华师大版八年级上册数学课件（第14章 勾股定理）

1、第14章 勾股定理14.1 勾股定理第1课时 直角三角形三边的关系 -认识勾股定理1课堂讲解勾股定理勾股定理与面积的关系2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升 你知道2002年在北京召开的国际数学家大会（ICM-2002)吗?在这次大 会上，到处可以看到一个简洁优美、远看像旋转的纸风车的图案，它就是大 会的会标. 会标采用了 1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图.知1导1知识点勾股定理 本章导图中的弦图隐含着直角三角形三边之间的 一种奇妙关系，让我们首先观察下面的正方形瓷砖铺成 的地面.图14. 1. 1是正方形瓷砖铺成的地 面，观察图中着色的三个正方形,显然，两个小正方形P、

2、Q的面积之和等于大正方形R的面积.即 AC2 + BC2 = AB2, 这说明，在等腰直角三角形中，两直角边的平方和 等于斜边的平方.那么在一般的直角三角形中，两直角边 的平方和是否等于斜边的平方呢？知1导试一试观察图14. 1. 2,如果每一小方格表示1平方厘米， 那么可以得到：正方形P的面积= 平方厘米；正方形Q的面积= 平方厘米；正方形R的面积= 平方厘米.我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是 .由此，我们得出RtABC的三边长度之间存在的关 系是 .知1导做一做 画出两条直角边分别为5 cm、12 cm的直角三角形，然后用刻度尺量 出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否

3、成立.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；数学表达式：在RtABC中，C90，ABc，ACb，BCa，则a2b2c2.要点精析：(1)勾股定理适用于任何一个直角三角形；(2)勾股定理的内容描述的是直角三角形三边之间的数 量关系，已知其中任意两边可以求出第三边；(3)勾股定理的变形公式：a2c2b2，b2c2a2；(4)运用勾股定理时要分清斜边、直角边知1讲 利用勾股定理求直角三角形边长的方法：一般都要经过“一分二代三化简”这三步：即一分：分清哪条边是斜边、哪些是直角边；二代：代入a2b2c2及两边之间的关系式；三化简知1讲在RtABC中，已知B90, AB=6,BC=8.求AC

4、.根据勾股定理，可得AB2 + BC2 = AC2.所以 AC =知1讲例1 解： 应用勾股定理，由直角三角形任意两边的长度，可以求出第三边的长度.在RtABC中，C90，A，B，C的对边分别是a，b，c.(1)已知ab6，求c；(2)已知c3，b2，求a；(3)已知ab21，c5，求b.知1讲例2 分清斜边和直角边因为a，b，c分别是RtABC的三边，所以可以用勾股定理解决问题导引： 知1讲(1)C90，ab6，由勾股定理，得c (2)C90，c3，b2，由勾股定理，得a (3)ab21，a2b.又C90，c5，由勾股定理，得(2b)2b252，解得b 解： 已知直角三角形的两边长分别为3，

5、4，求第三边的长知1讲例3 第三边的长为错解： 由于习惯了“勾三股四弦五”的说法，因此将题意理解为两直角边长分别为3和4，于是斜边长为5.但这一理解的前提是3，4为直角边长，而题中并没有任何说明，因而所求的第三边长可能为斜边长，也可能为直角边长所以需要分情况求解错解分析： 知1讲(1)当两直角边长分别为3和4时，第三边的长 为(2)当斜边长为4，一直角边长为3时，第三边 的长为正确解法： 运用勾股定理求第三边的长时，一般都要经过“一分二代三化简”这三步；若通过题目中的条件找不到斜边，则需要运用分类讨论思想求解知1讲知1练 1 在 RtABC 中，AB= c，BC = a，AC= b, C90.

