【新教材】2020-2021学年人教A版高中数学必修第二册6.1平面向量的概念 基础练习-【含答案】

1、6.1 平面向量的概念 基础练习一、单选题1.有下列说法： 若两个向量不相等，则它们一定不共线；若四边形 ABCD 是平行四边形，则 AB=CD ；若 a/b ， b/c ，则 a/c ；若 AB=CD ，则 |AB|=|CD| 且 AB/CD 其中正确说法的个数是（ ）A.0B.1C.2D.32.已知向量 a=(cos75,sin75),b=(cos15,sin15) ，则 |ab| 的值为（ ） A.12B.1C.2D.33.已知 A(0,1) ， B(0,3) ，则 |AB|= （ ） A.2B.10C.4D.2104.已知平面向量 a=(sin,2019) ， b=(cos,2020)

2、 ，若 a/b ，则 tan= （ ） A.20192020B.20202019C.20192020D.202020195.已知 |a|=|b|=2 ， ab=2 若 |cab|=1 ，则 |c| 的取值范围是（ ） A.12，32B.12，52C.2，3D.1，36.已知 a ， b 是两个互相垂直的单位向量，且 c a = c b =1，则对任意的正实数t，| c +t a + 1tb |的最小值是（ ） A.2B.2 2C.4D.4 27.已知点A（1，2），B（3，7），向量 a =(x,1),AB a ，则（ ） A.x=25 ，且 AB 与 a 方向相同B.x=25 ，且 AB 与

3、 a 方向相同C.x=25 ，且 AB 与 a 方向相反D.x=25 ，且 AB 与 a 方向相反8.下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A.e1=(0,0) ， e2=(1,2)B.e1=(1,2) ， e2=(5,7)C.e1=(3,5) ， e2=(6,10)D.e1=(2,3) ， e2=(12,34)9.设四边形ABCD中，有 DC = 12AB 且| AD |=| BC |，则这个四边形是（ ） A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形10.已知向量 a 与 b 不共线， AB=a+mb ， AC=na+b （m，nR），则 AB 与 AC 共线的条件是（ ） A.m+n=0

4、B.mn=0C.mn+1=0D.mn1=011.如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC上的动点，且满足 AE =m AB ， AF =n AC ，其中m，n（0，1），m+n=1，M，N分别是EF，BC的中点，则| MN |的最小值为（ ） A.24B.33C.34D.5312.已知向量 a =（2，1）， b =（1，x），若 a + b 与 2ab 平行，则实数x的值是（ ） A.2B.12C.1D.213.下列命题中：若 a b =0，则 a = 0 或 b = 0 ；若| a |=| b |，（ a + b ）（ a b ）=0；若 a b = a c ，则 b

5、= c ；若 a b ， b c ，则 a c ；其中正确的个数为（ ）A.1B.2C.3D.414.如图，在ABC中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB上的中线，它们交于点G，则下列各等式中不正确的是（ ） A.BG=23BEB.CG=12AGC.DG=12AGD.GA+GB+GC=015.设 a ， b 都是非零向量，那么命题“ a 与 b 共线”是命题“| a + b |=| a |+| b |”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件16.下列命题正确的是（ ）A.向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量B.任意两个相等的非零向量

6、的始点与终点是一平行四边形的四个顶点C.a与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线D.有相同起点的两个非零向量不平行17.下列向量中不是单位向量的是（ ）A.（1，0）B.（1，1）C.（cosa，sina）D.a|a|（| a |0）18.下列说法正确的是（ ） A.向量 AB CD 就是 AB 所在的直线平行于 CD 所在的直线B.共线向量是在一条直线上的向量C.长度相等的向量叫做相等向量D.零向量长度等于019.设a,b是向量，则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的（ )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件20.已知

