直线与方程知识点归纳

1、第三章 直线与方程3.1直线的倾斜角和斜率3.1倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定= 0.2、 倾斜角的取值范围：0180. 当直线l与x轴垂直时, = 90.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角(90)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tan当直线l与x轴平行或重合时, =0, k = tan0=0;当直线l与x轴垂直时, = 90, k 不存在.由此可知, 一条直线l的倾斜角一定存在,但是斜率k不一定存在.4、 直线的斜

2、率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 3.1.2两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即（充要条件）注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立即如果k1=k2, 那么一定有l1l22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即（充要条件）3.2.1 直线的点斜式方程1、 直线的点斜式

3、方程：直线经过点，且斜率为 2、直线的斜截式方程：已知直线的斜率为，且与轴的交点为 3.2.2 直线的两点式方程1、直线的两点式方程：已知两点其中 y-y1/y-y2=x-x1/x-x22、直线的截距式方程：已知直线与轴的交点为A，与轴的交点为B，其中3.2.3 直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于的二元一次方程（A，B不同时为0）2、各种直线方程之间的互化。3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两直线的交点坐标1、给出例题：两直线交点坐标L1 ：3x+4y-2=0 L2：2x+y +2=0 解：解方程组 得 x=-2，y=2所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2）两点间距离两点间的距

4、离公式点到直线的距离公式1点到直线距离公式：点到直线的距离为：2、两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线和的一般式方程为：，则与的距离为基础练习一 选择题1经过点(3,2)，倾斜角为60的直线方程是()Ay2eq r(3)(x3) By2eq f(r(3),3)(x3)Cy2eq r(3)(x3) Dy2eq f(r(3),3)(x3)答案：C2如下图所示，方程yaxeq f(1,a)表示的直线可能是()答案：B3已知直线l1：ykxb，l2：ybxk，则它们的图象可能为()答案：C4经过原点，且倾斜角是直线yeq f(r(2),2)x1倾斜角2倍的直线是()Ax0 By0Cyeq r(2)

5、x Dy2eq r(2)x答案：D5欲使直线(m2)xy30与直线(3m2)xy10平行，则实数m的值是()A1 B2C3 D不存在解析：把直线化为斜截式，得出斜率，通过直线平行的条件计算答案：B6直线yk(x2)3必过定点，该定点为()A(3,2) B(2,3)C(2，3) D (2,3)解析：直线方程改写为y3k(x2)，则过定点(2,3)答案：B7若直线(m2)x(m22m3)y2m在x轴上的截距是3，则m的值是()A.eq f(2,5) B6 C eq f(2,5) D6解析：令y0，得(m2)x2m，将x3代入得m6，故选D.答案：D8过P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线方程是

6、()A.eq f(x,3)eq f(y,2)1 B.eq f(x,2)eq f(y,3)1C.eq f(x,3)eq f(y,2)1 D.eq f(x,2)eq f(y,3)1答案：B9直线eq f(x,a2)eq f(y,b2)1在y轴上的截距为()A|b| Bb Cb2 Db2答案：D10下列四个命题中是真命题的是()A经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程yy0k(xx0)表示B经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示C不经过原点的直线都可以用方程eq f(x,a)eq f(y,b)1表示D经过定点

7、A(0，b)的直线都可以用方程ykxb表示答案：B11直线axby1(a， b0)与两坐标轴围成的三角形的面积是()A.eq f(1,2)ab B. eq f(1,2)|ab| C.eq f(1,2ab) D.eq f(1,2|ab|)解析：直线axby1可化为eq f(x,f(1,a)eq f(y,f(1,b)1，故其围成的三角形的面积为Seq f(1,2) eq f(1,|a|) eq f(1,|b|)eq f(1,2|ab|).答案：D12过点(1,3)且垂直于直线x2y30的直线方程为()A2xy10 B2xy50Cx2y50 Dx2y70答案：A13直线l1：xay60与l2：(a2

8、)x3y2a0平行，则a的值等于()A1或3 B1或3 C3 D1解析：由题意，两直线斜率存在，由l1l2知eq f(1,a2)eq f(a,3)eq f(6,2a)，a1答案：D14直线3x2y40的截距式方程是()A.eq f(3x,4)eq f(y,4)1 B.eq f(x,f(1,3)eq f(y,f(1,2)4C.eq f(3x,4)eq f(y,2)1 D.eq f(x,f(4,3)eq f(y,2)1答案：D15已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是()A4x2y5 B4x2y5Cx2y5 Dx2y5解析：kABeq f(12,31)eq f(1,2)，

9、由kkAB1得k2.由中点坐标公式得xeq f(13,2)2，yeq f(21,2)eq f(3,2)，中点坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(2，f(3,2).由点斜式方程得yeq f(3,2)2(x2)，即4x2y5.答案：B16直线(a2)x(1a)y30与(a1)x(2a3)y20互相垂直，则a()A1 B1 C1 Deq f(3,2)解析：由(a2)(a1)(1a)(2a3)0化简得1a20，a1.答案：C17直线l的方程为AxByC0，若直线l过原点和二、四象限，则()AC0，B0 BA0，B0，C0CAB0，C0答案：D18直线的截距式方程eq f(x,a)eq f(