6、(1)已知 a = 6, c = 10,求 b;(2)已知 a = 24, c = 25,求 b.知1练 若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是()Ab2c2a2 Ba2c2b2Cb2a2c2 Dc2a2b22 知1练 3已知一个直角三角形的两条边长分别为3和4，则第三条边长的平方为()A25 B7 C7或25 D不确定 知2讲2知识点勾股定理与面积的关系基本思想方法：勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想方法的典范观察图14.15中的图形，回答问题：(1)如图，D

7、EF为直角三角形，正方形P的面积为9， 正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为_；(2)如图，分别以直角三角形ABC的三边为直径向三角 形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系 式是 (用图中字母表示)；(3)如图，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4， 分别以直角三角形的三边为直径作半圆，请你利用(2) 中得出的结论求阴影部分的面积知2讲例4 24S1S2S3知2讲(1)根据正方形的面积公式结合勾股定理可得DF2 DE2EF2，即正方形M的面积91524；(2)S1 ，S2 ，S3 ，另外由勾股定理可知AC2BC2 AB2，所以S1S2S3；(3)阴影部分的面积两个小半圆形的面积和

8、直 角三角形的面积大半圆形的面积，由(2)可知 两个小半圆形的面积和大半圆形的面积，所 以阴影部分的面积直角三角形的面积导引： 知2讲设两个小半圆形的面积分别为S1，S2，大半圆形的面积为S3，三角形的面积为S，由(2)知，S1S2S3，则S阴影S1S2SS3S 346.解： 与直角三角形三边相关的正方形、半圆形及正多边形都具有相同的结论：两直角边上图形面积的和等于斜边上的图形面积本例考查了勾股定理及正方形的面积公式，半圆形面积的求法，解答此类题目的关键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平方关系，就很容易联想到勾股定理知2讲知2练 如图，字母B所代表的正方形的面积是()A12 B13 C1

9、44 D1941 知2练 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为()A3 B4 C5 D72 知2练 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是()A13 B26 C47 D943 第14章 勾股定理14.1 勾股定理第2课时 直角三角形三边的关系- 验证勾股定理1课堂讲解勾股定理的验证勾股定理的应用2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升知1讲1知识点勾股定理的验证读一读 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.“

10、弦图”最早是由三 国时期的数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的， 它标志着中国古代的数学成就.图14. 1. 3是2002年在 北京召开的国际数学家大会(ICM-2002)的会标，其图 案正是由“弦图”演变而来.知1讲做一做 用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图 14. 1.5所示的图形.与上面的方法类似，根据这一图 形，也能证明勾股定理.请你试一试，写出完整的证明过程.图 14. 1.5知1讲1.命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b， 斜边长为c，那么a2b2c2.2.常用证法：通过拼图法利用求面积来证明；这种方法 以数形转换为指导思想、图形拼补为手段，以各部分 面积之间的关系为

11、依据达到目的知1讲3用拼图法证明命题1的思路：(1)图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面 积不会改变；(2)根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；(3)利用等式性质变换证明结论成立，即拼出图形写出 图形面积的表达式找出等量关系恒等变形推出 命题1的结论 图14.1-1是用硬纸板做成的四个两直角边长分别是a，b，斜边长为c的全等的直角三角形和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明命题1的图形(1)画出拼成的这个图形的示意图；(2)证明命题1.知1讲例1 图14.1-1知1讲可以以边长为c的正方形为基础，一在形外补拼(不重叠)成新的正方形；二在形内叠合成新的正方形导引： 知

12、1讲(1)解：如图14.1-2.(2)证明：因为大正方形的 面积可表示为(ab)2， 也可表示为c24 ab， 所以(ab)2c24 ab，即a2b2 2abc22ab， 所以a2b2c2，即命题1成立 方法一(补拼法)：图14.1-2知1讲(1)解：如图14.1-3.(2)证明：因为大正方形的 面积可以表示为c2，也可以表示为 ab4 (ba)2，所以c2 ab4(ba)2，即 c22abb22aba2，所以a2b2c2， 即命题1成立 方法二(叠合法)：图14.1-3 命题1的证明主要是通过拼图法利用面积的关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式进行；补拼时要无重叠，叠合时要无空隙；用

13、面积法验证命题1的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从而达到证明的目的知1讲知1练 用四个边长均为a、b、c的直角三角板，拼成如图所示的图形，则下列结论中正确的是()Ac2a2b2 Bc2a22abb2Cc2a22abb2 Dc24(ab)21 知1练 2历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形，其中两个全等直角三角形的两边AE，EB在一条直线上证明中用到的面积相等关系是()ASEDASCEBBSEDASCEBSCDECS四边形CDAES四边形CDEBDSEDASCDESCEBS四边形ABCD 知1练 勾股定理是几何中的一个重要定理，在我

