2021-2022学年北京首都师范大学附属密云中学高三数学文月考试卷含解析

1、2021-2022学年北京首都师范大学附属密云中学高三数学文月考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知单位向量的夹角是，那么=（ ） 参考答案：B 2. 已知集合A=x|y=，集合B=x|x2，AB=（）A0，3B2，3C2，+）D3，+）参考答案：B【考点】交集及其运算【分析】化简集合A，根据交集的定义写出AB即可【解答】解：集合A=x|y=x|3x0=x|x3，集合B=x|x2，则AB=x|2x3=2，3故选：B【点评】本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题目3. 已知函数f（x）=ln（3x）+1，则

2、f（lg2）+f（lg）=( )A1B0C1D2参考答案：D【考点】函数奇偶性的性质；函数的值【专题】函数的性质及应用【分析】判断函数y=ln（3x）的奇偶性，然后求解函数值即可【解答】解：因为函数g（x）=ln（3x）满足g（x）=ln（+3x）=ln（3x）=g（x），函数是奇函数，g（lg2）+g（lg2）=0，所以f（lg2）+f（lg）=f（lg2）+f（lg2）=0+1+1=2故选：D【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，函数值的求法，考查计算能力4. 若函数的图象是如图所示的一个四分之一的圆弧，则函数是（ ） A B C D参考答案：答案：C 5. 已知三个向量，平行，其中分别是的

3、三条边和三个角，则的形状是（ ）A. 等腰三角形 B.等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形参考答案：B略6. 在中，为的重心，过点的直线分别交，于，两点，且，则的最小值（ ）A B C. D参考答案：A7. 如右图，两点都在河的对岸(不可到达)，为了测量两点间的距离，选取一条基线，A、B、C、D在一平面内。测得：，则 ABCD数据不够，无法计算参考答案：A8. 复数，则实数的值是（ ）A B C D参考答案：A略9. 快递员通知小张中午12点到小区门口取快递，由于工作原因，快递员于11：50到12：10之间随机到达小区门口，并停留等待10分钟，若小张于12：00到12：10之间随

4、机到达小区门口，也停留等待10分钟，则小张能取到快递的概率为（）ABCD参考答案：C【考点】几何概型【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是=x|0 x30做出集合对应的线段，写出满足条件的事件对应的集合和线段，根据长度之比得到概率【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是=x|0 x30，而满足条件的事件对应的集合是Ax|0 x20，得到 其长度为20，小张能取到快递的概率是故选：C10. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为（ ）A B C2 D4参考答案：B几何体如图，所以最大面的面积为，选二、 填

5、空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 不等式的解集为_ .参考答案：略12. 已知，则的大小关系是 ， .参考答案：，1； 13. 已知向量=（cos，sin），=（cos，sin），且0，则+与的夹角为参考答案：【分析】由已知得，求出（+）?（）=0得答案【解答】解：=（cos，sin），=（cos，sin），则（+）?（）=，+与的夹角为故答案为：14. 已知函数f(x)= ，则=_.参考答案：2略15. 已知圆的方程为x2 + y2 + ax + 2y + a2 = 0 ，一定点为A（1，2），要使过A点作圆的切线有两条，则a的取值范围为_参考答案：16. 函数在定义域内的零

6、点的个数为 参考答案：2个17. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 .参考答案：.三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本题满分12分） 已知函数，设函数 （1）求证：函数必有零点 （2）若在上是减函数，求实数的取值范围； （3）是否存在整数，使得的解集恰好是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由参考答案：解：-2分-3分所以-4分因为在-1，0是减函数，所以，解得；所以当，因为在-1，0是减函数，所以方程的两根均大于零或一根大于零，另一根小于零，且对称轴-5分所以 或 解得 所以综上所述，实数m的取值范围是； -7分- -8

7、分- -10分 -12分19. 设D是圆上的任意一点，m是过点D且与x轴垂直的直线，E是直线m与x轴的交点，点Q在直线m上，且满足.当点D在圆O上运动时，记点Q的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）已知点，过的直线交曲线C于A，B两点，交直线于点M.判定直线PA，PM，PB的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由.参考答案：（1）；（2）见解析【分析】（1）设点，由条件的线段比例可得，代入圆的方程中即可得解；（2）设直线的方程为，与椭圆联立得得，设，由 ，结合韦达定理代入求解即可.【详解】（1）设点，因为，点在直线上，所以，.因为点在圆：上运动，所以.将式代入式，得曲线的方程为.（2）由题

8、意可知的斜率存在，设直线的方程为，令，得的坐标为.由，得.设，则有，.记直线，的斜率分别为，从而，.因为直线的方程为，所以，所以 .把代入，得.又，所以，故直线，的斜率成等差数列.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，斜率的坐标表示，设而不求的数学思想，考查了计算能力，属于中档题.20. (本小题满分10分)选修:几何证明选讲如图5,四边形是圆内接四边形,、的延长线交于点,且,.() 求证:；() 当,时,求的长.参考答案：()因为四边形是圆内接四边形,所以,1分又,所以,3分而,所以,又,所以.5分()依题意,设,由割线定理得,7分即,解得,即的长为.10分21. 已知椭圆C： =1（

9、ab0）左、右焦点分别为F1，F2，A（2，0）是椭圆的右顶点，过F2且垂直与x轴的直线交椭圆于P，Q两点，且|PQ|=3（1）求椭圆的方程（2）若直线l与椭圆交于两点M，N（M，N不同于点A），若?=0，求证：直线l过定点，并求出定点坐标参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】（1）由椭圆的通径公式求得=3，由a=2，即可求得b的值，求得椭圆方程；（2）当斜率不存在时，代入求得直线与椭圆的交点坐标，由丨MB丨=丨AM丨即可求得m的值；当斜率存在且不为0，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得k与b的关系，即可求出定点坐标【解答】解：（1）令x=c，y=，则椭圆

10、的通径丨PQ丨=3，又a=2，则b=，椭圆的标准方程为；（2）当直线MN斜率不存在时，设lMN：x=m，与椭圆方程联立得：y=，丨MN丨=2=，设直线MN与x轴交于点B，丨MB丨=丨AM丨，即=2m，m=或m=2（舍），直线m过定点（，0）；当直线MN斜率存在时，设直线MN斜率为k，M（x1，y1），N（x2，y2），则直线MN：y=kx+b，与椭圆方程为：联立，得（4k2+3）x2+8kbx+4b212=0，x1+x2=，x1x2=，y1y2=（kx1+b）（kx2+b）=kx1x2+kb（x1+x2）+b2，=（8kb）24（4k2+3）（4b212）0，kR，?=0，则（x12，y1）（

11、x22，y2）=0，即x1x22（x1+x2）+4+y1y2=0，7b2+4k2+16kb=0，b=k，或b=2k，直线lMN：y=k（x）或y=k（x2），直线过定点（，0）或（2，0）舍去；综合知，直线过定点（，0）22. 某校理科实验班的100名学生期2015届中考试的语文数学成绩都不低于100分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：100，110），110，120），120，130），130，140），140，150这100名学生语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示：分组区间100，110）110，120）120，130）130，140）x：y1：22：13：41：1（）估计这100名学生数学成绩的中位数；（）从数学成绩在130，150的学生中随机选取2人，该2人中数学成绩在140，150的人数为X，求X的数学期望EX参考答案：考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图 专题：应用题；概率与统计分析：（）根据这100名学生语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比，即可估计这100名学生数学成绩的中位数；（）根据题意得出X的可能取值，计算对应的概率，求出X的分布列与数学期望即可解答：解：