7、AB=(4,1)，BC=(-1,k)若A，B，C三点共线，则实数k的值为（）A.4B.-4C.-14D.14二、解答题21.已知向量 a=(1,2) ， b=(2sin,cos) ，且 ab .求： （1）|b| ； （2）sin(2+4) . 22.已知 a =（x，1）， b =（4，2）（）当 a b 时，求| a + b |；（）若 a 与 b 所成角为钝角，求x的范围 23.已知向量 a =（sin x2 ，sin 3 ）， b =（cos x2 ，cos 3 ），且向量 a 与向量 b 共线 （1）求证：sin（ x2 3 ）=0； （2）若记函数f（x）=sin（ x2 3 ），

8、求函数f（x）的对称轴方程； （3）求f（1）+f（2）+f（3）+f（2013）的值； （4）如果已知角0AB，且A+B+C=，满足f（ 4A ）=f（ 4B ）= 12 ，求 sinBsinC 的值 答案解析部分一、单选题1. A 对于，当两个向量不相等时，可能方向相反，所以可能共线，故不正确； 对于，若四边形 ABCD 是平行四边形，则 AB=DC ，故不正确；对于，当 b=0 时， a 与 c 可以不共线，故不正确；对于，“若 AB=CD ，则 |AB|=|CD| 且 AB/CD 或 AB 与 CD 在一条直线上”，故不正确.故A.2. B 因为 |a|=1,|b|=1,ab=cos7

9、5cos15+sin75sin15=cos60=12 ，所以 |ab|=(ab)2=12212+12=1 ， 故B.3. C 因为 A(0,1) ， B(0,3) ，所以 AB=(0,4) ， 则 |AB|=4 .故C.4. A 解: a/b , 2020sin2019cos=0 , sincos=20192020 , tan=20192020 .故A.5. D 因为 |a|=|b|=2 ， ab=2 ，所以 |a+b|2=|a|2+|b|2+2ab=4+44=4 ， 即 |a+b|=2 ，当 c 与 a+b 同向时， |c(a+b)| 最小；当 c 与 a+b 反向时， |cab| 最大，又

10、 |cab|=1 ，所以 1|c|a+b|1 ，即 1|c|3 .故D6.B 解： ab =0， |a|=|b|=1 ， ca=cb=1 建立如图所示的直角坐标系，取 a=(1，0) ， b=(0，1) 设 c=(x，y) ，（x，y）（1，0）=（x，y）（0，1）=1x=y=1 c=(1，1) |c|=2 t0 |c+ta+1tb| = c2+t2a2+1t2b2+2tac+2tbc+2ab = 2+2(t+1t)+t2+1t22+4+2 = 22 ，当且仅当t=1时取等号故选：B7. D 解：因为 A(1,2),B(3,7) ，所以 AB=(2,5) ，a=(x,1),AB/a ，可得

11、5x=2 ，解得 x=25 ，a=(25,1) 与 AB 方向相反，故D.8. B A 选项中，零向量与任意向量都共线，A不符合题意；B 选项中，不存在实数 ，使得 e1=e2 ，故两向量不共线，B符合题意；C 选项中， e2=2e1 ，两向量共线，C不符合题意；D 选项中， e1=4e2 ，两向量共线，D不符合题意；故 B9.C 解： DC = 12 AB ， DCAB，且DCAB又| AD |=| BC |，四边形为等腰梯形故选C10.D 解：由 AB=a+mb ， AC=na+b(m，nR) 共线， 得 a+mb=(na+b) ，即mn1=0，故选：D11.C 解：因为 AE =m AB

12、 ， AF =n AC ，其中m，n（0，1），m+n=1，M，N分别是EF，BC的中点 所以 MN=ANAM = 12 （ AB+AC ） 12 （ AE+AF ）= 12 （1m） AB +12 （1n） AC ，又m+n=1，所以 MN=12(1m)AB+12mAC ，所以| MN |2= 14(1m)2AB2+14m2AC2 + 12(1m)mABAC ，ABC是边长为1的等边三角形，所以上式整理得| MN |2= 14(1m)2+14m2+14(1m)m = 14(112m)2+316 ，所以当m= 12 时，| MN |2最小值为 316 ，所以| MN |的最小值为 34 ；故选

