最大似然序列估计MLSE与维特比算法VA解析

1、数字通信辅导材料第5章在有ISI及加性高斯噪声信道中的数字信号传输1275.8最大似然序列估计(MLSE)与维特比算法(VA)引言：M 元Xi发送信息符号序列统计独立.最大似然函数准则一在AWGN或AGN信道上最佳接收准则。y y或y噪声(白，非白)K-用K-L展开式，分解y任意正交基，分解yP(y(t)Xi) =max,判发送 x . i= 1,2,- -,M可分解成N个独立的一维概率密度函数连乘Np(yXi) =口 p(yk Xi)k工Xi.最大似然序列估计准则 一在ISI+AGN (AWGN)信道也二?一或yT噪产(非白)引入相关性用K-L展开式，分解信道弥散效应、卷积编码器 广卷积计算

2、由于引入相关性，似然函数与 Xi有关.Np(yk)=n p(ykk)k 1128数字通信辅导材料第5章在有ISI及加性高斯噪声信道中的数字信号传输一最佳接收准则及性能指数1.系统模型h(t)z(t)n)r t )；= Inh t -nT z tn问题：在非白噪声及ISI中的最佳接收2.最佳接收准则 ML函数准则 MLSE准则求似然函数：在N维复信号空间中，利用KL展开式，在标准正交基fn(t?上Nzt N Nric Zk k，Zk N (0, %)统计独立高斯变量k -4N/)r(t )= lim Z rkfk(t ,rk N Z Inhk_n,，* F 统计独立高斯变量NkI n)式中，rk

3、 = ；，Inq - Zkn特点：rk的均值与h(t)所覆盖的若干连续符号(即序列Ip)有关。原因：信道h(t)弥散效应使相邻符号之间引入相关性。所以：rk的统计特性与序列I p有关则似然函数为NP(r(t) | Ip) =pn | Ip) : I 1 p(rk | Ip) k 41 N II ,2-kexp-ZnInhk-nJ)数字通信辅导材料第5章在有ISI及加性高斯噪声信道中的数字信号传输129也可写成:1p rN 11P 尸 N一II .7k 1exp9 L-WIT 舟rN = (r1,r2,，rN ) ，1 P = (I1I2. IP )按照MLSE准则，对给定接收信号r(t),当p

4、(rN | Ip ) = max ,判 Ip即最佳估计序列？p = Ii,I2，,I P是取遍所有序列后使ML最大的序歹I03.性能指标使似然函数p (rN | Ip )最大，等价于使积分值为最小。定义：性能指数n接收信号能量r (t )-Z Inh (t -nT dtIn .r t h t - nT dtMFWByn+Z Zn m *InIm. .h (t -nT)h(t -mT)dt ,V相关函数Xn-m故，MLSE准则等价于J (Ip )最小。J (IP)可简化为:_1_ * I . .J Ip = -2Re 11 In yn J .nn* . I n I mXn -m m最佳估计时，J

5、(?p) = min式中，Vn = _J(t)h (t -nT)dt为MF在t = nT时输出QO *a*Xn 二 i-h (t)h(t nT)dt为MF(或信道)自相关函数数字通信辅导材料第5章在有ISI及加性高斯噪声信道中的数字信号传输130注：x（t）=h（t）*h*（t）, h（t）=g（t）*c（t二.维特比算法（VA）1.性能指数J （I n州递推算法收：最佳估计序列设发送序列（复）In =li/2，,In 总长度为NIn = Ui, I2,., I n 使 J . I n l=min=min八J、*In = -2Re Z In ynV Jn4; YN N *，一一 In I m

6、xn _m n 3 m 4(A)证明：N(2)=E (管+ 3) (I?m+3)Xn 田n 1NIN- -ERxn 引n z! m z!+ ?N2N 4X0I N I m XNm 1N -4J I?n1n 1VnN 42、 ReR4xNT)n =N -Lxnt=xN （自相关函数）N - n L）的序列J ?n经历了 （N-L+ 1）个状态。I?N =,除RI31,水)(N-L+1 )个状态定义：状态转移一从一个状态Qk过渡到下一个状态ok书,记为（ok,Qk书），将“状态 区”及“状态转移9k,J书引入（A3）式，性能指数人书（?k书）可改 写为Pk1 ; k1 =RL Byk1；、,、1,

7、 k 1L,N-1（A4）数字通信辅导材料第5章在有ISI及加性高斯噪声信道中的数字信号传输133因此,最佳估计Pn应满足:Pn (?n ) =n?in Pn (M,叫，。n ) = Jn (?n )为最小值 1 N(A5)N 1Pn(?n)二加 Pn 二l一 B yk 缶二回 1In .kX(A6)Pn(I?n) =k JimNqmin pN ;L B yk 1;二 k,二 k 1(A7)（A7）式所表示的求最佳估计序列Pn的递推算法，可以用Trellis图加以几何解释。图解说明：每一个状态，共有ML个节点（o）B（yk+%由讷”分支度量（长度）”或“状态转移度量（长度）”，表示从外-仃卜书