10、y,b)1化为斜截式方程为y2xb，化为一般式方程为bxay80.求a，b的值（ ）解析：由eq f(x,a)eq f(y,b)1，化得yeq f(b,a)xb2xb，又可化得：bxayabbxay80，则eq f(b,a)2，且ab8.解得a2，b4或a2，b4.19直线x2y20与直线2xy30的交点坐标为()A(4,1) B(1,4)C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，f(1,3) D.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，f(4,3)答案：C20已知两直线a1xb1y10和a2xb2y10的交点是P(2,3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(

11、a2，b2)的直线方程是()A3x2y0 B2x3y50C2x3y10 D3x2y10答案：C21两直线3axy20和(2a1)x5ay10分别过定点A，B，则|AB|等于()A.eq f(r(89),5) B.eq f(17,5) C.eq f(13,5) D.eq f(11,5)解析：易知A(0，2)，Beq blc(rc)(avs4alco1(1，f(2,5)，|AB|eq f(13,5).答案：C22设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，1)，则|AB|等于()A5 B4eq r(2) C2eq r(5) D2eq r(10)解析：设A(x,0)，B(0，y)，由中点公式得

12、x4，y2，则由两点间的距离公式得|AB|eq r(042202)eq r(20)2eq r(5).答案：C23已知M(1,0)，N(1,0)，点P在直线2xy10上移动，则|PM|2|PN|2的最小值为_答案：2.424已知点(3，m)到直线xeq r(3)y40的距离等于1，则m等于()A.eq r(3) Beq r(3) Ceq f(r(3),3) D.eq r(3)或eq f(r(3),3)解析：eq f(|3r(3)m4|,2)1，解得meq r(3)或eq f(r(3),3).答案：D25两平行线ykxb1与ykxb2之间的距离是()Ab1b2 B.eq f(|b1b2|,r(1k

13、2)C|b1b2| Db2b1解析：两直线方程可化为kxyb10，kxyb20.deq f(|b1b2|,r(1k2).答案：B26过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是()Ax2y50 B2xy40Cx3y70 D3xy50解析：所求为过A(1,2)，且垂直OA的直线，keq f(1,2)，y2eq f(1,2)(x1)，即x2y50.答案：A27点P(mn，m)到直线eq f(x,m)eq f(y,n)1的距离等于()A.eq r(m2n2) B.eq r(m2n2)C.eq r(n2m2) D.eq r(m2n2)解析：直线方程可化为nxmymn0，故deq f(|mnnm2mn|,

14、r(m2n2)eq f(|mnn2m2mn|,r(m2n2)eq r(m2n2).答案：A28已知直线3x2y30和6xmy10互相平行，则它们之间的距离是()A4 B.eq f(2r(13),13) C.eq f(5,26)eq r(13) D.eq f(7,26)eq r(13)解析：由题意m4，则deq f(|61|,r(3616)eq f(7,r(52)eq f(7,2r(13)eq f(7r(13),26).答案：D29垂直于直线xeq r(3)y10且到原点的距离等于5的直线方程是_解析：由题意，可设所求直线方程为eq r(3)xyc0，则eq f(|c|,2)5.|c|10，即c

15、10.答案：eq r(3)xy100或eq r(3)xy10030点P(x，y)在直线xy40上，则x2y2的最小值是()A8 B2eq r(2) C.eq r(2) D16答案：A31到直线3x4y10的距离为2的直线方程为()A3x4y110B3x4x90C3x4y110或3x4y90D3x4y110或3x4y90答案：C强化练习一 选择题1直线y2x3的斜率和在y轴上的截距分别是()A2,3 B3，2C2，2 D3,3答案A2过点(1,3)且斜率不存在的直线方程为()Ax1 Bx3Cy1 Dy3答案A3方程yy0k(xx0)()A可以表示任何直线B不能表示过原点的直线C不能表示与y轴垂直

16、的直线D不能表示与x轴垂直的直线答案D解析直线的点斜式方程不能表示没有斜率的直线，即不能表示与x轴垂直的直线4已知两条直线yax2和y(2a)x1互相平行，则a等于()A2 B1C0 D1答案B解析根据两条直线的方程可以看出它们的斜率分别是k1a，k22a.两直线平行，则有k1k2.所以a2a，解得a1.5方程yaxeq f(1,a)表示的直线可能是()答案B解析直线yaxeq f(1,a)的斜率是a，在y轴上的截距是eq f(1,a).当a0时，斜率a0，在y轴上的截距是eq f(1,a)0，则直线yaxeq f(1,a)过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a0时，斜率a0，在y轴上的截