14、国古算书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载图是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理图是由图放入长方形内得到的，BAC90，AB3，AC4，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为() A90 B100 C110 D1213 知2讲2知识点勾股定理的应用勾股定理是一个重要的数学定理，它将图形(直角三角形)与数量关系(三边关系)有机地结合起来在几何及日常生活中都有着广泛的应用勾股定理应用的前提条件是直角三角形，在应用时，对于非直角三角形的几何问题及实际生活问题都要将它们转化成直角三角形问题；常见应用主要有如下类型：(1)已

15、知直角三角形的两边求第三边；知2讲(2)已知直角三角形的一边确定另两边的关系；(3)证明含有平方关系的几何问题；(4)作长为n(n1，且n为整数)的线段；(5)一些非直角三角形的几何问题、日常生活中的 应用问题，对于这些问题，首先要将它们转化， 建立直角三角形模型，然后利用勾股定理构建方 程或方程组解决如图，Rt ABC的斜边AC比直角边 AB长2cm，另一直角边BC长为6 cm.求AC的长.知2讲例2 由已知AB=AC 2, BC =6cm，根据勾股定理，可得 AB2 + BC2 = (AC 2)2 +62 = AC2, 解得AC= 10(cm).解： 如图14. 1.7,为了求出位于湖两岸

16、的点A 、B之间的距离，一名观测者在点C设桩，使ABC恰好为 直角三角形.通过测量，得到AC的长为160米，BC的长为128米.问从点A穿过湖到点B有多远？知2讲例3 知2讲如图14. 1.7,在RtABC中， AC=160 米，BC = 128 米， 根据勾股定理，可得AB = = =96(米).答：从点A穿过湖到点有96米.解： 如图所示，一根旗杆在离地面5米处断裂，旗杆顶部落在离底部12米远处，则旗杆断裂前有多高？知2讲例4 因为旗杆与地面是垂直的，所以ACB90，即ABC是直角三角形根据勾股定理可得AB ，从而求出AB的长，再计算BCBA即为旗杆断裂前的高度导引： 知2讲在ABC中，A

17、CB90.BC5米，AC12米，根据勾股定理可得：AB 13(米)，BCBA51318(米)，即旗杆断裂前的高度为18米解： 本题运用建模思想解题，根据实际问题画出直角三角形，再运用勾股定理解答当图形不是直角三角形时，常常通过作垂线构造直角三角形知2讲如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC6 cm，BC8 cm，现将直角边AC沿AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，试求CD的长知2讲例5 利用折叠前后重合的线段相等、重合的角相等，通过勾股定理列方程，在RtBDE中求出线段DE的长，从而得到CD的长导引： 知2讲 在RtABC中，AC6 cm，BC8 cm，AB2AC2BC26282100，

18、AB10(cm)由折叠的性质，可知CDEA90，ACAE6 cm，故BE1064(cm)设CDx cm，则DEx cm，BD(8x) cm.在RtBDE中，由勾股定理，得x242(8x)2，解得x3.CD的长为3 cm.解： 关于折叠问题，要紧扣折叠前后的对应边相等、对应角相等；其解题步骤为：利用重合的图形传递数据(一般不用重合的图形进行计算)；选择直角三角形，这个直角三角形一般已知一边，另两边可通过重合图形找到数量关系，利用勾股定理列方程求解知2讲知2练 如图，一个长为2.5 m的梯子，一端放在离墙脚1.5 m处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙脚()A0.2 m B0.4 m C2 m D4

19、m1 知2练 将一根长为24 cm的筷子置于底面直径为15 cm，高为8 cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外的长度为h cm，则h的取值范围是()Ah17 Bh8C15h16 D7h162 知2练 如图所示，已知RtABC中，AB4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1S2的值等于()A2 B4 C8 D163 用拼图验证勾股定理的方法：首先通过拼图找出面积的相等关系，再由面积之间的相等关系结合图形进行代数变形即可推导出勾股定理 它一般都经过以下几个步骤：拼出图形写出图形面积的表达式找出相等关系恒等变形导出勾股定理第14章 勾股定理14.1 勾股定理第3课时

