（本科）第八章 向量代数与空间解析几何（改）高等数学下册教学课件

1、正版可修改PPT课件（本科）第八章 向量代数与空间解析几何（改）高等数学下册教学课件数量关系 第八章第一部分 向量代数第二部分 空间解析几何 在三维空间中:空间形式 点, 线, 面基本方法 坐标法; 向量法坐标,方程（组）向量代数与空间解析几何第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系第二节 数量积 向量积 混合积第三节 平面及其方程第四节 空间直线及其方程第五节 曲面方程第六节 空间曲线方程 第八章 向量代数与空间解析几何向量:(又称矢量). 既有大小, 又有方向的量自由向量:与起点无关的向量.向径 (矢径):起点为原点的向量.单位向量:模为 1 的向量,记作零向量:模为 0 的向量,表示法:有

2、向线段 M1 M2 ,或 a ,向量的模 :向量的大小,向量相等、向量平行向量共线、负向量、向量共面.第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系向量的概念加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律 :交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加 .第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系向量线性运算的几何表达可见 向量的减法三角不等式 向量与数的乘法规定 : 与 a 的乘积是一个新向量, 记作运算律 :满足结合律、分配律.第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系( 为唯一实数)定理 a 为非零向量 , 则ab 注:零向量与任何向量平行. 数轴的建立: 给定一个点和一个

3、单位向量就可以建 立一条数轴. 如给定点O及单位向量 可建立x 轴.向量与点的坐标：故规定: 既是向量的坐标又是点的坐标.第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系空间直角坐标系与向量的坐标分解：x0y0z0：x0y0z0：x0y0z0：x0y0z0：x0y0z0：x0y0z0：x0y0z0：x0y0z0空间直角坐标系 坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴) 坐标面 卦限(八个)zOx面第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系向量与点的坐标：故规定: 既是向量 的坐标又是点 的坐标.坐标面上的点A、B、C坐标轴上的点P、Q、R第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系向量的模及两点间的距

4、离公式设则第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系方向角与方向余弦称 =AOB (0 ) 为向量 的夹角. 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角 , , 方向角:方向余弦: 记作第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系方向余弦的性质: 例 已知 和的模 、方向余弦和方向角 . 解 计算向量第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系投影第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系 向量的坐标运算平行向量对应坐标成比例：设则第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系第一节 向量的线性

5、运算与空间直角坐标系定义：第二节 数量积 向量积 混合积数量积性质：第二节 数量积 向量积 混合积第二节 数量积 向量积 混合积第二节 数量积 向量积 混合积第二节 数量积 向量积 混合积性质：第二节 数量积 向量积 混合积向量积向量积的坐标表示：设则第二节 数量积 向量积 混合积行列式第二节 数量积 向量积 混合积第二节 数量积 向量积 混合积第二节 数量积 向量积 混合积混合积第二节 数量积 向量积 混合积平面方程1.平面的点法式方程设一平面通过已知点且垂直于非零向量求该平面 的方程.则有 称式为平面 的点法式方程,的法向量.故第三节 平面及其方程称为平面任取点 第三节 平面及其方程2.平

6、面的一般方程设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程此方程称为平面的一般任取一组满足上述方程的数则显然方程与此点法式方程等价, 的平面, 因此方程的图形是法向量为 方程.第三节 平面及其方程特殊情形 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 轴; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xOy

7、面 的平面;平行于 yOz 面 的平面；平行于 zOx 面 的平面.第三节 平面及其方程第三节 平面及其方程3.平面的截距式方程此式称为平面的截距式方程. 时,平面方程为 当平面与三坐标轴的交点分别为第三节 平面及其方程第三节 平面及其方程4.平面的三点式方程过三点的平面方程为第三节 平面及其方程第三节 平面及其方程两平面的夹角则两平面夹角 的余弦为即两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.第三节 平面及其方程 平面 2的法向量为设平面 1的法向量为第三节 平面及其方程特别有下列结论：第三节 平面及其方程两平面的位置关系第三节 平面及其方程外一点，设解 设平面法向量为在平面上取一点是平

8、面到平面的距离为,则P0 到平面的距离为则第三节 平面及其方程点到平面的距离第三节 平面及其方程故有说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.设直线上的动点为 则此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)直线方程为已知直线上一点例如, 当和它的方向向量 第四节 空间直线及其方程空间直线方程1.空间直线的点向式方程第四节 空间直线及其方程得参数式方程 :设第四节 空间直线及其方程2.空间直线的参数方程因此其一般式方程直线可视为两平面交线，(不唯一)如及都表示z轴.第四节 空间直线及其方程3.空间直线的一般方程第四节 空间直线及其方程第四节 空间直线及其方程则两直线夹角 满足设直线两直线的夹角

9、指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为第四节 空间直线及其方程两直线的夹角第四节 空间直线及其方程第四节 空间直线及其方程两直线的位置关系线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;当直线与平面不垂直时,直线和它在平面上的投影直当直线与平面垂直时,规定其夹角设直线 L 的方向向量为 则直线与平面夹角 满足第四节 空间直线及其方程直线与平面的夹角平面 的法向量为第四节 空间直线及其方程第四节 空间直线及其方程直线与平面的位置关系第四节 空间直线及其方程平面束第四节 空间直线及其方程第四节 空间直线及其方程曲面方程的概念第五节 曲面方程第五节 曲面方程平面上的一条曲线绕固定轴旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.曲线绕z轴旋转得到的任一点z不变, x,y满足第五节 曲面方程旋转曲面第五节 曲面方程第五节 曲面方程第五节 曲面方程定义平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面.表示抛物柱面C 叫做准线, l 叫做母线.表示圆柱面抛物柱面第五节 曲面方程柱面平面柱面举例：平行于 z 轴;柱面,准线 xOy 面上的曲线 l1.母线柱面,平行于 y 轴;准线 zOx 面上的曲线 .母线第五节 曲面方程第五节 曲面方程1. 椭球面2. 椭圆抛物面3. 椭圆锥面第五节 曲面方程二次曲面4. 单叶双曲面5. 双叶双曲面6. 双曲抛物面（马鞍面