常微分方程第三版课后习题答案

1、+c+ee.:c=e=dy=（=-du=u=u+xdu=.=0=+du=u=u+u:=e+=0=ee=du=u,=u+u+du=ee=ce=eedu=du-1=u=du-1=:=+3du=du=u+3du=4u+13u=du+y=du=dudu=du=du=u=dy=+c,.,e0,e.,当,当时，两边同时积分得；,即。当时显然也是原方程的解。当时，代入式子得。解：由或是方程的解，当时，变量分离：两边积分,即,故原方程的解为;解：,令,则,变量分离，得：:()()解：,令,则,变量分离，得：dududu两边积分得：)。：解：令解：令,则原方程化为：,分离变量得：,分离变量得：du)两边积分得：

2、两边积分得：代回原来变量，得另外，也是方程的解。8:e8:e解：变量分离，得：两边积分得：.ee解：方程可变为：令,则有：解：方程可变为：令,则有：d代回原变量得：。：e解：变量分离ee两边积分eeeeeeeee,令，则，原方程可变为解变量分离，两边积分，代回变量解：方程组解：方程组的解为,令,则有令，则方程可化为：变量分离解：令,则,变量分离两边积分两边积分代回变量.解：方程化为，所以，令，所以，dudududu，两边积分得，是原方程的解。解：()，令，则原方程化为dudu，这是齐次方程，令.dudzdzdz.dzdz,d方程组方程组解：原方程化为;令,;则du.则有，从而方程（）化为dz.

3、时，分离变量得dz两边积分的dtdtdtdzdzdzdz当时，即，是方程的解。得或是原方程的解当另外，或，包含在其通解中，故原方程的解为(证明方程证明方程()经变换可化为变量分离方程，并由此求解下列方程.（）).证明：因为关于求导导得,所以du得：dudu解:当解:当或是原方程的解，当时，方程化为令则方程化令则方程化为),变量分离得：两边同时积分得：两边同时积分得：,即,也包含在此通解中。解令，则原方程化为解令，则原方程化为()dudu，两边积分得，这也就是方程的解。已知()试求函数()的一般表达式.解：设解：设则原方程化为()两边求导得;()();()得所以求具有性质的函数已知x(0)存在。

4、解：令t=s=0解：令t=s=0=若得=-1矛盾。所以x(0)=0.x(t)=dt两边积分得x(t)=x(0)t+c所以x(t)=tgx(0)t+c当时故所以x(t)=tgx(0)t123e4eee(ee)n()是原方程的解.e(e)是原方程的解.66dududu（*）中（*）解：解：,ee方程的通解为：y=ee=(x+1)(*(x+1)dx+c)=(x+1)=(x+1)解：则P(y)=,即：2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。8.=x+yee=y(*=y(*=x=ee即x=+cy是方程的通解，且y=0也是方程的解。,为常数,为常数解：（解：（,ee方程的通解为：y=ee=x(1x+1

5、xxdx+c)解：解：=*=方程的通解为：y=y=x+ln/x/+c当时，方程的通解为y=cx+xln/x/-1当，时，方程的通解为x1y=cx+-1-P,ee方程的通解为：y=ee1xx4x4:dz:dzdz,eeeedz()()eeeeedzedzdzeeeeedzdzeeeeeeeedteeeeeee(ee)eeeec=1e（1）()dddtt=0c=1e20.试证：（1）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）（2.3）（2.3）为任意常数.（1）是（2.28）的任意两个解（1）（2）d是满足方程（2.3）（2）（3）dd()P()()()（4）dy()d

6、y()P()()d(d()P()()()是（2.28）的一个解。2）现证方程（4）的任一解都可写成是(2.28)的一个解（4）-（4）得d(d()P()()（3）是（2.3）的任意两个解（6）于是（5）满足方程（2.3）（5）（6）得d满足方程（2.3）21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。（5）（6）解：设p,p（5）()ge()e)（6）eeee()22求解下列方程。（1）(ee/（2）ee1.()()，=1.MN则MN所以此方程是恰当方程。凑微分，()得：2()，.MN则MN.所以此方程为恰当方程。凑微分，得C33()()解：M()()()()对（1）做的积分，则()