13、C12.B 【考点】平行向量与共线向量 解： a + b =（3，1+x）， 2ab =（3，2x）， a + b 与 2ab 平行，3（1+x）3（2x）=0，解得x= 12 故选：B13. A 解：对于，当 a b =0时， a = 0 或 b = 0 或 a b ，错误；对于，当| a |=| b |时，（ a + b ）（ a b ）= a2 b2 =| a2 | b2 |=0，正确；对于，当 a b = a c 时， a b a c = a （ b c ）=0， a = 0 或 b c = 0 或 a （ b c ），错误；对于，当 b = 0 时，有 a b ， b c ，但 a

14、c 不一定成立，错误；综上，正确的命题个数为1故选：A14.C 解：由条件可知G为ABC的重心，由三角形重心的性质可知 DG=12GA ，故C不正确 故选项为C15.B 解：由命题“ a 与 b 共线”可得 a 与 b 方向相同或方向相反，若 a 与 b 方向相同，则有 |a+b| = |a|+|b| ，若 a 与 b 方向相反，则有 |a+b| = ，故不能推出 |a|+|b| 由 |a+b| = |a|+|b| ，可得 a 与 b 方向相同， a 与 b 共线故命题“ a 与 b 共线”是命题“| a + b |=| a |+| b |”的必要不充分条件，故选B16. A 解：对于A，若

15、a 或 b 是非零向量，则向量 a 与 b 共线是真命题，所以它的逆否命题也是真命题；对于B，任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点，或四个顶点在一条直线上，故原命题错误；对于C， a 与 b 共线， b 与 c 共线时， a 与 c 也共线，当 b = 0 时命题不一定成立，故是假命题；对于D，有相同起点的两个非零向量也可能平行，故原命题错误综上，正确的命题是A故选：A17. B 解：ACD中的向量的模都等于1，因此都是单位向量；B中的向量的模= 2 ，因此不是单位向量故选：B18. D 解：A：向量 AB CD 就是 AB 所在的直线平行于 CD 所在的直线，不正确；

16、B：共线向量是在一条直线上的向量，不正确；C：长度相等的向量叫做相等向量，不正确；D：零向量长度等于0，正确；故选：D19. D 若 |a|=|b| 成立，则以 a ， b 为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形， a+b ， ab 表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以 |a+b|=|ab| 不一定成立，从而不是充分条件；反之， |a+b|=|ab| 成立，则以 a ， b 为边组成平行四边形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以 |a|=|b| 不一定成立，从而不是必要条件.【分析】根据向量模相等的几何意义，结合充要条件的定义，可得答案20. C 解：A，B

17、，C三点共线，AB与BC共线又AB=(4,1)，BC=(-1,k)，4k1（1）=0，解得k=-14故选C二、解答题21. （1）解：因为 ab ，所以 ab=02sin2cos=0 sin=2cos ，又 sin2+cos2=1 所以 2cos2+cos2=1cos2=13 ， sin2=23 |b|=2sin2+cos2=43+13=53 （2）解：由（1） sin=2cos ，若 cos=0 ，则 sin=0 ，与 sin2+cos2=1 矛盾 所以 tan=sincos=2 sin(2+4)=sin2cos4+cos2sin4=22sin2+cos2sin2+cos2 =222sinc

18、os+cos2sin2sin2+cos2=222tan+1tan2tan2+1 =2222+122+1=426 （1）根据垂直关系和平方关系求出 cos2=13 ， sin2=23 ，根据公式即可求得模长；（2）结合（1）的垂直关系得 tan=sincos=2 ，展开 sin(2+4) 构造齐次式求解.22.解：（）当 a b 时，有2x4=0，解得：x=2，故 a + b =（2，1），所以| a + b |= 5 ；（）由 a b =4x2，且 a 与 b 所成角为钝角，则满足4x20且 a 与 b 不反向，由第（）问知，当x=2时， a 与 b 反向， 故x的范围为（，2）（2， 12 ） （）根据向量共线的坐标公式可得x=2，即得a +b =（2，1）再根据向量的模求得结果。 （）根据向量的数量积运算公式；a b=4x2, 所成角为钝角，即得4x20.由已知可得,当x=2时，a 与b 反向，即得x的取值范围。23. （1）证明：向量