17、距是eq f(1,a)0，b0 Ba0，b0Ca0 Da0，b0，b0，b0，判知l2的图像符合，在C选项中，由l1知a0，b0，排除C；在D选项中，由l1知a0，b0，排除D.所以应选B.24直线l的方程为AxByC0，若l过原点和二、四象限，则()A.eq blcrc (avs4alco1(C0,B0) B.eq blcrc (avs4alco1(C0,B0,A0)C.eq blcrc (avs4alco1(C0,AB0) D.eq blcrc (avs4alco1(C0,AB0)答案D解析l过原点，C0，又l过二、四象限，l的斜率eq f(A,B)0.25直线eq r(3)xy0与xy0

18、的位置关系是()A相交 B平行C重合 D垂直答案A解析A1B2A2B1eq r(3)11(1)eq r(3)10，又A1A2B1B2eq r(3)1(1)1eq r(3)10，则这两条直线相交，但不垂直26直线2x3y80和直线xy10的交点坐标是()A(2，1) B(1，2)C(1,2) D(2,1)答案B解析解方程组eq blcrc (avs4alco1(2x3y80，,xy10，)得eq blcrc (avs4alco1(x1，,y2，)即交点坐标是(1，2)27直线ax3y50经过点(2,1)，则a的值等于()A2 B1C0 D1答案B解析由题意得2a350，解得a1.28若三条直线2

19、x3y80，xy1，和xky0相交于一点，则k的值等于()A2 Beq f(1,2)C2 D.eq f(1,2)答案B解析由eq blcrc (avs4alco1(xy1,2x3y80)得交点(1，2)，代入xky0得keq f(1,2)，故选B.29直线kxy13k，当k变动时，所有直线都通过定点()A(0,0) B(0,1)C(3,1) D(2,1)答案C解析方程可化为y1k(x3)，即直线都通过定点(3,1)30已知点M(0，1)，点N在直线xy10上，若直线MN垂直于直线x2y30，则N点的坐标是()A(2，3) B(2,1)C(2,3) D(2，1)答案C解析将A、B、C、D四个选项

20、代入xy10否定A、B，又MN与x2y30垂直，否定D，故选C.31过两直线3xy10与x2y70的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是()Ax3y70 Bx3y130C2xy70 D3xy50答案B解析由eq blcrc (avs4alco1(3xy10，,x2y70，)得交点(1,4)所求直线与3xy10垂直，所求直线斜率keq f(1,3)，y4eq f(1,3)(x1)，即x3y130.32已知直线mx4y20与2x5yn0互相垂直，垂足为(1，p)，则mnp为()A24 B20C0 D4答案B解析两直线互相垂直，k1k21，eq f(m,4)eq f(2,5)1，m10.又垂足为(

21、1，p)，代入直线10 x4y20得p2，将(1，2)代入直线2x5yn0得n12，mnp20.33已知点A(a,0)，B(b,0)，则A，B两点间的距离为()Aab BbaC.eq r(a2b2) D|ab|答案D解析代入两点间距离公式34一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，则它的另一个端点B的坐标是()A(3,1)或(7,1) B(2，3)或(2,7)C(3,1)或(5,1) D(2，3)或(2,5)答案A解析ABx轴，设B(a,1)，又|AB|5，a3或7.35已知A(5,2a1)，B(a1，a4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是()Aeq f(7,2) B

22、eq f(1,2)C.eq f(1,2) D.eq f(7,2)答案C解析|AB|eq r(a4)2(a3)2)eq r(2a22a25)eq r(2(af(1,2)2f(49,2)，当aeq f(1,2)时，|AB|取最小值36设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，1)，则|AB|等于()A5 B4eq r(2)C2eq r(5) D2eq r(10)答案C解析设A(x,0)、B(0，y)，由中点公式得x4，y2，则由两点间的距离公式得|AB|eq r(04)2(20)2)eq r(20)2eq r(5).37ABC三个顶点的坐标分别为A(4，4)、B(2,2)、C(4，2)，则

23、三角形AB边上的中线长为()A.eq r(26) B.eq r(65)C.eq r(29) D.eq r(13)答案A解析AB的中点D的坐标为D(1，1)|CD|eq r(14)2(1(2)2)eq r(26)；故选A.38已知三点A(3,2)，B(0,5)，C(4,6)，则ABC的形状是()A直角三角形 B等边三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形答案C解析|AB|eq r(30)2(25)2)3eq r(2)，|BC|eq r(04)2(56)2)eq r(17)，|AC|eq r(34)2(26)2)eq r(17)，|AC|BC|AB|，且|AB|2|AC|2|BC|2.ABC是等腰三角

24、形，不是直角三角形，也不是等边三角形39两直线3axy20和(2a1)x5ay10分别过定点A、B，则|AB|等于()A.eq f(r(89),5) B.eq f(17,5)C.eq f(13,5) D.eq f(11,5)答案C解析易得A(0，2)，B(1，eq f(2,5)40在直线2x3y50上求点P，使P点到A(2,3)距离为eq r(13)，则P点坐标是()A(5,5) B(1,1)C(5,5)或(1,1) D(5,5)或(1，1)答案C解析设点P(x，y)，则yeq f(2x5,3)，由|PA|eq r(13)得(x2)2(eq f(2x5,3)3)213，即(x2)29，解得x1