8、时，各节点的性能指数增量。为“路径度量（长度）”。表示从初始状态开始直到状态仃k ,各节点性能指数的累加值。2）最佳估计的几何解释：（即，在Trellis图中，寻求最佳？N的几何解释）数字通信辅导材料第5章在有ISI及加性高斯噪声信道中的数字信号传输134a）最佳i?n由全程最短路径所确定。按（A5）式，最佳I n等价于全程最短路径Pn（Pj所连接各状态相应节点所 表小的符号序列。b）求全程最短路径的方法：计算 一累加一比较、取舍即：在状态转移中，累加分支长度，再比较、取舍，直到最后一个状态为止。 具体地说，按（A6） （A7）式，求全程最短路径可由逐段最短路径累加来实现。即状态每转移一次，计

9、算在新状态下各节点的累加路径，再舍去各节点中较长的路径，只保留其中最短路径（叫“幸存路径”）。各状态下的最短路径叫“局部最短路径这种在状态转移过程中通过计算、累加、比较、取舍方法寻求最短路径的过程延续到最后一个状态仃n。再比较各节点的幸存路 径，即可找到全程最短路径。3）说明几点：-关于全程最短路径与局部最短路径的关系。“全程最短路径”的唯一性。当发送序列很长，N很大，全程最短路径是唯一的，它对应着最佳估计Pn“局部最短路径”的分离性。局部最短路径在若干个状态转移过程中，不一定与全程最短路径相吻合，或同时存在几个相等的局部“最短”路径。因此，在若干个状态转移过程 中，不一定能确定真正符合全程的

10、最短路径。原因：信道噪声的随机性。当噪声样本序列比较短时，它的统计特性不平稳，带有较大的随机性; 当噪声样本序列足够长时，它的统计特性才比较平稳。数字通信辅导材料第5章在有ISI及加性高斯噪声信道中的数字信号传输135离合长度的随机性。总的来看，局部最短路径与全程最短路径“时分”、“时合”，分离或合并的 长度是随机的。它取决于信道的条件、信噪比等因素。当信道条件差，或信噪 比较低时，分离的长度就增加。在极端情况下，分离现象直到最终状态时，也 不能消除，这时接收的错误概率比较大。全程最短路径4）I?N要实时估计，不能最终估计。在实际应用中，不可能等找出全程最短路径之后，再确定？N,因为这需要庞大

11、的存储器，而且也不满足通信实时性的要求。要截取足够长度进行估计。由于“分离现象”的存在，必须截取足够长度的接收信号序列进行估计。截取长度要固定，不宜随机。分离长度虽然是随机的，但不宜采用随机截取方式进行估计。 因为随机截 取进行估计将增加设备复杂性。通常，截取足够的固定长度 q （“截取深度”或“判决深度”），选q之5L 时，一般MLSE性能损失很小3 .VA小结-VA是寻求全程最佳（最短）路径的计算过程（递推算法）“最佳路径”等价于 MLSE准则，或MAP准则。-更一般讲，VA是在加性无记忆噪声中估计马尔可夫链 状态序列的一种递推最佳求解方法。（故也适合于Trellis码的解码）注：马氏过程

12、：无后效应，随机过程的当前状态只与前一状态有关，而与其它时刻的状态无关数字通信辅导材料第5章在有ISI及加性高斯噪声信道中的数字信号传输136马氏链：状态和时间参数都是离散的马氏过程VA的算法过程归纳如下：1）建立相应的存储单元r k时间指数 .n二二Xnw n 1n d m =1% =一小川,鼠,即由L个符号组成当 k=L , ；. = C L =a1J H ,0L4 a.系统的条件及分析【条件】：设二元数字传输系统，M=2信道响应长度为LT, L=2, h0,hi, hL)信道自相关函数长度(2L+1) T, x-l x-i,x0,xi xl)X0=1, X+1=X-1=0.5, x+2=

13、x-2=-0.25 (自相关函数对称性)发送序列长度 N=7, aN =a1,a2,.aN)数字通信辅导材料第5章在有ISI及加性高斯噪声信道中的数字信号传输138匹配滤波器输出样值yn：yi=1.5,y2=2.0,y3=0.5y4 =1.0 y5=-1.5 ye =-3.0 y7=0.5【分析】：状态。k =H_l*MI6,&k=L,L+1,N-1: L = 2 ,二7由2个符号组合而成: M =2 , 二每一个状态共有 M L=22=4个节点0 0、例如，5 =。2 =自总=10 11 01 1考察相邻两个状态的转移情况（从 qT j书）kT(k+1)TA AA Aa1 a2 ck;k .

