2022版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.4直线与圆、圆与圆的位置关系学案理

1、2021版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.4直线与圆、圆与圆的位置关系学案理PAGE PAGE 4084直线与圆、圆与圆的位置关系知识梳理1直线与圆的位置关系设直线l：AxByC0(A2B20)，圆：(xa)2(yb)2r2(r0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为. 方法位置关系几何法代数法相交d0相切dr0相离dr0)，圆O2(xa2)2(yb2)2req oal(2,2)(r20)方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr

2、1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d|r1r2|(r1r2)无解3必记结论当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)，弦长的一半及半径构成一个直角三角形(1)两圆相交时公共弦的方程设圆C1：x2y2D1xE1yF10，圆C2：x2y2D2xE2yF20，若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由所得，即：(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.(2)两个圆系方程过直线AxByC0与圆x2y2DxEyF0交点的圆系方程：x2y2DxEyF(AxByC)0(R)；过圆C1：x2y2D1xE1yF10和圆C2：x2y2D2xE2yF20交点的圆系方程

3、：x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)(其中不含圆C2，因此注意检验C2是否满足题意，以防丢解)(3)弦长公式|AB|eq r(1k2)|xAxB|eq r(1k2xAxB24xAxB).诊断自测1概念思辨(1)“k2”是“直线xyk0与圆x2y22相切”的必要不充分条件()(2)过圆O：x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0 xy0yr2.()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交()(4)从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A2P128T3)直

4、线xy10与圆x2y21的位置关系为()A相切 B相交但直线不过圆心C直线过圆心 D相离答案B解析圆心(0,0)到直线xy10的距离deq f(1,r(2)eq f(r(2),2)，而0eq f(r(2),2)0)相交于A，B两点，且AOB120(O为坐标原点)，则r_.答案2解析如图，过O点作ODAB于D点，在RtDOB中，DOB60，DBO30，又|OD|eq f(|30405|,5)1，r2|OD|2.题型1直线与圆的位置关系eq o(sup7(),sdo5(典例)(2017豫南九校联考)直线l：mxy1m0与圆C：x2(y1)25的位置关系是()A相交 B相切 C相离 D不确定代数法，

5、几何法答案A解析由eq blcrc (avs4alco1(mxy1m0，,x2y125)消去y，整理得(1m2)x22m2xm250，则4m44(1m2)(m25)16m2200，所以直线l方法技巧判断直线与圆的位置关系的常见方法1几何法：利用d与r的关系见典例1，典例2答案解法二2代数法：联立方程之后利用判断见典例2答案解法一3点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题冲关针对训练直线yeq f(r(3),3)xm与圆x2y21在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是()A(eq r(3)，2) B(

6、eq r(3)，3)C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3)，f(2r(3),3) D.eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(2r(3),3)答案D解析当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离deq f(|m|,r(1blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3)2)1，解得meq f(2r(3),3)(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1m3，所以(ab)29，即ab3或ab1，所以直线xy10与圆(xa)2(yb)21相离方法技巧判断圆与圆的位置关系的步骤1.

7、确定两圆的圆心坐标和半径长；2.利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1r2，|r1r2|；3.比较d，r1r2，|r1r2|的大小，写出结论冲关针对训练已知圆C1：x2y22mx4ym250与圆C2：x2y22x2mym230，若圆C1与圆C2相外切，则实数m()A5 B5或2 C6 D8答案B解析对于圆C1与圆C2的方程，配方得圆C1：(xm)2(y2)29，圆C2：(x1)2(ym)24，则圆C1的圆心C1(m，2)，半径r13，圆C2的圆心C2(1，m)，半径r22.如果圆C1与圆C2相外切，那么有|C1C2|r1r2，即eq r(m12m22)5，则m23m100，解得m5或m

8、2，所以当m5或m2时，圆C1与圆C2相外切故选B.题型3直线与圆的综合问题角度1直线与圆的相切问题eq o(sup7(),sdo5(典例)(2014江西高考)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2xy40相切，则圆C面积的最小值为()A.eq f(4,5) B.eq f(3,4)C(62eq r(5) D.eq f(5,4)设AB的中点为C，C为圆心，D为切点，|OC|CD|r，要使r最小，则需2r|OC|CD|最小答案A解析由题意得以AB为直径的圆C过原点O，圆心C为AB的中点，设D为切点，要使圆C的面积最小，只需圆的半径最短，也只需OCCD最小，

