则 Vi=Vbi-cdai Scdaic?Big4 沁?BiCi3BiG3,332V=AbC- A1B1C =2aG?BC?CG=BG3，贝y V2=V- Vi3bG3=Vi,2 1故这两部分体积的比为 1 ： 1.【变式9】如图所示，在长方体 ABCD - AiBiCiDi中，已知底面是边长为2的正方形，高为1，点E在Bib上，且满足B

16、iE=2EB .求证：Die 丄 AiCi; 在棱BiCi上确定一点F,使A、E、F、Di四点共面，并求此时 BiF的长;求几何体 ABEDid的体积.41【解答】(I)证明：连结 BiDi.因为四边形 AiBiCiDi为正方形，所以AiG丄B1D1.在长方体 ABCD- ABGDi中，DD丄平面 ABGD,又AiG?平面AiBiCiDi，所以DD丄AQ .因为 DDQBiDi=D, DD?平面 BBDiD, BiD1?平面 BBDD,所以 AG丄平面 BBDD.又DIE?平面BBDiD，所以DiE丄AiG.(4分)(H)解：连结 BC,过E作EF/ BG交BiCi于点F.因为 AD/ BCi

17、,所以 AD/ EF.所以A、E、F、Di四点共面.即点 F为满足条件的点.又因为 BiE=2EB所以BiF=2FG，所以諾B&禺_( 8分)(川)解：四边形 BEDD为直角梯形，几何体 ABEDD为四棱锥A- BEDD.BDI 因为.丄I =.=1 ，点a到平面BEDD的距离h丄厂二，所以几何体ABEDD的体积为：，=.(13 分)乜-:g题型二面面垂直的判定例2.如图，在三棱锥 P ABC中，PA!底面ABC ABC为正三角形，D、E分别是BC CA的中点.求证：平面 PBEL平面PAC如何在BC上找一点F,使AD/平面PEF?并说明理由(I)： PA丄底聞AB匸，$E 二匚，-PA丄(E

18、. tl 廿)黑A ABC杲王二呈F)，弓E为皐中点、-BE LCA. ( 25)SPA 1CA=A翌丄平UjPAC，7甘 BE 二平面PEE.平KPBH-L T S?AC.)(11 r： SKD审中臣i揺EF网卩即旬斯苇.(75J)丁即F分别沟CA，CD的中点./. BF U). (8#)又郎二平伍PEP，AI)cT面per.丸1&平西PEF “【沙廿【变式1】如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE丄平面ABCD .证明：平面 AEC丄平面BED.【解答】证明：(I)：四边形 ABCD%菱形， ACLBD t BE!平面ABCD ACL BE,贝U ACL平面 BED ： A

19、C?平面 AEC 二平面 AECL平面 BED【变式2】如图，三棱台 DEF- ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中占I 八、求证：BD /平面FGH ;若CFLBC，AB丄BC,求证：平面 BCD丄平面EGH .【解答】在三棱台DEL ABC中，AB=2DE G为AC 的中点.二DF H GC，A四边形CFDG是平行四边形， DM=MC又 BH=HC MH/ BD,又 BD?平面 FGH MH 平面 FGH BD/ 平面 FGH证法二：在三棱台 DEF- ABC中，AB=2DE H为BC 的中点.；.丄二，四边形BHFE为平行四边形 BE/ HF.在厶ABC中, G为AC的中点

20、，H为BC的中点，二GIH/ AB又GH? HF=H二平面FGH/ 平面 ABED： BD?平面 ABED 二 BD/平面 FGH(II )证明：连接HE T G, H分别为AC, BC的中点，二GH/ AB ： AB丄BC, GHL BC,又 H为 BC的中点，二 EF/ HC, EF=HC： EFCH是平行四边形，二 CF/ HECF丄 BC,二 HE! BC 又 HE GH 平面 EGH HEH GH=H BCL平面EGH又BC?平面BCD二平面BCDL平面EGHN分别是AC、AD的中点,【变式3】如图所示,已知AB丄平面BCD , M、BCLCD.求证：平面BCD丄平面ABC .【解答

