中考第三轮冲刺数学：圆的综合 专题复习练习（含答案）

1、2021年中考数学第三轮冲刺：圆的综合 专题复习练习1、如图，在中， ，以为直径的交边于点，过点作，与过点的切线交于点，连接.（1）求证：；（2）若，求的长.2、如图，在O中，半径OAOB，过点OA的中点C作FDOB交O于D、F两点，且CD=，以O为圆心，OC为半径作，交OB于E点（1）求O的半径OA的长；（2）计算阴影部分的面积3、如图，AB是O的直径，BM切O于点B，点P是O上的一个动点（点P不与A，B两点重合），连接AP，过点O作OQAP交BM于点Q，过点P作PEAB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP，AE（1）求证：直线PQ为O的切线；（2）若直径AB的长为4当PE 时，四边

2、形BOPQ为正方形；当PE 时，四边形AEOP为菱形4、如图，AB为的直径，点C在O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。（1）在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与O的位置关系，并说明理由。（2）若cosB=，BP=6，AP=1，求QC的长。5、如图，已知：AB是O的弦，过点B作BCAB交O于点C，过点C作O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EFBC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G求证：（1）FC=FG；（2）AB2=BCBG6、如图，D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，且CDA

3、=CBD（1）求证：CD是O的切线；（2）过点B作O的切线交CD的延长线于点E，BC=6，求BE的长7、如图，AB是O的直径，DOAB于点O，连接DA交O于点C，过点C作O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F（1）求证：CE=EF；（2）连接AF并延长，交O于点G填空：当D的度数为时，四边形ECFG为菱形；当D的度数为时，四边形ECOG为正方形8、已知ABC，以AB为直径的O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC（1）求证：AB=AC；（2）若AB=4，BC=2，求CD的长9、如图，AC是O的直径，BC是O的弦，点P是O外一点，连接PB、AB，PBA=C（1）求证：PB是O的切线

4、；（2）连接OP，若OPBC，且OP=8，O的半径为2，求BC的长10、正方形ABCD内接于O，如图所示，在劣弧上取一点E，连接DE、BE，过点D作DFBE交O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G，求证：（1）四边形EBFD是矩形；（2）DG=BE11、如图，直角ABC内接于O，点D是直角ABC斜边AB上的一点，过点D作AB的垂线交AC于E，过点C作ECP=AED，CP交DE的延长线于点P，连结PO交O于点F（1）求证：PC是O的切线；（2）若PC=3，PF=1，求AB的长12、如图，在BCE中，点A时边BE上一点，以AB为直径的O与CE相切于点D，ADOC，点F为OC与O的交点，连

5、接AF（1）求证：CB是O的切线；（2）若ECB=60，AB=6，求图中阴影部分的面积13、如图，ABC内接于O，AC为O的直径，PB是O的切线，B为切点，OPBC，垂足为E，交O于D，连接BD（1）求证：BD平分PBC；（2）若O的半径为1，PD=3DE，求OE及AB的长14、如图，在ABC，AB=AC，以AB为直径的O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且CBF=CAB（1）求证：直线BF是O的切线；（2）若AB=5，sinCBF=，求BC和BF的长15、如图，在RtABC中，ABC90，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，且BFBC，O是BEF

6、的外接圆，EBF的平分线交EF于点G，交O于点H，连接BD，FH（1）求证：ABCEBF；（2）试判断BD与O的位置关系，并说明理由；（3）若AB1，求HGHB的值16、如图，在RtABC中，ABC90，以CB为半径作C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接BD，BE（1）求证：ABDAEB；（2）当时，求tanE；（3）在（2）的条件下，作BAC的平分线，与BE交于点F，若AF2，求C的半径17、如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DHAC于点H，连接DE交线段OA于点F（1）求证：DH是圆O的切线；（2）若A为EH的中点，求的

7、值；（3）若EAEF1，求圆O的半径18、如图，在RtABC中，C90，AD平分BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G（1）求证：BC是O的切线；（2）设ABx，AFy，试用含x，y的代数式表示线段AD的长；（3）若BE8，sinB，求DG的长，19、如图，在ABC中，BABC，ABC90，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是BD上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G（1）求证：ADFBDG；（2）填空：若AB4，且点E是BD的中点，则DF的长为；取AE的中点H，当EAB的度数为时，四边形

