2022年全国一卷新高考数学题型分类汇编之数列3 中档大题2（含答案）

1、2022年全国一卷新高考题型细分S2-4数列11 中档大题试卷主要是2022年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计174套。题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。比较单一的题型按知识点、方法分类排版；综合题按难度分类排版，后面标注有该题目类型。数列中档大题：（2022年江苏江阴J61）已知数列满足：（1）求、；（2）将数列中下标为奇数的项依次取出，构成新数列，证明：是等差数列；（ 【答案】（1） ； ； （2）证明见解析 ；证明见解析【解析】【分析】（1）根据求解；（2）利用等差数列的定义证明；利用裂项相消法求解.【小

2、问1详解】 【答案】（1） ； ； （2）证明见解析 ；证明见解析【解析】【分析】（1）根据求解；（2）利用等差数列的定义证明；利用裂项相消法求解.【小问1详解】由题意知：， ；【小问2详解】当n为奇数时，n+1为偶数，当时，是以为首项，2为公差的等差数列 由知， ， ，.（2022年江苏J67）已知数列的前n项和为，.（1）求；（ 【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意与之间的关系将用表示，得到，得到是等差数列，进而得到； 【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意与之间的关系将用表示，得到，得到是等差数列，进而得到；（2）化简，利用裂项相消法求和即可

3、证明.【小问1详解】因为，所以， 故，及，所以是首项为，公差为1的等差数列， 故，则.【小问2详解】因为，（，），所以（，）.又符合上式，所以. 因为，所以， 所以.（2022年福建福州一中J04）设数列的前n项和为，.（1）证明：为等差数列；（ 【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据，即可得到，从而得到，作差即可得到，从而得证；（2）由（1）可得的通项公式，从而得到，再利用错位相减法计算可得；【小问1详解】证明：因为时，则，即，因为 【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据，即可得到，从而得到，作差即可得到，从而得证；（2）由（1）可得的通项公式，从而得

4、到，再利用错位相减法计算可得；【小问1详解】证明：因为时，则，即，因为，则，所以，则得，即，所以为等差数列.【小问2详解】解：由（1）可得首项为，公差为，所以，所以，所以，则，记的前n项和为，则，所以，则得，所以，所以.（2022年广东开平J33）(12分) 已知数列满足(1)求证：数列为等差数列；（ 答案：(1)证明：，令，则， 2分设，则， 4分 5分又， 答案：(1)证明：，令，则， 2分设，则， 4分 5分又，6分，即，所以数列为以1为首项，2为公差的等差数列 7分(2)解：由(1)知，8分则，9分，10分由有，有，11分所以的最小值为512分（2022年广东六校联考J34）已知正项数

5、列满足前项和满足.(1)求数列的通项公式；（ 【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)由化简可知是以为首项，公差为的等差数列，进而求得.(2)由可知，进而求得.【小问1详解】由可得 【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)由化简可知是以为首项，公差为的等差数列，进而求得.(2)由可知，进而求得.【小问1详解】由可得 即：，是以为首项，公差为的等差数列当时，当时，所以：【小问2详解】当时，当时，由可得： 由-得：当时，当时，当时，综上，（2022年山东泰安一模J09）已知各项均为正数的等差数列，成等比数列.（1）求的通项公式；（ 【答案】（1）； （2）证明见解析；【解析】【分析】（1）

6、由已知结合等差数列的通项公式及等比中项定义，代入即可求解；（2）利用放缩法可知，代入结合对数的运算公式即可证得结论.【小问1详解】设数列的公差为，且由已知得，整理得即，解得或 【答案】（1）； （2）证明见解析；【解析】【分析】（1）由已知结合等差数列的通项公式及等比中项定义，代入即可求解；（2）利用放缩法可知，代入结合对数的运算公式即可证得结论.【小问1详解】设数列的公差为，且由已知得，整理得即，解得或（舍），所以的通项公式为【小问2详解】，（2022年山东淄博一模J18）已知数列满足：，且设（1）证明：数列为等比数列，并求出的通项公式；（ 【答案】（1） （2）数列的前2n项和为【解析】【

7、分析】（1）根据数列的递推公式可得，由此构造数列，进而证明结论； 【答案】（1） （2）数列的前2n项和为【解析】【分析】（1）根据数列的递推公式可得，由此构造数列，进而证明结论；（2）根据数列的递推公式可得数列的偶数项与奇数项之间的关系，由（1）可得数列的奇数项的通项公式，利用等比数列的求和公式，进而求得答案.【小问1详解】由题意可知：，故，即，故是以为首项，以 为公比的等比数列，且 ，故【小问2详解】由（1）知，,即，由题意知： ，故 ，故数列的前2n项和 .（2022年山东猜想J54）已知是数列的前n项和，且当时，成等差数列（1）求数列的通项公式；（ 【答案】（1）； （2）.【解析】【