20、 直角三角形 的判定1课堂讲解勾股定理的逆定理勾股数2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升 古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打 上等距离的13个结，然后如图14. 1. 8那样用桩钉钉成 一个三角形，他们认为其中一个角便是直角. 你知道这是什么道理吗？知1导1知识点勾股定理的逆定理试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它 们是一些什么样的三角形：(1) a=3, b =4,c=5；(2) a = 4, b = 6, c = 8；(3) a = 6, b = 8,c = 10试一试知1讲勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形，且边

21、c所对的角为直角要点精析：(1)勾股定理的逆定理是判定直角三角形的方法，在没有确定直角三角形时，只能说三角形的边，不能说斜边或直角边；(2)如果三角形的三边长a、b、c满足a2b2c2，那么这个三角形同样是直角三角形，只是这时a为斜边长知1讲已知:如图 14. 1.9(1)，在ABC 中，AB= c, BC = a, AC = b, a2 + b2 = c2.求证：C90.例1 知1讲如图 14.1.9(2),作 ABC ， C 90, AC = b, BC = a,则 AB 2 = a2 +b2 = c2,即AB = c.在ABC和 ABC 中， BC = a = BC ， AC = b =

22、 AC ， AB = c =AB ， ABC ABC . C= C =90.证明：知1讲判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形：(1)在ABC中，A25，C65；(2)在ABC中，AC12，AB20，BC16；(3)一个三角形的三边长a、b、c满足b2a2c2.例2 判断一个三角形是否是直角三角形，如果条件与角相关，则考虑用定义判断；如果条件与边相关，则考虑用勾股定理的逆定理判断第(1)题可以直接根据直角三角形的定义判断；第(2)(3)题可以依据勾股定理的逆定理来判断导引： 知1讲(1)在ABC中，ABC180， B180256590， ABC是直角三角形(2)在ABC中，AC2BC2122

23、162202 AB2， ABC是直角三角形，且C为直角(3)三角形的三边长满足b2a2c2， 即b2a2c2， 此三角形是直角三角形，且b是斜边长解：警示：判断一个三角形的形状时，除考虑是直角三角形外，还要考虑是否为等腰三角形拓展：若最长边的平方比较短两边的平方和大，则三角形为钝角三角形；若最长边的平方比较短两边的平方和小，则三角形为锐角三角形知1讲判断一个三角形是不是直角三角形有两种方法：(1)利用定义，即如果已知条件与角度有关，可借助三角形的内角和定理判断；(2)利用勾股定理的逆定理，即若已知条件与边有关，一般通过计算得出三边的数量关系来判断，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方知1

24、讲知1讲下面给出几组数：7，8，9；12，9，15；m2n2，m2n2，2mn(m，n均为正整数，mn)；a2，a21，a22(a1)以它们为边长的三角形一定是直角三角形的是()A BC D例3 B知1讲看最长线段的平方是否等于其他两条线段的平方和显然728292，中92122152，中(m2n2)2(m2n2)2(2mn)2，当a23时，三数为3，4，5，满足(a2)2(a21)2(a22)2，但取其他值时不能满足，所以选B.导引： 判断三条线段能否组成直角三角形的方法：解此类题时，先确定每组中最大的数，再看最大数的平方是否等于较小的两个数的平方和；若相等，则以这三个数为边长的三角形是直角三

25、角形；否则，不是直角三角形知1讲易错题已知a、b、c为ABC的三边长，且满足a2c2b2c2a4b4，试判断ABC的形状知1讲例4 先将等式两边同时分解因式，然后通过对分解后的式子的讨论，得出ABC的形状导引： 知1讲a2c2b2c2a4b4，c2(a2b2)(a2b2)(a2b2)即(a2b2)(a2b2c2)0.(1)当a2b20时，则有c2a2b2. ABC是直角三角形(2)当a2b20，即ab时， 若a2b2c20，则ABC是等腰三角形 若a2b2c20，则ABC是等腰直角三角形 综上所述，ABC是直角三角形或等腰三角形或 等腰直角三角形解： 两个因式的积为0，有只有一个因式为0和两个