7、N(对（1）做的积分，则()()()则MN.因此此方程是恰当方程。()()()（1）（2）=（3）=d()=则d()对（3）做的积分，则=d()=则d()()()()()()()解：M，.解：M，.u故此方程的通解为4、)NMN则此方程为恰当方程。凑微分，d()d()d()得：C+解：M=+1N=+M=-+N=-+所以，M=N，故原方程为恰当方程因为ee又ee所以，ee又ee所以，e故所求的解为e所以，故所求的解为解：M=e,Ne所以，M=N，故原方程为恰当方程解：ee所以，de即d故方程的解为e解：即即，d故方程的通解为即，d故方程的通解为即，ddd即：d、解：两边同除以得、解：方程可化为：

8、故方程的通解为：即：同时，也是方程的解。、解：方程可化为：故方程的通解为：、解：方程可化为：故方程的通解为：即：方程有积分因子、方程有积分因子解：这里M,N，MNMNN两边乘以得：方程是恰当方程故方程的通解为：故方程的通解为：,、,解：这里MN因为MN故方程的通解为：即：、o解：这里M,NMNMNM方程有积分因子：ee两边乘以得：方程为恰当方程故通解为：e故通解为：eNe即：、解：两边同乘以得：ddd（是连续可导）M故方程的通解为：17M,N,具有形为和的积分因子的充要条件。解：若方程具有为积分因子，MNMNNdd，.MNN令ddzdzdzdNMMdNMdzdz，dNMdz，dzdzdMNdN

9、Md方程有积分因子的充要条件是：是MN此时，积分因子为edz.令dd，dddzdzdzdzdNMdzdz的函数，dNMdzNMdNy此时的积分因子为()eNM.条件是它有仅依赖于的积分因子.证:必要性若该方程为线性方程,则有,此方程有积分因子e,只与有关.充分性若该方程有只与有关的积分因子.则,为恰当方程,从而,d,其中.于是方程可化为即方程为一阶线性方程.设函数，连续、可微且，试证方程则则=+有积分因子证：在方程两边同乘以得：g(g)gg(g)=g=ggg(g)(g)g(g)而而=ug+uxg=+gggggg=ggg(g)(g)故=，所以是方程得一个积分因子假设方程（）中得函数（）满足关系M

10、N=其中分别为和得连续函数，试证方程（）有积分因子()+g()证明：即证uMuNM+M=uN+NMNMN()g()e()g()MN()g()由已知条件上式恒成立，故原命题得证。、求出伯努利方程的积分因子.解：已知伯努利方程为：,o;两边同乘以n，令n，dz,MMM证明：若，则MMM证明：若，则NNNM又MMMee，证毕！、设,是方程M,N,的积分因子，从而求得可微函数,，.,使得Ndy试证,也是方程M,N,.,积分因子的充要条件是,其中是的可微函数。MMMMNN即为M,N,的一个积分因子。即NiMiMN，i,是方程M,即NiMiMN，i,M,N,的通解。证明：因为,是方程M,N,的积分因子i所

11、以o为恰当方程iiii下面只需证的全微分沿方程恒为零事实上：dNNMMNNNNNMMNMNMN即当时，求解下列方程、解：令p，则从而d，于是求得方程参数形式得通解为.、解：令p，则，即从而ddtdtdt，于是求得方程参数形式得通解为.peppepdppep、e解：令p，则pep，从而dpeppp=eppepdppp，于是求得方程参数形式的通解为,ep另外，也是方程的解.、,为常数，解：令，tg从而dptgd，于是求得方程参数形式的通解为于是求得方程参数形式的通解为、解：令p，则，从而.，于是求得方程参数形式的通解为.、解：令，则，得，dddtdt，dt从而dt，于是求得方程参数形式的通解为，因

12、此方程的通解为.duduuduuudduduuuuduuduuuppppppppppduduudueueueduduuduueduuuduuu)(),()p,则p,两边对求导得ppdpdpp,则p,两边对求导得ppppppdpp()(),()(pppp)dp(pp)()dpp,()p(pp,()d解：令p,则）dpd所以方程的解为（)另外由p得也e)e)解：令则解：令则,方程为e)(e,(eeedze,dzeeeee,(e),(e)所以方程的解为,所以方程有积分因子e,所以方程有积分因子eMNMNd所以方程的解为d所以方程的解为即()d解：),两边同除以得解：),两边同除以得,d所以方程的解为