8、分析】（1）利用与的关系求出通项公式即可（2）利用累乘法求出的前项积的表达式，列出关于的方程，解出即可【小问1详解】 【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）利用与的关系求出通项公式即可（2）利用累乘法求出的前项积的表达式，列出关于的方程，解出即可【小问1详解】由题意知当时，整理得，由，经检验，也符合当时，由也满足，数列通项公式为【小问2详解】由（1）得，由，得.（2022年广东茂名J03）已知数列an满足a1=2，(1)求a2，a3，a4；（ 解：(1)a1=2，anan1=2 解：(1)a1=2，anan1=2(1)n+n，a2=a121+2=8，a3=a221+3=28，a4=a

9、321+4（2022年广东潮汕名校联考J05）已知数列，的前n项和为（ 【答案】（1）证明见解析 （2）（1）证明：当时，有（2）已知，求数列的前n项和（拓展，中档，未；） 【答案】（1）证明见解析 （2）（2022年广东佛山二模J09）已知数列的前n项和为，且满足（1）求、的值及数列的通项公式：（ 【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）利用给定条件建立方程组求解得、，再变形递推公式求出即可计算.（2）由（1 【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）利用给定条件建立方程组求解得、，再变形递推公式求出即可计算.（2）由（1）的结论，对裂项，利用裂项相消法计算作答.【小问1详解】

10、因，取和得：，即，解得，由得：，数列是首项为，公差的等差数列，则，即，当时，而满足上式，因此，所以，数列的通项公式.【小问2详解】由（1）知，当时，因此，则，满足上式，所以.（2022年广东广州三模J14）已知递增等差数列满足，数列满足.（1）求的前n项和；（ 【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据等差数列公式，列出方程组，求得的hi，得到，进而求得，得到答案.（2）由（1）得到，化简得到，代入数据计算得到答案.【详解】（1）设数列公差为 【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据等差数列公式，列出方程组，求得的hi，得到，进而求得，得到答案.（2）由（1）得到，化简得到，

11、代入数据计算得到答案.【详解】（1）设数列公差为，由，解得或（舍去），所以，则，即，所以，所以数列的前n项和.（2）由（1）知，又由，.【点睛】本题考查了等差、等比数列通项公式，等比数列的前和公式，以及“分组法”求和的应用，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和求和公式，以及合理利用“分组法”求和，准确计算是解答的关键，注重考查推理与运算能力，属于中档试题.（2022年广东顺德三模J12）设各项非零的数列的前项和记为，记，且满足（1）求的值，证明数列为等差数列并求的通项公式；（ 【答案】（1）；证明见解析； （2）【解析】【分析】（1）依据题意列出关于的方程即可求得的值，依据等差数列的定义去

12、证明数列为等差数列，进而求得的通项公式；（2）先求得数列的通项公式，再分类讨论去求数列的前项和【小问1详解】由题意可知，且 【答案】（1）；证明见解析； （2）【解析】【分析】（1）依据题意列出关于的方程即可求得的值，依据等差数列的定义去证明数列为等差数列，进而求得的通项公式；（2）先求得数列的通项公式，再分类讨论去求数列的前项和【小问1详解】由题意可知，且，解得：或（舍去）又当时，所以有化简得：，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列所以【小问2详解】由(1)可知当时，当时，则，当是奇数时，当是偶数时，综上所述：（2022年广东汕头一模J22）已知数列的前n项和为，.（1）证明：数列为等比数

13、列，并求数列的前n项和为；（ 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先求出，然后将的换成，与原式相减可得，从而可得 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先求出，然后将的换成，与原式相减可得，从而可得即可证明，求出通项公式， 再分组可求和.（2）先求出，可得出，裂项相消法求和，可证明.【小问1详解】当时，即 由，则两式相减可得，即所以，即数列为等比数列则，所以则【小问2详解】所以（2022年广东梅州二模J20）已知是数列的前项和，_.，；数列为等差数列，且的前项和为.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：（1）求；（ 【答案】（1）条件选择见解析， （2）【解析】【分析】（1）选，分析可知数列、均为公差为的等差数列，求出的值，可求得、的表达式，可得出数列的通项公式；选，求得的值，可得出数列的公差，即可求得，再由可求得数列的通项公式；（ 【答案】（1）条件选择见解析， （2）【解析】【分