26、因式都为0两种情况；判断三角形形状时，不仅要考虑直角三角形，还要考虑等腰三角形本题易丢掉情况(2)，在化简过程中没有考虑到a2b20的情况就直接在等式两边除以一个可能为0的式子，从而导致了错误知1讲知1讲如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB4，CE BC，F为CD的中点，连结AF，AE，EF，问：AEF是什么三角形？请说明理由例5 知1讲直接判断EF2AF2与AE2的关系不太容易，但由于“AB4，CE BC，F为CD的中点”，因此可以很容易求出AF，EF，AE的长，然后判断EF2AF2与AE2的关系，从而得到三角形的形状导引： 知1讲四边形ABCD是正方形，CDABBC

27、4，BDC90.CE BC，F为CD的中点，CE1，CFDF2，BEBCCE3，EF AF AE 5.又( )2( )252，EF2AF2AE2，AEF是直角三角形解： 当要判断的三角形三边都未知时，首先要借助题目中给出的一些数量关系分别求出三角形三边的长，然后利用勾股定理的逆定理来判断知1讲利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤：(1)比较三边a、b、c的大小，找出最长边；(2)计算两短边的平方和，看它是否与最长边的平方 相等；若相等，则是直角三角形，且最长边所对 的角是直角；若不相等，则此三角形不是直角三 角形知1讲知1练 1已知ABC的三边长分别为5，12，13，则ABC的面积为()A

28、30 B60 C78 D无法确定 2在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且(ab)(ab)c2，则()AA为直角BB为直角CC为直角DABC不是直角三角形知1练 如图，每个小正方形的边长均为1，则ABC是()A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D等腰三角形3 知2讲2知识点勾股数勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数常见的勾股数有：3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25；9，40，41；.要点精析：(1)勾股数有无数组；(2)一组勾股数中各数的相同正整数倍数得到一组新 的勾股数如3，4，5是勾股数，则6，8，10和 9，12，15也是勾股数；即如果a，

29、b，c是一组勾股 数，那么na，nb，nc(n为正整数)也是一组勾股数判断勾股数的方法：(1)确定是否是三个正整数；(2)确定最大数；(3)计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的平方知2讲已知 ABC，AB= n2 - 1，BC= 2n，AC = n2+1 (n为大于1的正整数).试问 ABC是直角三角 形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由. 知2讲例6 知2讲AB2 + BC2 = (n2 1)2 + (2n)2 =n4 2n2 + 1 + 4n2 =n4 + 2n2 + 1 =(n2 + 1) 2 =AC 2ABC是直角三角形，边AC所对的角是直角.解： 想一想，为什么选择AB

30、2 + BC2 ？AB、BC、CA的大小关系是怎样的？观察下面的表格所给出的三个数a，b，c，其中abc.知2讲例7 3，4，53242525，1224，25722422529，40，4192402412a，b，ca2b2c2(1)试找出它们的共同点，并说明你的结论；(2)当a21时，求b，c的值知2讲 只要能够发现每组三个数之间的规律即可，这就需从不同的角度去观察、分析，运用从特殊到一般的思想来解答导引： (1)各组数的共同点是：各组数均满足a2b2c2；最小数a是奇数，其余的两个数b，c是连续 的正整数；最小数的平方等于另外两个连续正整数的 和解： 知2讲由以上特

31、点可猜想并说明这样一个结论：设x为大于1的奇数，将x2拆分为两个连续正整数之和，即x2y(y1)，则x，y，y1就能构成一组勾股数证明：x2y(y1)(x为大于1的奇数)，x2y2y(y1)y2y22y1(y1)2.x，y，y1是一组勾股数运用以上结论，当a21时，212441220221.b220，c221. (2) 寻找与大于或等于3的奇数组成勾股数的一种方法：先选一个大于1的奇数，然后把这个数的平方写成两个连续正整数的和，则这个奇数和分成的两个连续正整数就构成了一组勾股数，如4522 0251 0121 013，则45，1 012，1 013就是一组勾股数，运用此法可以得到无数组勾股数知

32、2讲下面四组数中是勾股数的一组是()A6，7，8 B5，8，13C1.5，2，2.5 D21，28，35知2讲例8 根据勾股数的定义：满足a2b2c2的三个正整数a，b，c称为勾股数A.627282，不能构成勾股数，故错误；B.5282132，不能构成勾股数，故错误；C.1.5和2.5不是整数，所以不能构成勾股数，故错误；D.212282352，能构成勾股数，故正确故选D.导引： D 确定勾股数的方法：首先看这三个数是否是正整数；然后看较小两个数的平方和是否等于最大数的平方记住常见的勾股数(3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25；)可以提高解题速度知2讲知2练 下列各组数中