8、OBEH为菱形参考答案2021年中考数学第三轮冲刺：圆的综合 专题复习练习1、如图，在中， ，以为直径的交边于点，过点作，与过点的切线交于点，连接.（1）求证：；（2）若，求的长.解：(1)根据已知条件已知CB平分DCF，再证得、，根据角平分线的性质定理即可证得结论；（2）已知=10，可求得AD =6,在RtABD中，根据勾股定理求得的值,在RtBDC中，根据勾股定理即可求得BC 的长.试题解析：(1)ABC=ACBABC=FCBACB=FCB，即CB平分DCF为直径ADB=90，即BF为的切线BD=BF2、如图，在O中，半径OAOB，过点OA的中点C作FDOB交O于D、F两点，且CD=，以O

9、为圆心，OC为半径作，交OB于E点（1）求O的半径OA的长；（2）计算阴影部分的面积【解答】解；（1）连接OD，OAOB，AOB=90，CDOB，OCD=90，在RTOCD中，C是AO中点，CD=，OD=2CO，设OC=x，x2+（）2=（2x）2，x=1，OD=2，O的半径为2（2）sinCDO=，CDO=30，FDOB，DOB=ODC=30，S圆=SCDO+S扇形OBDS扇形OCE=+=+3、如图，AB是O的直径，BM切O于点B，点P是O上的一个动点（点P不与A，B两点重合），连接AP，过点O作OQAP交BM于点Q，过点P作PEAB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP，AE（1）求

10、证：直线PQ为O的切线；（2）若直径AB的长为4当PE 时，四边形BOPQ为正方形；当PE 时，四边形AEOP为菱形【解答】（1）证明：OQAP，EOCOAP，POQAPO，又OPOA，APOOAP，又BOQEOAOAP，POQBOQ，在BOQ与POQ中，POQBOQ（SAS），OPQOBQ90，点P在O上，PQ是O的切线；（2）解：POQBOQ，OBQOPQ90，当BOP90，四边形OPQB为矩形，而OBOP，则四边形OPQB为正方形，此时点C、点E与点O重合，PEPOAB2；PEAB，当OCAC，PCEC，四边形AEOP为菱形，OCOA1，PC，PE2PC2故答案为：2；24、如图，AB为

11、的直径，点C在O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。（1）在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与O的位置关系，并说明理由。（2）若cosB=，BP=6，AP=1，求QC的长。解：（1）CD是O的切线,理由如下：连接OC,OC=OB,B=1.又DC=DQ,Q=2PQAB,QPB=90B+Q=901+2=90DCO=QCB-(1+2)=180-90,OCDC,OC是O的半径CD是O的切线(2)连接AC,AB是O的直径,ACB=90.在RtABC中,BC=ABcosB=(AP+BP) cosB=(1+6)=.在RtBPQ中BQ=1

12、0QC=BQ-BC=10=5、如图，已知：AB是O的弦，过点B作BCAB交O于点C，过点C作O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EFBC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G求证：（1）FC=FG；（2）AB2=BCBG【解答】证明：（1）EFBC，ABBG，EFAD，E是AD的中点，FA=FD，FAD=D，GBAB，GAB+G=D+DCB=90，DCB=G，DCB=GCF，GCF=G，FC=FG；（2）连接AC，如图所示：ABBG，AC是O的直径，FD是O的切线，切点为C，DCB=CAB，DCB=G，CAB=G，CBA=GBA=90，ABCGBA，=，AB

13、2=BCBG6、如图，D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，且CDA=CBD（1）求证：CD是O的切线；（2）过点B作O的切线交CD的延长线于点E，BC=6，求BE的长【解答】（1）证明：连结OD，OB=OD，OBD=BDO，CDA=CBD，CDA=ODB，又AB是O的直径，ADB=90，ADO+ODB=90，ADO+CDA=90，即CDO=90，ODCD，OD是O半径，CD是O的切线（2）解：C=C，CDA=CBDCDACBD，BC=6，CD=4，CE，BE是O的切线BE=DE，BEBCBE2+BC2=EC2，即BE2+62=（4+BE）2解得：BE=7、如图，AB是O的直径，DOAB于点

14、O，连接DA交O于点C，过点C作O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F（1）求证：CE=EF；（2）连接AF并延长，交O于点G填空：当D的度数为30时，四边形ECFG为菱形；当D的度数为22.5时，四边形ECOG为正方形【解答】（1）证明：连接OC，如图，CE为切线，OCCE，OCE=90，即1+4=90，DOAB，3+B=90，而2=3，2+B=90，而OB=OC，4=B，1=2，CE=FE；（2）解：当D=30时，DAO=60，而AB为直径，ACB=90，B=30，3=2=60，而CE=FE，CEF为等边三角形，CE=CF=EF，同理可得GFE=60，利用对称得FG=FC，FG=EF，