13、即（(),另外也是解。(),所以方程的解为.解：令解：令p,e由得e)eee解：令p则e由得解：令p则e由得e)eee，e)ee（)()解：,MNMN所以方程有积分因子e方程两边同乘e得edede所以方程的解为：eedududu=dudududueeedudue)d()()d()()()dddd()(d*d*/*/*ddu()p,pldd/FmamFmm/mmFmFFFmdtmm(*)(*)eemdtemem(emmkem)emmmk(emmmk(),(*)(*)(*)deeeeeee*dzdzeeeeeedzdzdzdxzdue(e)(en()eneeeneeenden()endzdzeed

14、.dzdzdeeee()()()dz=2dz)eed()bM()()M*L,()g()g()()g()g()g()g()g()g()g()()g(r)()g(r)g()g(r)g(r)g(r)g(r),(,)(,)(,)()(,)(,)(,)（3(,)(,)(,)(,)(,)(,),(,)()(,)(,(,)()(,)(,)(,),(,),(,),(,)(,)2Proof：因,(,),(,)(,),(,)(,)(,)(,)(,)(,),rr时，；rr,rdzrdz,p,(p()(p(),p,p,p()eeppppppp()()p()()(p()(p()ppp,p()(,p()(,)(),Q(,

15、)ppppdppdpdppp,ppdpp,pppppp.ppppdpdppppppp.ppppdppdpdppp.ppppp.ppppdppdpdppppppppp.:,.,.,.,.XYXY.p-.p-p-pp-.bbbbbdtndtndtndnndtndtdtndtnndtn+dtndndtndn+n），（dndtndtndnndndndtndtnndndn+dtndtndnndtndtndtndtndndn+ndde,edtdteddteeee,ee,e,ee,eddteeeee;ee;eeededtdtddtdtdddtdtdteeeddtdteee,ddte,ew,e,eddt,ee

16、eeeee,eeeeeeeeee,ee,eei,niiwwwwww,bwdtndtnii,ndnidnidtnniiiid中第行都乘以，加到最后一行为wwwwwdtww,www,b*,bw,w,bw,w,(*),we,:wedee即：e取得：e,e又：e,bnn+1,n,n:iiiiiiiiiiiiiiiii,n进而有:nn(4)有根，eeeeeei,i,i,ees=es=eea=0,(),s=eeee(4)eeee+i,i,i,eee,eeee,eeei,i,i,eeeeee+ea=-1s=,es=e,s=,+ee+ee-1+i,ieei,(),ee+ei,i,i,=（*）试验证分别是方程组

17、（*）的满足初始条件给定方程组,的解.试验证*的解，其中,是任意常数.=又=o=因此分别是给定初值问题的解.+=+=+=因此是给定方程初值问题的解.将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题：e（e,解：）令x,=得,e即即e又于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：e,其中其中.令则得：且=于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：=,其中.令，则原初值问题可化为：且且ewwww即即ewwwww其中w试用逐步逼近法求方程组解：()的第三次近似解.()试验证试验证=b上是方程组=的基解矩阵。解：令的第一列为,这时解：令的第一列为,这时=故是一个解。同样如果以是一个

18、解。同样如果以表示第二列，我们有=这样也是一个解。因此是解矩阵。又因为=-t故考虑方程组其中是区间b上的连续矩阵，它的元素为(t),i,j=1,2,nij如果(t),x是的任意个解，那么它们的伏朗斯n基行列式(t),x满足下面的一阶线性微分方n程+ann解上面的一阶线性微分方程，证明下面公式：.nn解：解：+.+.=.+=+=.+.整理后原式变为.（+a）（+a）.=（.+a）nn.w=（(t)+awnn由于(t)+a即dw(t)+annnn两边从到积分ww=().()即.)设为区间b上的连续实矩阵，为方程的基解矩阵，而为其一解，试证：对于方程的任一解必有常数；为方程的基解矩阵的充要条件是存在

19、非奇异的常数矩阵，使解=又因为，所以=-=-所以对于方程的任一解必有常数“”假设为方程的基解矩阵，则=+AA+A+A故“”若存在非奇异常数矩阵，使，则=，故所以A即为方程的基解矩阵设为方程（A为（），证明:其中为某一值.证明：（）,是基解矩阵。（）由于为方程的解矩阵，所以的解矩阵，而当t=时，（）故由解的存在唯一性定理，得设分别为在区间b上连续的矩阵和维列向量，证明方程组存在且最多存在n+1个线性无关解。证明：设,x,x是的个线性无关解，是n的一个解，则+,+,x+,都是非齐线性n方程的解，下面来证明它们线性无关，假设存在不全为零的常数n,(I=1,2,n)使得niiiin从而+,+,()+,