21、】因为AB丄平面BCD CD?平面BCD 所以AB丄CD又 CDL BC, ABA BC=B所以CDL平面ABC又CD?平面BCD所以平面BCDL平面ABC【变式4】如图，已知在四棱锥 P- ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，AD是正三角形，平面 PAD丄平面ABCD, E, F, G 分别是 PD, PC, BC 的中占八、求证：平面EFG丄平面PAD ;（2）若M是线段CD上一点，求三棱锥M - EFG的体积.【解答】（1）v平面PADL平面ABCD平面PACT平面 ABCD=A，CD?平面 ABCD CDLAD CDL平面 PAO-（ 3 分）又 PCD中, E、F分别是PD

22、PC的中点， EF/ CD 可得EF丄平面PAD EF?平面 EFG 二平面 EFGL平面 PAD （ 6分）（2）v EF/ CD EF?平面 EFG CD?平面 EFG CD/ 平面 EFG因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离, VM-efg=VD-efg,取 AD的中点 H连接 GH EH 贝U EF/ GHv EF平面 PAD EH?平面 PAD 二 EF丄 EH于是 Sefh=-EFX EH=2=Sefg,平面EFGL平面PAD平面EF 平面PAD=EH EHD是正三角形点D到平面EFG的距离等于正 EHD的高,即为.； , （ 10分）因此，三棱锥 M- E

23、FG的体积 Vm-efg=VD-efX S efgX =；.（ 12 分）33的【变式5】如图，已知AB丄平面ACD , DE/AB, AD=AC=DE=2AB=2 , 且 F 是 CD中点，AF=.（1）求证：AF/平面BCE;（2）求证：平面 BCE丄平面CDE;（3）求此多面体的体积.【解答】证明：（1）取CE中点P,连接FP、BP, v PF/ DE且FP=1又AB/ DE,且 AB=1, AB/ FP,且AB=FP ABPF为平行四边形, AF/ BP. （2分）又v AF?平面BCE BP?平面 BCE - AF/平面 BCE（4 分）（2）证明：v AD=AC F是CD的中点,A

24、二&;.所以 ACD为正三角形，二AF 丄CDv AB丄平面 ACD DE/ Ab DEL平面 ACD 又 AF?平面 ACD - DEI AF.又 AFL CD cm DE=D - AF丄平面 CDE又 BP/ AF, BP丄平面 CDE又v BP平面BCE, 平面BCEL平面CDE.（3）此多面体是以C为顶点,以四边形ABED为底边的四棱锥,等边三角形AD边上的咼就是四棱锥的咼T二二.：二：:；二: （12分）【变式6】如图，三棱柱ABC - AiBiCi的侧面AAiBiB为正方形，侧面AB 丄 BiC.BBiCiC 为菱形，ZCBBi=60(I)求证：平面AAiBiB丄平面BBiCiC;

25、(II )若AB=2，求三棱柱 ABC -AiBiCi 体积.【解答】(I)证明：由侧面 AAiBiB为正方形，知AB丄BB .又：AB丄BiC,BBGBiC=B,. AB丄平面 BBGC，又：AB?平面 AABB,：平面 AABB 丄 BBGC.(U)由题意，CB=CB设0是BB的中点，连接 CO则COLBB.由(I) 知, COL平面 ABBiA,且 CO=!bcaB* .2 2连接AB,则比讥层眄?C0= XABCO警.m =比-坷B C 却皿-A F c 誇3，二V三棱柱二励.1111 L 113【变式7】如图，四边形 ABCD为梯形，AB /CD, PD丄平面ABCD , ZBAD=

26、ZADC=90 DC=2AB=2a , DA=a, E为 BC 中点.(i)求证：平面PBC丄平面PDE;(2)线段PC上是否存在一点F,使PA /平面BDF ?若有，请找出具 体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由.【解答】(i)证明：连结BD / BAD=90 ,-/ - ； BD=DC=2,a E为 BC中点，二 BCLDE又PDL平面 ABCD BC?平面ABCD BCL PD, DG PD=D 二 BCL平面 PDE BC?平面PBC二平面PBCL平面PDE(2)如上图，连结AC交BD于 O点，贝CODDC=2Ab 靠疇斗在PC上取F,使FF誌FC ；连接OF则OF/ PA而OF?