9、其最小值为OE(过原点O作直线2xy40的垂线，垂足为E)的长度由点到直线的距离公式，得OEeq f(4,r(5) .圆C面积的最小值为eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,r(5)2eq f(4,5).故选A.角度2与圆有关的弦长问题eq o(sup7(),sdo5(典例)(2016全国卷)已知直线l：mxy3meq r(3)0与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点若|AB|2eq r(3)，则|CD|_.答案4解析由题意可知直线l过定点(3，eq r(3)，该定点在圆x2y212上，不妨设点A(3，eq r(3)，由于|AB|2eq r(3)

10、，r2eq r(3)，所以圆心到直线AB的距离为d eq r(2r(3)2r(3)2)3，又由点到直线的距离公式可得deq f(|3mr(3)|,r(m21)，所以eq f(|3mr(3)|,r(m21)3，解得meq f(r(3),3)，所以直线l的斜率kmeq f(r(3),3)，即直线l的倾斜角为30.如图，过点C作CHBD，垂足为H，所以|CH|2eq r(3)，在RtCHD中，HCD30，所以|CD|eq f(2r(3),cos30)4.角度3直线与圆位置关系的最值(或范围)问题eq o(sup7(),sdo5(典例)(2017河北石家庄一模)若a，b是正数，直线2axby20被圆x

11、2y24截得的弦长为2eq r(3)，则taeq r(12b2)取得最大值时a的值为()A.eq f(1,2) B.eq f(r(3),2) C.eq f(r(3),4) D.eq f(3,4)答案D解析由已知可得圆心到直线2axby20的距离deq f(2,r(4a2b2)，则直线被圆截得的弦长为2eq r(4f(4,4a2b2)2eq r(3)，化简得4a2b24.taeq r(12b2)eq f(1,2r(2)(2eq r(2)a)eq r(12b2)eq f(1,4r(2)(2eq r(2)a)2(eq r(12b2)2eq f(1,4r(2)(8a22b21)eq f(9,4r(2)

12、，当且仅当eq blcrc (avs4alco1(8a212b2，,4a2b24)时等号成立，即t取最大值，此时aeq f(3,4)(舍负)故选D.方法技巧直线与圆综合问题的求法1圆与直线l相切的情形：圆心到l的距离等于半径，圆心到切点的连线垂直于l.见角度1典例2圆与直线l相交的情形(1)圆心到l的距离小于半径，过圆心而垂直于l的直线平分l被圆截得的弦见角度2典例(2)连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦见角度3典例(3)过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径冲关针对训练(2018甘肃兰州双基测试)已知AC，BD为圆O：x2y24的两条相互垂直的弦，垂足为

13、M(1，eq r(2)，则四边形ABCD的面积的最大值为()A5 B10 C15 D20答案A解析由题意知圆心为O(0,0)，半径为2.设圆心O到AC、BD的距离分别为d1，d2，作OEAC，OFBD，垂足分别为E，F，则四边形OEMF为矩形，连接OM，则有deq oal(2,1)deq oal(2,2)OM23.由平面几何知识知|AC|2eq r(4doal(2,1)，|BD|2eq r(4doal(2,2)，S四边形ABCDeq f(1,2)|AC|BD|2eq r(4doal(2,1)eq r(4doal(2,2)(4deq oal(2,1)(4deq oal(2,2)8(deq oal

14、(2,1)deq oal(2,2)5，即四边形ABCD 的面积的最大值为5.故选A.1.(2017全国卷)若双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的一条渐近线被圆(x2)2y24所截得的弦长为2，则C的离心率为()A2 B.eq r(3) C.eq r(2) D.eq f(2r(3),3)答案A解析设双曲线的一条渐近线方程为yeq f(b,a)x，圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为eq r(2212)eq r(3).根据点到直线的距离公式得eq f(|2b|,r(a2b2)eq r(3)，解得b23a2所以C的离心率eeq f(c

15、,a) eq r(f(c2,a2) eq r(1f(b2,a2)2.故选A.2(2018安徽芜湖六校联考)在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y2x4，设圆C的半径为1，圆心在l上若圆C上存在点M，使|MA|2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围是()A.eq blcrc(avs4alco1(0，f(12,5) B0,1 C.eq blcrc(avs4alco1(1，f(12,5) D.eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(12,5)答案A解析因为圆心在直线y2x4上，所以圆C的方程为(xa)2y2(a2)21.设点M(x，y)，因为|MA|2|MO|，所以eq r

16、(x2y32)2eq r(x2y2)，化简得x2y22y30，即x2(y1)24，所以点M在以D(0，1)为圆心，2为半径的圆上由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|21|CD21，即1eq r(a22a32)3.由eq r(a22a32)1得5a212a80，解得aR；由eq r(a22a32)3得5a212a0，解得0aeq f(12,5).所以点C的横坐标a的取值范围为eq blcrc(avs4alco1(0，f(12,5).故选A.3(2015江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mxy2m10(mR答案(x1)2y22解析由mxy2m1