14、1 a2 a3 TOC o 1-5 h z 0 0-0 00 1-S21 051 0-二二,1 1-nB(Yk 1；W 1)P 二 k R 1 皿 1可以看出：每一状态中，都有4个节点(00, 01, 10, 11)从前一状态（仃k ）看:每一节点都分别通过2个分支转移到下一状态的相应的2个节点 共同点：上分支一表示后续符号为0下分支一表示后续符号为1从后一状态（十）看：每一个节点都分别通过2个分支与前一状态的相应2个节点相联系数字通信辅导材料第5章在有ISI及加性高斯噪声信道中的数字信号传输139每个状态中4个节点有相应的4个路径长度（幸存路径）R 00 , Pk 01 , Pk 10 ,

15、Pk 112个状态各节点间有相应的8个分支长度 B（yk*bk,。）Bk.k 1yk1；00,00,Bk.k.1yk .1；01,10,Bk.k.1yk1；10,00,Bfy-； 11,10Bk.k 1yk1； 00,01,Bk.k.1yk 1；01,11,Rhyk 1； 10,01,Bk.k 1yk1； 11,113. VA的计算举例设二元符号“ 0” “1”分别用电平“ -1”和“+1”表示：“0” （-1 ）“1 （+1）1）建立初始状态：k=L=2-1 -1f , 一1 +1二2 二 :包送J 1 一11 +1计算 P2（O2 ）： 222Bl：/ = -2 .二.anyn 一二二 a

16、namXnq n 1n1mg=-2（?y +gy2 ）+（?O?X0 +sf1s?2X +品4为 十缶名小）-2 ?y1名 y22 X0 8182X1P2 00 = -2 -1.5-2.02 1 0.5 =10F2 01 = -2 -1.5 2.0 2 1 -0.5 =0P2 10）=-2 1.5-2.02 1-0.5 =2P2 11 -2 1.5 2.02 1 0.5 ）；=4数字通信辅导材料第5章在有ISI及加性高斯噪声信道中的数字信号传输1402）递推运算计算 B2,3 丫3;二 2,二32B2,3 ( y3;二2,二 3)= -2a3 y32a3 ; anX3_n a3 x0-2a3y

17、3203 ax2a?%X0B2,3 y 3:二2,)=3 B 包？、3中,& a)B2,3y 00，0 0-2B2,3y 00，01 -2B2,3y 01,10 -2B2,3y 0；1B2,3y I。B2,3y 1011-20 0- 20 1-20-. 5 2-0.2 5 =0.5 1 2 . 50.52 -0.2 5 -0-. 5 10 . 50-. 5 2 0.25 =0.5 1 0 . 50 . 52 0.2 5 =0.511 . 50-. 5 - 2 -0.25 =0.513 . 50.5 - 2 -0.5251 = -1.5B2,3 ( y3; 11,10 )= -2(-0.5 )-

18、2( -0.25 + 0.5 )+1 = 1.5B2,3(y3;11,11 )= -2(0.5 ) + 2(-0.25 + 0.5 )+1 = 0.5计算P3工P3 - 3=P22 B2,3 丫3;2,3设u上支路，d 一下支路幸存路径 TOC o 1-5 h z P3U 00 =P2 00B2,3 y3;00,00 =10 2.5 =12.5P3 00巳00=Pz10B2,3y3;10,00=23.5 =5.5P3U01=P00B2,3y3;00,01=10(-0.5) =9.5一P3 0 1 IP3d01=巳10B2,3y3;10,01=2(-1.5) =0.5-P3U10=巳01B2,3

19、y3;01,10=00.5=0.5 -P310P3d1011B2,3Y3；11,10=-41.5 =-2.5 -Ru1 )=巳(01 )+民,303;01,11)=0+1.5=1.5 P3(11)P3d 11 =P2 11B2,3 y3;11,110.5 = 3.5数字通信辅导材料第5章在有ISI及加性高斯噪声信道中的数字信号传输141求状态,中各节点的幸存路径（最短路径）P3（；3）=minP3u（二 3）,P3d （二 3）P3（00） =minP3u（00）,Pd（OO） =P3d（00） =5.5P3（01） =P3d（01） =0.5P3（10） =P3d（10） = -2.5P3（11） =F3d（11） = -3.5在Trellis图中，两状态转移中各节点的最短路径（即幸存路径）用实线表示，而非最短路径（舍去路径）用虚线表示