2022-2023学年湖南省长沙市燕子岭学校高二数学理联考试卷含解析

1、2022-2023学年湖南省长沙市燕子岭学校高二数学理联考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（12，15），则E的方程式为（）ABCD参考答案：B【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【分析】已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B点坐标代入方程联立相减得x1+x2=24，根据=，可求得a和b的关系，再根据c=3，求得a和b，进而可得答案【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k=kPN

2、=1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2=24，y1+y2=30得=，从而=1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选B2. 已知球O的表面积为16，则球O的体积为A B C D参考答案：D因为球O的表面积是16，所以球O的半径为2，所以球O的体积为，故选D.3. 以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )Ax2+y2+2x=0Bx2+y2+x=0Cx2+y2x=0Dx2+y22x=0参考答案：D【考点】圆的一般方程；抛物线的简单性质 【分析】先求抛物线y2=4x的焦点坐标，即可求出过坐标原点的圆的方程

3、【解答】解：因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为（x1）2+y2=1，即x22x+y2=0，故选D【点评】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题4. 将一根长为3米的绳子在任意位置剪断，则剪得两段的长度都不小于1米的概率是（）ABCD参考答案：A【考点】几何概型【分析】根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为3m的绳子分成相等的三段，在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间1m处的两个界点，再求出其比值【解答】解：记“两段的长都不小于1m”为事件A，则只能在中间1m的绳子上剪断，才使得剪得两段的长都不小于

4、1m，所以由几何概型的公式得到事件A发生的概率 P（A）=故选：A5. 现有四个函数：y=x?sinx；y=x?cosx；y=x?|cosx|；y=x?2x的图象（部分）如图：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）ABCD参考答案：D【考点】函数的图象【分析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到【解答】解：根据y=x?sinx为偶函数，它的图象关于y轴对称，故第一个图象即是；根据y=x?cosx为奇函数，它的图象关于原点对称，它在（0，）上的值为正数，在（，）上的值为负数，故第三个图象满足；根据y=x?|cosx|为奇函数，当x0时，f（x）0，故第四

5、个图象满足；y=x?2x，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第2个图象满足，故选：D【点评】本题主要考查函数的图象，函数的奇偶性、函数的值的符号，属于中档题6. 若抛物线(p0)的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为()A. B.2 C. D. 4参考答案：D略7. 与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是( )A. B. C. D. 参考答案：C8. 若sinsin=1，则cos（+）=（）A1B1C0D0或1参考答案：B【考点】两角和与差的余弦函数【分析】由sinsin=1，得coscos=0，利用两角和的余弦函数公式可得答案【解答】解：由sinsin=1，得coscos=0，cos（+

6、）=coscossinsin=1故选：B9. 抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，已知A，B为抛物线上的两个动点，且满足AFB=120，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A2BC1D参考答案：D【考点】抛物线的简单性质【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|B

7、P|=a+b由余弦定理得，|AB|2=a2+b22abcos120=a2+b2+ab，配方得，|AB|2=（a+b）2ab，又ab（）2，（a+b）2ab（a+b）2（a+b）2=（a+b）2得到|AB|（a+b）所以，即的最大值为故选：D10. l1、l2是两条异面直线，直线m1、m2与l1、l2都相交，则m1、m2的位置关系是()A异面或平行 B相交 C异面 D相交或异面参考答案：D略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 不等式组所确定的平面区域记为.若点是区域上的点，则的最大值是 ; 若圆上的所有点都在区域上,则圆的面积的最大值是. 参考答案：14，12. 有一批产品

8、，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若表示取到次品的个数，则E= .参考答案：13. 已知x0，y0且x+y=4，要使不等式m恒成立，则实数m的取值范围是参考答案：【考点】7F：基本不等式【分析】利用“乘1法”、基本不等式的性质即可得出【解答】解：x0，y0且x+y=4，=，当且仅当y=2x=时取等号不等式m恒成立，实数m的取值范围是故答案为：14. 已知满足，则的单调递减区间是_.参考答案：(-1,3)【分析】将与代入已知条件，求出，写出函数解析式，求导函数，令，解不等式即可求出单调递减区间.【详解】函数满足，整理得，即，解得函数解析式为，令，解得的单调递减区间是故答案为.【点睛】本