15、FEG为等边三角形，EG=FG，EF=FG=GE=CE，四边形ECFG为菱形；当D=22.5时，DAO=67.5，而OA=OC，OCA=OAC=67.5，AOC=18067.567.5=45，AOC=45，COE=45，利用对称得EOG=45，COG=90，易得OECOEG，OEG=OCE=90，四边形ECOG为矩形，而OC=OG，四边形ECOG为正方形故答案为30，22.58、已知ABC，以AB为直径的O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC（1）求证：AB=AC；（2）若AB=4，BC=2，求CD的长【解答】（1）证明：ED=EC，EDC=C，EDC=B，B=C，AB=AC；（2

16、）解：连接AE，AB为直径，AEBC，由（1）知AB=AC，BE=CE=BC=，CECB=CDCA，AC=AB=4，2=4CD，CD=9、如图，AC是O的直径，BC是O的弦，点P是O外一点，连接PB、AB，PBA=C（1）求证：PB是O的切线；（2）连接OP，若OPBC，且OP=8，O的半径为2，求BC的长【解答】（1）证明：连接OB，如图所示：AC是O的直径，ABC=90，C+BAC=90，OA=OB，BAC=OBA，PBA=C，PBA+OBA=90，即PBOB，PB是O的切线；（2）解：O的半径为2，OB=2，AC=4，OPBC，C=BOP，又ABC=PBO=90，ABCPBO，即，BC=

17、210、正方形ABCD内接于O，如图所示，在劣弧上取一点E，连接DE、BE，过点D作DFBE交O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G，求证：（1）四边形EBFD是矩形；（2）DG=BE【解答】证明：（1）正方形ABCD内接于O，BED=BAD=90，BFD=BCD=90，又DFBE，EDF+BED=180，EDF=90，四边形EBFD是矩形；（2）正方形ABCD内接于O，的度数是90，AFD=45，又GDF=90，DGF=DFC=45，DG=DF，又在矩形EBFD中，BE=DF，BE=DG11、如图，直角ABC内接于O，点D是直角ABC斜边AB上的一点，过点D作AB的垂线交AC于E，

18、过点C作ECP=AED，CP交DE的延长线于点P，连结PO交O于点F（1）求证：PC是O的切线；（2）若PC=3，PF=1，求AB的长【解答】解：（1）如图，连接OC，PDAB，ADE=90，ECP=AED，又EAD=ACO，PCO=ECP+ACO=AED+EAD=90，PCOC，PC是O切线（2）延长PO交圆于G点，PFPG=PC2，PC=3，PF=1，PG=9，FG=91=8，AB=FG=812、如图，在BCE中，点A时边BE上一点，以AB为直径的O与CE相切于点D，ADOC，点F为OC与O的交点，连接AF（1）求证：CB是O的切线；（2）若ECB=60，AB=6，求图中阴影部分的面积【解

19、答】（1）证明：连接OD，与AF相交于点G，CE与O相切于点D，ODCE，CDO=90，ADOC，ADO=1，DAO=2，OA=OD，ADO=DAO，1=2，在CDO和CBO中，CDOCBO，CBO=CDO=90，CB是O的切线（2）由（1）可知3=BCO，1=2，ECB=60，3=ECB=30，1=2=60，4=60，OA=OD，OAD是等边三角形，AD=OD=OF，1=ADO，在ADG和FOG中，ADGFOG，SADG=SFOG，AB=6，O的半径r=3，S阴=S扇形ODF=13、如图，ABC内接于O，AC为O的直径，PB是O的切线，B为切点，OPBC，垂足为E，交O于D，连接BD（1）求

20、证：BD平分PBC；（2）若O的半径为1，PD=3DE，求OE及AB的长【解答】（1）证明：连接OBPB是O切线，OBPB，PBO=90，PBD+OBD=90，OB=OD，OBD=ODB，OPBC，BED=90，DBE+BDE=90，PBD=EBD，BD平分PBC（2）解：作DKPB于K，=，BD平分PBE，DEBE，DKPB，DK=DE，=，OBE+PBE=90，PBE+P=90，OBE=P，OEB=BEP=90，BEOPEB，=，=，BO=1，OE=，OEBC，BE=EC，AO=OC，AB=2OE=14、如图，在ABC，AB=AC，以AB为直径的O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延