33、，不是勾股数的是()A5，12，13 B7，24，25C8，12，15 D3k，4k，5k(k为正整数)1 知2练 下面几组数中，为勾股数的一组是()A4，5，6 B12，16，20C10，24，26 D2.4，4.5，5.12 知2练 给出下列命题：如果a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是一组勾 股数；如果直角三角形的两边长分别是3和4，那么另一边长的 平方必为25；如果一个三角形的三边长分别是12，25，21，那么此三 角形必是直角三角形；一个等腰直角三角形的三边长分别是a，b，c，其中a是 斜边长，那么a2b2c2211.其中正确的是()A B C D3 勾股定理及其逆定理的

34、综合应用：单一应用：先由勾股定理的逆定理得出直角三角形，再求这个直角三角形的角和面积；综合应用：先由勾股定理求出三角形的边长，再由勾股定理的逆定理确定三角形的形状，进而解决其他问题；逆向应用：如果一个三角形两条较小边长的平方和不等于最大边长的平方，那么这个三角形不是直角三角形 第14章 勾股定理14.1 勾股定理第4课时 反证法1课堂讲解反证法反证法的假设2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升 我们已经知道，当一个三角形的三边长a、b、c (a b c)有关系a2 + b 2 = c 2时，这个三角形一定是直 角三角形.那么，如果此时a2 + b 2 c 2,这个三角形是否 一定不是直角三角形呢

35、？知1导1知识点反证法做一做 画出以如下各组数为边长的三角形，算算较短的两边长的平方和是 否等于最长边的平方，再观察它们的图形，你发现了什么？(1)a = 1.0, b =2. 4,c =2.6；(2)a=2, b =3,c=4；(3) a = 2, b =2. 5,c =3.知1讲 反证法的定义：反证法是一种论证方式，首先假设命题的结论不成立，然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证反证法证明命题的一般步骤：反设归谬结论，即：(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出与公理、定 理、定义或已知条件相矛盾；(3)由矛盾断定所作假设不正确，从而得出

36、原命题成立知1讲知1讲 反证法是数学证明的一种重要方法，历史上许多著名的命题都是用反证法证明的.一个命题，当正面证明有困难或者不可能 时，就可以尝试运用反证法，有时该问题竟能轻易地被解决，此即所谓“正难则反”.因此，牛顿就说过：“反证法是数学家最精良的 武器之一.”用反证法不是直接证明结论，而是间接地去否定与结论相反的一面，从而得出事物真实的一面.反证法是一种间接的 证明方法.读一读知1讲 现在再回到勾股定理:直角三角形两直角边的平方 和等于斜边的平方.即“在ABC中，如果AB=c,BC=a, CA=b,且C = 90，那么a2 +b2=c2”是一个真命题. 对于一般的非直角三角形，情况又会如

37、何呢？ 即“在 ABC中，如果AB=c,BC=a, CA=b,且C 90 ， 那么a2 +b2 c2”是真命题吗？ 我们同样可以用反证法证明它是一个真命题.思考：求证:两条直线相交只有一个交点.已知:两条相交直线l1与l2.求证: l1与l2只有一个交点.想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出 发，经过推理，得出结论“ l1与l2只有一个交点”是很困 难的，因此可以考虑用反证法.知1讲例1 分析： 知1讲证明： 假设两条相交直线 l1与l2不止一个交点， 不妨假设 l1与l2有两个交点A和B.这样过点A和点B就有两条直线l1和l2.这与两点 确定一条直线，即经过点A和点B的直线只有一条的基

38、本事实矛盾.所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点.知1讲 证明： 求证:在一个三角形中，至少有一个内角小 于或等于60.已知：ABC.求证： ABC中至少有一个内角小于或等于60.假设ABC中没有一个内角小于或等于 60，即A 60， B 60， C 60. 于是A + B + C 60 + 60 + 60 = 180,这与“三角形的内角和等于180”这个定理矛盾.所以ABC中至少有一个内角小于或等于60.例2 知1讲 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角正确写出与原命题结论相反的结论是用反证法进行证明的关键已知：A、B、C是ABC的三个内角求证：A、B、C中不能有两个角是直角