25、或x5，当x1时，y1，当x5时，y5，P(1,1)或(5,5)41点(0,5)到直线y2x的距离是()A.eq f(5,2) B.eq r(5)C.eq f(3,2) D.eq f(r(5),2)答案B解析由y2x得：2xy0，由点到直线的距离公式得：deq f(5,r(5)eq r(5)，故选B.42已知直线3x2y30和6xmy10互相平行，则它们之间的距离是()A4 B.eq f(2r(13),13)C.eq f(5r(13),26) D.eq f(7r(13),26)答案D解析两直线平行，eq f(6,3)eq f(m,2)，m4，两平行直线6x4y60和6x4y10的距离deq f

26、(|16|,r(6242)eq f(7r(13),26).43已知点A(3,4)，B(6，m)到直线3x4y70的距离相等，则实数m等于()A.eq f(7,4) Beq f(29,4)C1 D.eq f(7,4)或eq f(29,4)答案D解析由题意得eq f(|9167|,5)eq f(|184m7|,5)，解得meq f(7,4)或meq f(29,4).44点P为x轴上一点，点P到直线3x4y60的距离为6，则点P的坐标为()A(8,0) B(12,0)C(8,0)或(12,0) D(0,0)答案C解析设P(a,0)，则eq f(|3a6|,r(3242)6，解得a8或a12，点P的坐

27、标为(8,0)或(12,0)45过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程为()Ax2y50 B2xy40Cx3y70 D3xy50答案A解析由已知得，所求直线过(1,2)且垂直于(0,0)与(1,2)两点的连线，所求直线的斜率keq f(1,2)，y2eq f(1,2)(x1)，即x2y50.46已知直线l过点(3,4)且与点A(2,2)，B(4，2)等距离，则直线l的方程为()A2x3y180B2xy20C3x2y180或x2y20D2x3y180或2xy20答案D解析设所求直线方程为y4k(x3)，即kxy43k0.由已知有eq f(|2k243k|,r(k21)eq f(|4k243k|

28、,r(k21)，所以k2或keq f(2,3)，所以直线方程为2xy20或2x3y180.47P，Q分别为3x4y120与6x8y60上任一点，则|PQ|的最小值为()A.eq f(9,5) B.eq f(18,5)C3 D6答案C解析|PQ|的最小值是这两条平行线间的距离在直线3x4y120上取点(4,0)，然后利用点到直线的距离公式得|PQ|的最小值为3.48点P(x，y)在直线xy40上，则x2y2的最小值是()A8 B2eq r(2)C.eq r(2) D16答案A解析x2y2表示直线上的点P(x，y)到原点距离的平方，原点到直线xy40的距离为eq f(|4|,r(2)2eq r(2

29、)，x2y2最小值为8.故选A.二 填空题1过点(1,3)，且斜率为2的直线的斜截式方程为_答案y2x1解析点斜式为y32(x1)，化为斜截式为y2x1.2已知直线l1过点P(2,1)且与直线l2：yx1垂直，则l1的点斜式方程为_答案y1(x2)解析设l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，l1l2，k1k21.又k21，k11.l1的点斜式方程为y1(x2)3已知点(1，4)和(1,0)是直线ykxb上的两点，则k_，b_.答案22解析由题意，得eq blcrc (avs4alco1(4kb，,0kb，)解得k2，b2.4ABC的顶点A(5，1)，B(1,1)，C(2，m)，若ABC为直角三角

30、形，则直线BC的方程为_答案8xy90或2xy10或yx或3xy40解析若A为直角，则ACAB，kACkAB1，即eq f(m1,25)eq f(11,15)1，得m7；此时BC：8xy90.若B为直角，则ABBC，kABkBC1，即eq f(1,2)eq f(m1,21)1，得m3；此时直线BC方程为2xy10.若C为直角，则ACBC，kACkBC1，即eq f(m1,3)eq f(m1,21)1，得m2.此时直线BC方程为yx或3xy40.5直线eq f(x,4)eq f(y,5)1在两坐标轴上的截距之和为_答案1解析直线eq f(x,4)eq f(y,5)1在x轴上截距为4，在y轴上截距

31、为5，因此在两坐标轴上截距之和为1.6过点(0,1)和(2,4)的直线的两点式方程是_答案eq f(y1,41)eq f(x0,20)(或eq f(y4,14)eq f(x2,02)7过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是_答案3x2y60解析设直线方程为eq f(x,a)eq f(y,b)1，则eq blcrc (avs4alco1(b3，,ab5，)解得a2，b3，则直线方程为eq f(x,2)eq f(y,3)1，即3x2y60.8直线l过点P(1,2)，分别与x，y轴交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则直线l的方程为_答案2xy40解析设A(x,0)，B(0，y)