27、平面BDF, PA?平面BDF； PA/ 平面 BDF题型三：面面垂直性质应用ABCD是/ DAB=60且边长为 a的菱形，侧面ABCD若G为AD边的中点.例3.如图所示，在四棱锥 P ABCD中,底面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面求证：BGL平面PAD求证：ADL PB.证明；Cl -AED为尊边三胃砒且G为麵的中点EG 丄又平面PAD平面ABCD,附_平面PAD(2) FAD昙等边三宙时且GJAD的中宜,.AD_PG且AU丄BG. PGnBG-Gj&D亠平面PBG；AD1PB【变式1】如图，已知在四棱锥 P- ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，AD是正三角形，平面 PAD

28、丄平面ABCD，E，F，G分别是pd，pc，bc的中点.求证：平面EFGL平面PAD ;若M是线段CD上一点，求三棱锥 M - EFG的体积.【解答】(1)v平面PADL平面 ABCD平面PADT平面 ABCD=ADCD?平面abcd cdlad cdl平面 pad 又 PCD中, E、 分别是pd PC的中点， EF/ cd 可得 EFL平面 PAD. v EF?平面 EFG 平面EFGL平面PAD(2)： EF/ CD EF?平面 EFG CD?平面 EFG 二 CD/平面 EFG因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离，二 VefG=VDEFG取AD的中点H连接GH

29、EH 则EF/ GHv EF丄平面PAD EH?平面PAD二EF丄EH于是 Saefh-EFX EH=2=Sefg, v 平面 EFGL平面 PAD 平面 EF平面 PAD=EHXSa efgX：.3【变式2】 已知点P是菱形ABCD外一点，/ DAB= 60，其边长为a,侧面 EHD是正三角形，.点D到平面EFG的距离等于正 EHD的高,即为_，因此，三棱锥 M- EFG的体积Vm-efg=VD-ef臺PAD是正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD G为AD的中点.求证：AD丄PB 若E为BC边中点，能否在棱PC上找 一点F,使平面DEFL平面ABCD并证明 你的结论.解析证明：连接BG P

30、G.v四边形ABCD1菱形且/ DAB= 60 .二BGLAD.又厶PAD为正三角形，且 G是AD中点，二PGLAD.v PGH BG= G,a ADL平面 PBG又 PB?平面 PBG 二 ADL PB.(2)当F是PC中点时，平面DEFL平面ABCD.证明如下：取PC的中点F,连接DE EF、DF.在厶PBC中, EF/ PB.在菱形ABCD 中，BG/ DE.平面 DEF/ 平面 PGB.v 平面 PADL平面 ABCD PGL AD. a PGL平面 ABCD.又PC?平面PGB.a平面PGBL平面ABCD/.平面DEFL平面ABCD.题型四求点面的距离例4.如图，已知在长方体 ABC

31、D-ABGD中,D1A .BCD,的距鳥”妊点R作甜人府于恳C1CV 甌丄f尙為砂尅X MME二氐域E丄乎面小购线貝离$的 氏即为所取”形,棱A Ai=5, AB=12求直线BiCl到平面AiBC D的距离.【变式】如图，在四棱锥 P-PA丄平面 ABCD , AP=AB=1 , E, F 分别是 PB ,PC的中点.ABCD中，底面 ABCD是正方?(I )求证：AE丄PC;（n ）求点A到平面PBD的距离.【解答】（I）证明：T AP=AB , E是PB的中点， AE1PB / PAL平面 ABCD： PAL BC,v AB丄 BC 且PAH AB=A BC丄平面 PAB / AE?平面

32、PAB AE1 BC , / pba bc=b AE!平面 PBC - AE1 PC .（6 分）(n)解：设点 A到平面PBD的距离为d,利用体积法，叽血讥沁=刖圖血尸召，点a到平面pbd的距离为3 .课后作业对于任意的直线I与平面，在平面 必有直线m与I ()A. 平行 B. 相交 C.垂直 D.互为异面直线若平面 丄平面，I，点P ,P I，则下列命题中的真命题有( )过P垂直于I的平面垂直于；过P垂直于I的直线在 内;过P垂直于 的直线平行于 ；过P垂直于 的直线在 内.A. B. C. D. 空间四边形ABCD中，若ADLBC,BDLAD那么有（）A.平面ABCL平面ADCB. 平面ABCL平面ADBC.平面ABCL平面BDCD.平面ADCL平面BDC4.若m,n是两条不同的直线,a,B,丫是三个不同的平面，则下列结论中正确的是（）A.若 m? B, aL B,则 m 丄 aB.若 aA Y=m , pH = n , m / n,贝 UaBC.若 mXp,m /a,贝 UaLp D.若aL Y,aLp，贝U pL 丫6.如图所示，四棱锥 P ABCD勺底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱 PA=a, PB=PD=. 2 a ,则它的5个面中，互相垂直的面有7.三个平面两两互相