9、题考查运用待定系数法求函数解析式，考查利用导数确定函数的单调区间，属于基本概念和基本方法的考查.15. 。参考答案：略16. 已知点P（）是曲线上一动点，则的范围为_.参考答案：17. 函数 ，则 ；若，则= 参考答案： 试题分析：，所以；若，转化为，或，解得，或，所以.考点：分段函数三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分14分）ABC的三个内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，已知c=3，C=60。（1）若A=75，求b的值；（2）若a=2 b, 求b的值。参考答案：解：（1）由，得2分由正弦定理知， 3分6分（2）由余弦定理知，

10、 8分将代入上式得10分12分19. 某种出口产品的关税税率t，市场价格x（单位：千元）与市场供应量p（单位：万件）之间近似满足关系式：p=，其中k，b均为常数当关税税率为75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量均为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件（1）试确定k、b的值；（2）市场需求量q（单位：万件）与市场价格x近似满足关系式：q=2xp=q时，市场价格称为市场平衡价格当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值参考答案：【考点】5D：函数模型的选择与应用【分析】（1）根据“关系式：p=2（1kt）（xb）2，及市场价格为5千元，则市场供应量均为1万件；市场价格为

11、7千元，则市场供应量约为2万件”，可得到从而求得结果（2）当p=q时，可得2（1t）（x5）2=2x，可求得t=1+=1+，由双勾函数f（x）=x+在（0，4上单调递减，可知当x=4时，f（x）有最小值【解答】解：（1）由已知可得：，解得：b=5，k=1（2）当p=q时，2（1t）（x5）2=2x（1t）（x5）2=x?t=1+=1+，而f（x）=x+在（0，4上单调递减，当x=4时，f（x）有最小值，此时t=1+取得最大值5；故当x=4时，关税税率的最大值为500%20. 已知点P（2，0），及C：x2+y26x+4y+4=0（1）当直线l过点P且与圆心C的距离为1时，求直线l的方程；（2）

12、设过点P的直线与C交于A、B两点，当|AB|=4，求以线段AB为直径的圆的方程参考答案：【考点】圆的标准方程；直线的一般式方程 【专题】综合题；分类讨论【分析】（1）把圆的方程变为标准方程后，分两种情况斜率k存在时，因为直线经过点P，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离d，让d等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根据k的值和P的坐标写出直线l的方程即可；当斜率不存在时显然得到直线l的方程为x=2；（2）利用弦|AB|的长和圆的半径，根据垂径定理可求出弦心距|CP|的长，然后设出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，让d等于|C

13、P|列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，写出直线l的方程，把直线l的方程与已知圆的方程联立消去x得到关于y的一元二次方程，利用韦达定理即可求出线段AB中点的纵坐标，把纵坐标代入到直线l的方程中即可求出横坐标，即可得线段AB的中点坐标即为线段AB为直径的圆的圆心坐标，圆的半径为|AB|的一半，根据圆心和半径写出所求圆的标准方程即可【解答】解：（1）由题意知，圆的标准方程为：（x3）2+（y+2）2=9，设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y0=k（x2）即kxy2k=0又C的圆心为（3，2），r=3，由所以直线方程为即3x+4y6=0；当k不存在时，直线l的方程为x=2综上，直线l的方

14、程为3x+4y6=0或x=2；（2）由弦心距，即|CP|=，设直线l的方程为y0=k（x2）即kxy2k=0则圆心（3，2）到直线l的距离d=，解得k=，所以直线l的方程为x2y2=0联立直线l与圆的方程得，消去x得5y24=0，则P的纵坐标为0，把y=0代入到直线l中得到x=2，则线段AB的中点P坐标为（2，0），所求圆的半径为：|AB|=2，故以线段AB为直径的圆的方程为：（x2）2+y2=4【点评】此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，灵活运用垂径定理及韦达定理化简求值，会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程，是一道中档题21. 已知向量=（1，5，1），=（2，3，5）（1）若（k+）（3），求实数k；（2）若（k+）（3），求实数k参考答案：【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直【分析】直接求出k+，3，（1）利用向量共线的充要条件求解即可（2）通过斜率的数量积为0，求解即可【解答】解：因为k+=（k2，5k+3，k+5），3=（1，5，1）3（2，3，5）=（7，4，16）.4分（1）因为（k+）（3），所以=