32、由P(1,2)为AB的中点，eq blcrc (avs4alco1(f(x0,2)1，,f(0y,2)2，)eq blcrc (avs4alco1(x2，,y4)由截距式得l的方程为eq f(x,2)eq f(y,4)1，即2xy40.9经过点A(4,7)，且倾斜角为45的直线的一般式方程为_答案xy110解析直线的斜率ktan451，则直线的方程可写为y7x4，即xy110.10如下图所示，直线l的一般式方程为_答案2xy20解析由图知，直线l在x轴，y轴上的截距分别为1，2，则直线l的截距式方程为eq f(x,1)eq f(y,2)1，即2xy20.11若直线(a2)x(a22a3)y2a

33、0在x轴上的截距为3，则实数a的值为_答案6解析把x3，y0代入方程(a2)x(a22a3)y2a0中得3(a2)2a0，a6.12已知直线的斜率为eq f(1,6)，且和坐标轴围成面积为3的三角形，该直线的方程为_答案x6y60或x6y60解析设直线的方程为eq f(x,a)eq f(y,b)1，直线的斜率keq f(1,6)，eq f(b,a)eq f(1,6)，又eq f(1,2)|ab|3，eq blcrc (avs4alco1(a6，,b1)或eq blcrc (avs4alco1(a6，,b1.)所求直线方程为：x6y60或x6y60.13过原点和直线l1：x3y40与l2：2xy

34、50的交点的直线的方程为_答案3x19y0解析由eq blcrc (avs4alco1(x3y40，,2xy50，)得交点坐标(eq f(19,7)，eq f(3,7)，所求方程为yeq f(3,19)x，即3x19y0.14在ABC中，高线AD与BE的方程分别是x5y30和xy10，AB边所在直线的方程是x3y10，则ABC的顶点坐标分别是A_；B_；C_.答案(2,1)(1,0)(2,5)解析高线AD与边AB的交点即为顶点A，高线BE与边AB的交点即为顶点B，顶点C通过垂直关系进行求解15两条直线xmy120,2x3ym0的交点在y轴上，则m的值是_答案6解析设交点坐标为(0，b)，则有e

35、q blcrc (avs4alco1(mb120，,3bm0，)解得m6.16已知直线l1：a1xb1y1和直线l2：a2xb2y1相交于点P(2,3)，则经过点P1(a1，b1)和P2(a2，b2)的直线方程是_答案2x3y1解析由题意得P(2,3)在直线l1和l2上，所以有eq blcrc (avs4alco1(2a13b11，,2a23b21，)则点P1(a1，b1)和P2(a2，b2)的坐标是方程2x3y1的解，所以经过点P1(a1，b1)和P2(a2，b2)的直线方程是2x3y1.17已知点M(m，1)，N(5，m)，且|MN|2eq r(5)，则实数m_.答案1或3解析由题意得eq

36、 r(m5)2(1m)2)2eq r(5)，解得m1或m3.18已知A(1，1)，B(a,3)，C(4,5)，且|AB|BC|，则a_.答案eq f(1,2)解析eq r(a1)2(31)2)eq r(4a)2(53)2)，解得aeq f(1,2).19已知点A(4,12)，在x轴上的点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为_答案(9,0)或(1,0)解析设P(a,0)，则eq r(a4)2122)13，解得a9或a1，点P的坐标为(9,0)或(1,0)20已知ABC的顶点坐标为A(7,8)、B(10,4)、C(2，4)，则BC边上的中线AM的长为_答案eq r(65)21已知点A(0,4)，

37、B(2,5)，C(2,1)，则BC边上的高等于_答案eq f(r(2),2)解析直线BC：xy30，则点A到直线BC的距离deq f(|043|,r(2)eq f(r(2),2)，即BC边上的高等于eq f(r(2),2).22过点A(3,1)的所有直线中，与原点距离最远的直线方程是_答案3xy100解析当原点与点A的连线与过点A的直线垂直时，距离最大kOAeq f(1,3)，所求直线的方程为y13(x3)，即3xy100.23直线l1：2x4y10与直线l2：2x4y30平行，点P是平面直角坐标系内任一点，P到直线l1和l2的距离分别为d1，d2，则d1d2的最小值是_答案eq f(r(5)

38、,5)解析l1与l2的距离deq f(|31|,r(416)eq f(r(5),5)，则d1d2deq f(r(5),5)，即d1d2的最小值是eq f(r(5),5).24两条平行线分别经过点(1,0)和(0,5)，且两条直线的距离为5，它们的方程是_答案y5和y0或者5x12y600和5x12y50.解析设l1：ykx5，l2：xmy1，在l1上取点A(0,5)由题意A到l2距离为5，eq f(|05m1|,r(1m2)5，解得meq f(12,5)，l2：5x12y50.在l2上取点B(1,0)则B到l1的距离为5，eq f(|k05|,r(1k2)5，k0或keq f(5,12)，l1