17、0可得m(x2)y1，易知该直线过定点(2，1)，从而点(1,0)与直线mxy2m10的距离的最大值为eq r(212102)eq r(2)，故所求圆的标准方程为(x1)2y22.4(2017广东五校协作体一模)两圆x2y22axa240和x2y24by14b20恰有三条公切线，若aR，bR且ab0，则eq f(1,a2)eq f(1,b2)的最小值为_答案1解析将x2y22axa240和x2y24by14b20化为标准方程得(xa)2y24，x2(y2b)21，依题意得两圆相外切，故eq r(a24b2)123，即a24b29，所以eq f(1,a2)eq f(1,b2)eq blc(rc)

18、(avs4alco1(f(a2,9)f(4b2,9)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a2)f(1,b2)eq f(1,9)eq f(a2,9b2)eq f(4b2,9a2)eq f(4,9)eq f(5,9)2eq r(f(a2,9b2)f(4b2,9a2)1，当且仅当eq f(a2,9b2)eq f(4b2,9a2)，即a22b2时等号成立，故eq f(1,a2)eq f(1,b2)的最小值为1. 重点保分 两级优选练一、选择题1(2018福建漳州八校联考)已知点P(a，b)(ab0)是圆x2y2r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，直线l的方程为axbyr2，那

19、么()Aml，且l与圆相交 Bml，且l与圆相切Cml，且l与圆相离 Dml，且l与圆相离答案C解析点P(a，b)(ab0)在圆内，a2b2eq f(r2,r)r，ml，l与圆相离故选C.2(2017河北衡水中学调研)已知向量a(2cos，2sin)，b(3cos，3sin)，若a与b的夹角为120，则直线6xcos6ysin10与圆(xcos)2(ysin)21的位置关系是()A相交且不过圆心 B相交且过圆心C相切 D相离答案A解析由题意可得ab6coscos6sinsin|a|b|cos12023eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)3，所以圆心(cos，sin)到直线6x

20、cos6ysin10的距离deq f(|6coscos6sinsin1|,6)eq f(|31|,6)eq f(1,3)0)始终平分圆C2：(x1)2(y1)22的周长，则eq f(1,m)eq f(2,n)的最小值为()A.eq f(9,2) B9 C6 D3答案D解析把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线l方程为(m1)x(2n1)y50，由题意知直线l经过圆C2的圆心(1，1)，因而m2n3.eq f(1,m)eq f(2,n)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,m)f(2,n)(m2n)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(5f(2

21、n,m)f(2m,n)eq f(1,3)(54)3，mn时取等号eq f(1,m)eq f(2,n)的最小值为3，故选D.二、填空题11将直线2xy0沿x轴向左平移1个单位长度，所得直线与圆x2y22x4y0相切，则实数的值为_答案3或7解析由题意可知，将直线2xy0沿x轴向左平移1个单位长度后，所得直线l的方程为2(x1)y0.由已知条件知圆的圆心为O(1,2)，半径为eq r(5).解法一：直线l与圆相切，则圆心到直线l的距离等于圆的半径，即eq f(|2112|,r(5)eq r(5)，解得3或7.解法二：设直线l与圆相切的切点为C(x，y)，由直线与圆相切，可知COl，所以eq f(y

22、2,x1)21.又C(x，y)在圆上，满足方程x2y22x4y0，解得切点坐标为(1,1)或(3,3)又C(x，y)在直线2(x1)y0上，则3或7.12过点(eq r(2)，0)引直线l与曲线yeq r(1x2)相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于_答案eq f(r(3),3)解析曲线yeq r(1x2)的图象如图所示若直线l与曲线相交于A，B两点，则直线l的斜率kf(5,2)，则eq f(|4a10|,5)2a0或a5(舍)所以圆C的方程为x2y24.(2)当直线ABx轴时，x轴平分ANB.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk(x1)，N(t

23、,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq blcrc (avs4alco1(x2y24，,ykx1，)得(k21)x22k2xk240，所以x1x2eq f(2k2,k21)，x1x2eq f(k24,k21).若x轴平分ANB，则kANkBNeq f(y1,x1t)eq f(y2,x2t)0eq f(kx11,x1t)eq f(kx21,x2t)02x1x2(t1)(x1x2)2t0eq f(2k24,k21)eq f(2k2t1,k21)2t0t4，所以当点N为(4,0)时，能使得ANMBNM总成立16已知过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k，使得直线L：yk(x4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由解(1)因为圆C1：x2y26x50可化为(x3)2y24，所以圆C1的圆心坐标为(3