39、证明：假设A、B、C中有两个角是直角不妨设BC90.ABCA9090A180180.这与“三角形的内角和是180”相矛盾假设不成立，即一个三角形中不能有两个角是直角例3 导引： 解： 当一个命题出现下列几种情况：结论以否定形式出现的命题；唯一性命题；存在性命题；命题的结论以“至多”、“至少”等形式叙述的命题都适用反证法进行证明知1讲知1讲 已知m为正整数，m2为偶数，用反证法证明m为偶数先假设m为奇数，然后进行推理论证，推出与已知条件“m2为偶数”相矛盾的结论，从而说明原结论成立假设m为奇数，不妨设m2n1(n为自然数)，则m2(2n1)24n24n1.4n2，4n均为偶数，4n24n为偶数而

40、1为奇数，4n24n1为奇数，那么m2为奇数这与已知条件“m2为偶数”相矛盾，假设不成立，m为偶数例4 导引： 证明： 当结论的反面只有一种情况时，我们运用反证法，只要将这种情况推翻就可以达到证明的目的；但当结论的反面不止一种情况时，要一一驳倒，最后才能肯定原结论正确知1讲知1练 求证:在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等.1 假设命题结论的 成立，经过正确的_，引出_，因此说明假设不成立，从而证明 成立，这样的证明方法叫_；其思维方法是_2知1练 3反证法的一般步骤：(1)假设命题的_不成立；(2)从提出的假设出发，结合已知条件，根据已学过 的定义、定理、基本事实推出与

41、已知条件或已学 过的定义、定理、基本事实等相_的结果；(3)由_判定假设不成立，从而肯定原命题的 结论正确 知2讲2知识点反证法的假设易错警示：(1)若结论的反面只有一种情况，则反设单一，只需驳倒这种情况，即可达到反证的目的；(2)若结论的反面不止一种情况，那么要各种情况一一驳倒，才能肯定原命题正确 知2讲运用反证法证明命题时，常见的结论词的否定形式有：结论词是都是大(小)于能相等至少有一个至少有n个至多有一个负数否定形式不是不都是不大(小)于不能不相等一个也没有至多有(n1)个至少有两个非负数 用反证法证明：等腰三角形的底角一定是锐角知2讲例5 (1)当题目中出现“一定”“不可能”“不是”“

42、至少”“至多”等肯定或否定的表述时，若直接证明较困难，可考虑用反证法，而对于文字的表述题，可先转化为数学语言表述，再用反证法证明；(2)分析例题结论反面时，要做到不重复、不遗漏，如本例中的“一定是锐角”的反面就是“不是锐角”，而“不是锐角”有两层意思：是直角、是钝角，因此可分为两类：直角、钝角导引： 知2讲已知：在ABC中 ，ABAC，求证：B，C一定是锐角证明：假设B，C不是锐角，则B，C是直角或钝角(1)若B，C是直角，即BC90， 故ABC180，这与三角形的内角和定理矛盾 所以B，C不是直角(2)若B，C是钝角，即BC90， 故ABC180，这与三角形的内角和定理矛盾 所以B，C不是钝

43、角 综上所述，B，C不是直角，也不是钝角，即B，C是 锐角 所以等腰三角形的底角一定是锐角解： 反证法的第一步假设，假设时要特别注意命题的反面成立，当反面不止一种情形时，应把所有可能情形都列出来，然后再分类证明列举出来的各种情形均不成立，从而肯定原命题成立知2讲知2练 用反证法证明命题：“如图，如果ABCD，ABEF，那么CDEF”，证明的第一步是()A假设CDEFB已知ABEFC假设CD不平行于EFD假设AB不平行于EF1 知2练 用反证法证明命题：在一个三角形中，至少有一个内角不大于60，证明的第一步是()A假设三个内角都不大于60B假设三个内角都大于60C假设三个内角至多有一个大于60D

44、假设三个内角至多有两个大于602 用反证法证明时要明确“两点”：(1)用反证法证明时，否定的是命题的结论，而不是否 定已知条件(2)适合用反证法证明的命题类型：结论以否定形式出现的命题，如钝角三角形中不能 有两个钝角；唯一性命题，如两条直线相交只有一个交点；结论以“至多”、“至少”等形式叙述的命题，如 一个凸多边形中至多有3个锐角第14章 勾股定理第2节 勾股定理的应用1课堂讲解圆柱体表面上两点间的最短距离 正方体或长方体表面上两点间的最短距离 勾股定理的其他应用2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升 勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此在现 实生活和数学中有着广泛的应用.知1讲1知识点圆柱