39、：y5或5x12y600，结合l2斜率不存在的情况知两直线方程分别为：l1：y5，l2：y0；或l1：5x12y600，l2：5x12y50.三 解答题1已知直线l1的方程为y2x3，l2的方程为y4x2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程解析由斜截式方程知直线l1的斜率k12.又ll1，l的斜率kk12.由题意知l2在y轴上的截距为2，l在y轴上的截距b2，由斜截式可得直线l的方程为y2x2.2已知ABC的三个顶点分别是A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，试求BC边上的高所在直线的点斜式方程分析BC边上的高与边BC垂直，由此求得BC边上的高所在直线的斜率，从而由

40、点斜式得直线方程解析设BC边上的高为AD，则BCAD，kBCkAD1.eq f(23,03)kAD1，解得kADeq f(3,5).BC边上的高所在直线的点斜式方程是y0eq f(3,5)(x5)即yeq f(3,5)x3.3已知直线yeq f(r(3),3)x5的倾斜角是直线l的倾斜角的大小的5倍，分别求满足下列条件的直线l的方程(1)过点P(3，4)；(2)在x轴上截距为2；(3)在y轴上截距为3.解析直线yeq f(r(3),3)x5的斜率ktaneq f(r(3),3)，150，故所求直线l的倾斜角为30，斜率keq f(r(3),3).(1)过点P(3，4)，由点斜式方程得：y4eq

41、 f(r(3),3)(x3)，yeq f(r(3),3)xeq r(3)4.(2)在x轴截距为2，即直线l过点(2,0)，由点斜式方程得：y0eq f(r(3),3)(x2)，yeq f(r(3),3)xeq f(2r(3),3).(3)在y轴上截距为3，由斜截式方程得yeq f(r(3),3)x3.4求与两坐标轴围成面积是12，且斜率为eq f(3,2)的直线方程解析设直线方程为yeq f(3,2)xb，令y0得xeq f(2,3)b，由题意知eq f(1,2)|b|eq f(2,3)b|12，b236，b6，所求直线方程为yeq f(3,2)x6.5求过点P(6，2)，且在x轴上的截距比在

42、y轴上的截距大1的直线方程解析设直线方程的截距式为eq f(x,a1)eq f(y,a)1.则eq f(6,a1)eq f(2,a)1，解得a2或a1，则直线方程是eq f(x,21)eq f(y,2)1或eq f(x,11)eq f(y,1)1，即2x3y60或x2y20.6已知三角形的顶点是A(8,5)、B(4，2)、C(6,3)，求经过每两边中点的三条直线的方程解析设AB、BC、CA的中点分别为D、E、F，根据中点坐标公式得D(6，eq f(3,2)、E(1，eq f(1,2)、F(1,4)由两点式得DE的直线方程为eq f(yf(3,2),f(1,2)f(3,2)eq f(x6,16)

43、.整理得2x14y90，这就是直线DE的方程由两点式得eq f(yf(1,2),4f(1,2)eq f(x(1),1(1)，整理得7x4y90，这就是直线EF的方程由两点式得eq f(yf(3,2),4f(3,2)eq f(x6,16)整理得x2y90这就是直线DF的方程7ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(2,6)，C(8,0)(1)分别求边AC和AB所在直线的方程；(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程；(3)求AC边的中垂线所在直线的方程；(4)求AC边上的高所在直线的方程；(5)求经过两边AB和AC的中点的直线方程解析(1)由A(0,4)，C(8,0)可得直线AC的截距式方程为e

44、q f(x,8)eq f(y,4)1，即x2y80.由A(0,4)，B(2,6)可得直线AB的两点式方程为eq f(y4,64)eq f(x0,20)，即xy40.(2)设AC边的中点为D(x，y)，由中点坐标公式可得x4，y2，所以直线BD的两点式方程为eq f(y6,26)eq f(x2,42)，即2xy100.(3)由直线AC的斜率为kACeq f(40,08)eq f(1,2)，故AC边的中垂线的斜率为k2.又AC的中点D(4,2)，所以AC边的中垂线方程为y22(x4)，即2xy60.(4)AC边上的高线的斜率为2，且过点B(2,6)，所以其点斜式方程为y62(x2)，即2xy20.

45、(5)AB的中点M(1,5)，AC的中点D(4,2)，直线DM方程为eq f(y2,52)eq f(x(4),1(4)，即xy60.8求分别满足下列条件的直线l的方程：(1)斜率是eq f(3,4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；(2)经过两点A(1,0)，B(m,1)；(3)经过点(4，3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等分析欲求直线的方程，关键是根据已知条件选择一种最合适的形式解析(1)设直线l的方程为yeq f(3,4)xb.令y0，得xeq f(4,3)b，eq f(1,2)|b(eq f(4,3)b)|6，b3.直线l的方程为yeq f(4,3)x3(2)当m1时，直线l的方

46、程是eq f(y0,10)eq f(x1,m1)，即yeq f(1,m1)(x1)当m1时，直线l的方程是x1.(3)设l在x轴、y轴上的截距分别为a、b.当a0，b0时，l的方程为eq f(x,a)eq f(y,b)1；直线过P(4，3)，eq f(4,a)eq f(3,b)1.又|a|b|，eq blcrc (avs4alco1(f(4,a)f(3,b)1，,ab.)解得eq blcrc (avs4alco1(a1，,b1)或eq blcrc (avs4alco1(a7，,b7.)当ab0时，直线过原点且过(4，3)，l的方程为yeq f(3,4)x.综上所述，直线l的方程为xy1或eq