20、在()n+,线性无关，所以方程组存在且最多存在n+1n个线性无关解。、试证非齐线性微分方程组的叠加原理：()()()()的解，则是方程组()()()的解。证明：()()（）()()（）分别将),代入（）和（）则()()()()则()()()()()()()()()()()()令即证()()()考虑方程组()，其中是是的基解矩阵；e()e试求试求()的满足初始条件的解。证明：首先验证它是基解矩阵()以表示的第一列()e则()e则()e()故是方程的解()如果以()e我们有()e我们有()e()e故也是方程的解从而是方程的解矩阵又又()eee由常数变易公式可知，方程满足初始条件的解故由常数变易公式

21、可知，方程满足初始条件的解eee而eeeeeeeeee()、试求()，其中满足初始条件eee的解。解：由第题可知的基解矩阵ee则e若方程满足初始条件e()则有则有eeee若eeeee、试求下列方程的通解：,解：易知对应的齐线性方程的基本解组为,这时W(),(由公式得通解为e解：易知对应的齐线性方程的基本解组为().e,e是方程的特征根故方程有形如的根代入得故方程有通解eee解：易知对应的齐线性方程对应的特征方程为故方程的一个基本解组为(),()eW),eeeeeeeee因为,是对应的齐线性方程的解故e也是原方程的一个解故方程的通解为ee、给定方程()其中在上连续，试利用常数变易公式，证明：如果

22、在上有界；如果当时，（当时）。证明：上有界存在使得M,又,是齐线性方程组的基本解组非齐线性方程组的解eeeeeeeeeeeeeeeeeeeMMeeM又对于非齐线性方程组的满足初始条件的解的常数,eeee从而eeM故上面方程的每一个解在上有界时，N当tN时由的结论M,故时，原命题成立、给定方程组（）这里是区间b上的连续矩阵，设是（）的一个基解矩阵，维向量函数在b，上连续，,b试证明初值问题：证明初值问题：()F(,)()（*）的唯一解()()()()(F(,()（*）*）的连续解也是初值问题（）的解。证明：若是（*）的唯一解则由非齐线性方程组的求解公式()()()()()F(,()即（*）的解满

23、足（*）反之，若是（*）的解，则有()()()()()F(,()两边对求导：()()()()()F(,()()()F(,()()()()F(,()F(,()()()()()F(,()F(,()()()F(,()即（*）的解是（*）的解、假设A是矩阵，试证：对任意常数、都有A+AAA对任意整数,都有AA当是负整数时，规定AA证明：（A）（A）（A）（A）AAA时，AAAA（A+）A时，AAA)=A)A)A)A故，都有AA、试证：如果是=A满足初始条件的解，那么A证明：由定理证明：由定理可知(t)(t)(t)-1()()又因为(t)=A,(t)=(A=A),又因为矩阵（A）（A）=（A）（A）所以

24、A）b）d）试计算下面矩阵的特征值及对应的特征向量解：）（EA）=对应于=5的特征向量u=对应于=5的特征向量u=,对应于=的特征向量,对应于的特征向量，（）（EA），对应于的特征向量对应于的特征向量，（）对应于的特征向量，（）（EA）=对应于对应于）对应于的特征向量,（）（EA）=，对应于的特征向量对应于的特征向量，（）对应于的特征向量，（）对应于的特征向量，（）b）d）b）d）解：）（EA）=0得，对应于对应于的特征向量为，（）对应于，（），是对应于，的两个线性无关的特征向量(t)=是一个基解矩阵(t)=是一个基解矩阵eeeAAt=eeeeeeee解得u，v是对应于，的两个线性无关的特征解

25、得u，v是对应于，的两个线性无关的特征向量则基解矩阵为(t)ee则基解矩阵为(t)eeee(0)(0)(0)则expA(t)则expA(t)(0)eeeeeeeec）由（EA）=0得，解得基解矩阵(t)e解得基解矩阵(t)eeeeee(0)(0)则expA(t)(0)eeeeeeeeeeeeeeeeed）由（EA）=0得，ee解得基解矩阵(t)eeee则expA(t)(0)eeeeeeeeeee5、试求方程组=A的基解矩阵，并求满足初始条件b解：a）由第4题（b）知，基解矩阵为ee解：a）由第4题（b）知，基解矩阵为ee()所以eeeeb）由第4题（d）知，基解矩阵为eee(t)eee所以e(t)eeeeeeeeeeeeeeeeeee由（）可知，矩阵A