45、体表面上两点间的最短距离(1)在平面上寻找两点之间的最短路线的依据：两点之间线段 最短；直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短(2)在立体图形中，由于受到物体和空间的阻隔，两点间的最短 路线长不一定是两点间的线段长(3)确定立体图形上的最短路线，需要先将立体图形展开成平面 图形，再构造直角三角形进行计算，最后通过比较得出最短 路线 如图14. 2.1，一圆柱体的底面周长为20 cm, 高AB为4 cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短 路程.（精确到0.01 cm)知1讲 例1 图14. 2.1知1讲 蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，

46、如 果将这半个侧面展开（如图14. 2. 2)，得到长方形ABCD， 根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是这一 展开图长方形ABCD的对角线AC之长.分析： 图14. 2. 2 知1讲 如图14.2.2,在RtABC中，BC=底面周长 的一半=10 cm.由勾股定理，可得AC = = = 10.77(cm).答：爬行的最短路程约为10. 77 cm.解： 如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁爬到蜂蜜处的最短路线长为_cm(杯子厚度忽略不计)知1讲 例

47、2 将圆柱侧面适当展开成平面图形，再结合轴对称的知识求解导引： 15知1练 如图，在圆柱的轴截面ABCD中，AB ，BC12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路程为()A10 B12 C20 D141 知1练 如图，有一圆柱，其高为8 cm，它的底面周长为16 cm，在圆柱外侧距离下底面1 cm的A处有一蚂蚁，它想得到距上底面1 cm的B处的食物，则蚂蚁经过的最短路程为_2 知2讲2知识点正方体或长方体表面上两点间的最短距离求长方体(或正方体)表面上两点间的最短路线长的方法： 先将长方体(或正方体)的表面展开成平面图形，展开时一般要考虑各种可能的情况在各种可能的情况中，

48、分别确定两点的位置并连结成线段，再利用勾股定理分别求其长度，最后进行比较，长度最短的路线为最短路线知2讲 探究题如图，长方体的高为3厘米，底面是正方形，其边长为2厘米现有一只蚂蚁从A处出发，沿长方体表面到达C处，则蚂蚁爬行的最短路线的长为()A4厘米B5厘米C6厘米D7厘米 例3 B考虑将长方体表面展开成平面图形的各种情况，分析后可知，将该长方体的右侧面翻折至前侧面，如图，连结AC，此时线段AC的长度即为最短路线的长度因为AC2(22)23225，所以AC5(厘米)知2讲 导引： 解决有关立体图形中路线最短的问题，其关键是把立体图形中的路线问题转化为平面上的路线问题如圆柱侧面展开图为长方形，圆

49、锥侧面展开图为扇形，长方体侧面展开图为长方形等运用平面上两点间线段最短的道理，利用勾股定理求解知2讲 知2练 如图，正方体的棱长为1，一只蚂蚁从正方体的一个顶点A爬行到另一个顶点B，则蚂蚁爬行的最短路程的平方是()A2 B3 C4 D51 知2练 如图(单位：m)，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 m，3 m，2 m，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是_2知3讲3知识点勾股定理的其他应用1.在一些求高度、宽度、长度、距离等量的问题中， 首先要结合题意画出符合要求的直角三角形，也就 是把实际问题转化为数学问题，进而把要求的量看 成直角三角形的一条边，然后利用勾股定理进行求 解2在日常生活中，判断一个角是否为直角时，除了 用三角板、量角器等测量角度的工具外，还可以 通过测量长度，结合勾股定理的逆定理来判断一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽 1. 6米，要开进厂门形状如图14. 2.3所示的某工厂，问这辆 卡车能否通过该工厂的厂门(厂门上方为半圆形拱门)？知3讲 例4 由于车宽1.6米，所以卡车能否通过，只要 比较距厂门中线0. 8米处的高度与车高即可.如图 14. 2. 3所示，点D在离厂门中线0. 8米处，且CDAB， 与