47、f(x,7)eq f(y,7)1或yeq f(3,4)x.点评明确直线方程的几种特殊形式的应用条件，如(2)中m的分类，再如(3)中，直线在两坐标轴上的截距相等包括截距都为零的情况9把直线l的一般式方程2x3y60化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形分析求l在x轴上的截距，即求直线l与x轴交点的横坐标在l的方程中令y0，解出x值，即为x轴上的截距，令x0，解出y值，即为y轴上的截距解析由2x3y60得3y2x6，yeq f(2,3)x2，即直线l的一般式方程化成斜截式为yeq f(2,3)x2，斜率为eq f(2,3).在l的方程2x3y60中，令y0，得x3；令

48、x0，得y2.即直线l在x轴与y轴上的截距分别是3，2.则直线l与x轴，y轴交点分别为A(3,0)，B(0，2)，过点A，B作直线，就得直线l的图形，如右图所示点评已知一般式方程讨论直线的性质：令x0，解得y值，即为直线在y轴上的截距，令y0，解得x值，即为直线在x轴上的截距，从而确定直线与两坐标轴的交点坐标，从而画出图形当然也可将一般式方程化为截距式来解决；化为斜截式可讨论斜率与倾斜角，以及在y轴上的截距10(1)已知三直线l12x4y70，l2x2y50，l34x2y10，求证：l1l2，l1l3；(2)求过点A(2,2)且分别满足下列条件的直线方程：与直线l：3x4y200平行；与直线l

49、：3x4y200垂直解析(1)把l1、l2、l3的方程写成斜截式得l1yeq f(1,2)xeq f(7,4)；l2yeq f(1,2)xeq f(5,2)；l3y2xeq f(1,2)，k1k2eq f(1,2)，b1eq f(7,4)eq f(5,2)b2，l1l2.k32，k1k31，l1l3.(2)解法1：已知直线l：3x4y200的斜率keq f(3,4).过A(2,2)与l平行的直线方程为y2eq f(3,4)(x2)即3x4y140.过A与l垂直的直线的斜率k1eq f(1,k)eq f(4,3)方程为y2eq f(4,3)(x2)即4x3y20为所求解法2：设所求直线方程为3x

50、4yc0，由(2,2)点在直线上，3242c0，c14.所求直线为3x4y140.设所求直线方程为4x3y0，由(2,2)点在直线上，42320，2.所求直线为4x3y20.11求与直线3x4y70平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l的方程解析解法1：由题意知：可设l的方程为3x4ym0，则l在x轴、y轴上的截距分别为eq f(m,3)，eq f(m,4).由eq f(m,3)eq f(m,4)1知，m12.直线l的方程为：3x4y120.解法2：设直线方程为eq f(x,a)eq f(y,b)1，由题意得eq blcrc (avs4alco1(ab1，,f(b,a)f(3,4).) 解得

51、eq blcrc (avs4alco1(a4,b3).直线l的方程为：eq f(x,4)eq f(y,3)1.即3x4y120.12设直线l的方程为(m22m3)x(2m2m1)y2m6，根据下列条件分别确定实数m的值(1)l在x轴上的截距为3；(2)斜率为1.解析(1)令y0，依题意得eq blcrc (avs4alco1(m22m30,f(2m6,m22m3)3)由得m3且m1；由得3m24m150，解得m3或meq f(5,3).综上所述，meq f(5,3)(2)由题意得eq blcrc (avs4alco1(2m2m10,f(m22m3),2m2m1)1)，由得m1且meq f(1,

52、2)，解得m1或eq f(4,3)，meq f(4,3).13判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：(1)l1：2xy30，l2：x2y10；(2)l1：3x4y20，l2：6x8y30；(3)l1：xy10，l2：2x2y20.解析(1)解方程组eq blcrc (avs4alco1(2xy30，,x2y10，)得eq blcrc (avs4alco1(x1，,y1，)所以直线l1与l2相交，交点坐标为(1,1)(2)解方程组eq blcrc (avs4alco1(3x4y20，,6x8y30，)2得10，矛盾，方程组无解所以直线l1与l2无公共点，即l1l2.(3)解方程组eq

53、 blcrc (avs4alco1(xy10，,2x2y20，)2得2x2y20.因此，和可以化为同一个方程，即和表示同一条直线，所以直线l1与l2重合14已知直线xy3m0和2xy2m10的交点M在第四象限，求实数m的取值范围分析解方程组得交点坐标，再根据点M在第四象限列出不等式组，解得m的取值范围解析由eq blcrc (avs4alco1(xy3m0，,2xy2m10，)得eq blcrc (avs4alco1(xf(m1,3)，,yf(8m1,3).)交点M的坐标为(eq f(m1,3)，eq f(8m1,3)交点M在第四象限，eq blcrc (avs4alco1(f(m1,3)0，