21、长线上，且CBF=CAB（1）求证：直线BF是O的切线；（2）若AB=5，sinCBF=，求BC和BF的长【解答】（1）证明：连接AE，AB是O的直径，AEB=90，1+2=90AB=AC，1=CABCBF=CAB，1=CBFCBF+2=90即ABF=90AB是O的直径，直线BF是O的切线（2）解：过点C作CGAB于GsinCBF=，1=CBF，sin1=，在RtAEB中，AEB=90，AB=5，BE=ABsin1=，AB=AC，AEB=90，BC=2BE=2，在RtABE中，由勾股定理得AE=2，sin2=，cos2=，在RtCBG中，可求得GC=4，GB=2，AG=3，GCBF，AGCAB

22、F，BF=15、如图，在RtABC中，ABC90，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，且BFBC，O是BEF的外接圆，EBF的平分线交EF于点G，交O于点H，连接BD，FH（1）求证：ABCEBF；（2）试判断BD与O的位置关系，并说明理由；（3）若AB1，求HGHB的值【解答】（1）证明：ABC90，EBF90，DFAC，ADF90，C+AA+AFD90，CBFE，在ABC与EBF中，ABCEBF；（2）BD与O相切，如图1，连接OB证明如下：OBOF，OBFOFB，ABC90，ADCD，BDCD，CDBC，CBFE，DBCOBF，CBO+OBF90，DBC+C

23、BO90，DBO90，BD与O相切；（3）解：如图2，连接CF，HE，CBF90，BCBF，CFBF，DF垂直平分AC，AFCFAB+BF1+BFBF，BF，ABCEBF，BEAB1，EF，BH平分CBF，EHFH，EBF90，EF是直径，AHF90，EHF是等腰直角三角形，HFEF，EFHHBF45，BHFBHF，BHFFHG，HGHBHF22+16、如图，在RtABC中，ABC90，以CB为半径作C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接BD，BE（1）求证：ABDAEB；（2）当时，求tanE；（3）在（2）的条件下，作BAC的平分线，与BE交于点F，若AF2，求C的半径【解答】解：（

24、1）ABC90，ABD90DBC，由题意知：DE是直径，DBE90，E90BDE，BCCD，DBCBDE，ABDE，AA，ABDAEB；（2）AB：BC4：3，设AB4，BC3，AC5，BCCD3，ADACCD532，由（1）可知：ABDAEB，AB2ADAE，422AE，AE8，在RtDBE中tanE；（3）过点F作FMAE于点M，AB：BC4：3，设AB4x，BC3x，由（2）可知；AE8x，AD2x，DEAEAD6x，AF平分BAC，tanE，cosE，sinE，BE，EFBE，sinE，MF，tanE，ME2MF，AMAEME，AF2AM2+MF2，4+，x，C的半径为：3x另解：由上

25、述知tanFAM，BCDCCE，AD：DC：CE2：3：3，tanE，设FMa，则AM3a，ME2a，AE5a，DCAEa，由勾股定理可知：AFa，AF2，a，DC17、如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DHAC于点H，连接DE交线段OA于点F（1）求证：DH是圆O的切线；（2）若A为EH的中点，求的值；（3）若EAEF1，求圆O的半径【解答】证明：（1）连接OD，如图1，OBOD，ODB是等腰三角形，OBDODB，在ABC中，ABAC，ABCACB，由得：ODBOBDACB，ODAC，DHAC，DHOD，DH是圆O的切线；（2）如

26、图2，在O中，EB，由（1）可知：EBC，EDC是等腰三角形，DHAC，且点A是EH中点，设AEx，EC4x，则AC3x，连接AD，则在O中，ADB90，ADBD，ABAC，D是BC的中点，OD是ABC的中位线，ODAC，ODAC3x，ODAC，EODF，在AEF和ODF中，EODF，OFDAFE，AEFODF，；（3）如图2，设O的半径为r，即ODOBr，EFEA，EFAEAF，ODEC，FODEAF，则FODEAFEFAOFD，DFODr，DEDF+EFr+1，BDCDDEr+1，在O中，BDEEAB，BFDEFAEABBDE，BFBD，BDF是等腰三角形，BFBDr+1，AFABBF2OBBF2r（1+r）r1，在BFD和EFA中，BFDEFA，解得：r1，r2（舍），综上所述，O的半径为18、如图，在RtA