54、,f(8m1,3)0，)解得1meq f(1,8).m的取值范围是(1，eq f(1,8)15直线l过定点P(0,1)，且与直线l1：x3y100，l2：2xy80分别交于A、B两点若线段AB的中点为P，求直线l的方程解析解法1：设A(x0，y0)，由中点公式，有B(x0，2y0)，A在l1上，B在l2上，eq blcrc (avs4alco1(x03y0100,2x0(2y0)80)eq blcrc (avs4alco1(x04,y02)，kAPeq f(12,04)eq f(1,4)，故所求直线l的方程为：yeq f(1,4)x1，即x4y40.解法2：设所求直线l方程为：ykx1，l与l

55、1、l2分别交于M、N.解方程组eq blcrc (avs4alco1(ykx1,x3y100)N(eq f(7,3k1)，eq f(10k1,3k1)解方程组eq blcrc (avs4alco1(ykx1,2xy80)M(eq f(7,k2)，eq f(8k2,k2)M、N的中点为P(0,1)则有：eq f(1,2)(eq f(7,3k1)eq f(7,k2)0keq f(1,4).故所求直线l的方程为x4y40.解法3：设所求直线l与l1、l2分别交于M(x1，y1)、N(x2，y2)，P(0,1)为MN的中点，则有：eq blcrc (avs4alco1(x1x20，,y1y22)eq

56、 blcrc (avs4alco1(x2x1，,y22y1.)代入l2的方程，得：2(x1)2y180即2x1y160.解方程组eq blcrc (avs4alco1(x13y1100,2x1y160)M(4,2)由两点式：所求直线l的方程为x4y40.解法4：同解法1，设A(x0，y0)，eq blcrc (avs4alco1(x03y0100,2x0y060)，两式相减得x04y040，(1)考察直线x4y40，一方面由(1)知A(x0，y0)在该直线上；另一方面，P(0,1)也在该直线上，从而直线x4y40过点P、A.根据两点决定一条直线知，所求直线l的方程为：x4y40.16求证：不论

57、m取什么实数，直线(2m1)x(m3)y(m11)0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标分析题目所给的直线方程的系数中含有字母m，给定m一个实数值，就可以得到一条确定的直线，因此所给的方程是以m为参数的直线系方程，要证明这个直线系中的直线都过一定点，就是证明它是一个共点的直线系，我们可以给出m的两个特殊值，得到直线系中的两条直线，它们的交点即是直线系中任何直线都过的定点另一思路是：由于方程对任意的m都成立，那么就以m为未知数，整理为关于m的一元一次方程，再由一元一次方程有无数个解的条件求得定点的坐标解析证法一：对于方程(2m1)x(m3)y(m11)0，令m0，得x3y110；令m1，得x4y

58、100.解方程组eq blcrc (avs4alco1(x3y110，,x4y100，)得两直线的交点为(2，3)将点(2，3)代入已知直线方程左边，得(2m1)2(m3)(3)(m11)4m23m9m110.这表明不论m取什么实数，所给直线都经过定点(2，3)证法二：将已知方程以m为未知数，整理为(2xy1)m(x3y11)0.因为m可以取任意实数，所以有eq blcrc (avs4alco1(2xy10，,x3y110，)解得eq blcrc (avs4alco1(x2，,y3.)所以不论m取什么实数所给的直线都经过定点(2，3)规律总结：(1)分别令参数取两个特殊值得方程组，求出点的坐标

59、，代入原方程满足，则此点为定点(2)直线过定点，即与参数无关，则参数的同次幂的系数为0，从而求出定点17已知ABC的三个顶点坐标分别为A(3,1)，B(3，3)，C(1,7)，(1)求BC边上的中线AM的长；(2)证明ABC为等腰直角三角形解析(1)设点M的坐标为(x，y)，点M为BC边的中点，eq blcrc (avs4alco1(xf(31,2)2，,yf(37,2)2，)即M(2,2)，由两点间的距离公式得：|AM|eq r(32)2(12)2)eq r(26).BC边上的中线AM长为eq r(26).(2)由两点间的距离公式得|AB|eq r(33)2(13)2)2eq r(13)，|

60、BC|eq r(13)2(73)2)2eq r(26)，|AC|eq r(31)2(17)2)2eq r(13)，|AB|2|AC|2|BC|2，且|AB|AC|，ABC为等腰直角三角形18求证：等腰梯形的对角线相等证明已知：等腰梯形ABCD.求证：ACBD.证明：以AB所在直线为x轴，以AB的中点为坐标原点建立如图平面直角坐标系设A(a,0)、D(b，c)，由等腰梯形的性质知B(a,0)，C(b，c)则|AC|eq r(ba)2(c0)2)eq r(ab)2c2)，|BD|eq r(ba)2(0c)2)eq r(ab)2c2)，|AC|BD|.即：等腰梯形的对角线相等19已知直线l1：2xy