李雅普诺夫判据

1、一、背景介绍从经典控制理论可知，线性系统的稳定性只决定于系统的结构和参数而与系 统的初始条件及外界扰动的大小无关。但非线性系统的稳定性则还与初始条件及 外界扰动的大小有关。因此在经典控制理论中没有给出稳定性的一般定义。李雅 普诺夫第二法是一种普遍适用于线性系统、非线性系统及时变系统稳定性分析的 方法。李雅普诺夫给出了对任何系统都普遍适用的稳定性的一般定义。李雅普诺夫第二方法可用于任意阶的系统，运用这一方法可以不必求解系统 状态方程而直接判定稳定性。对非线性系统和时变系统，状态方程的求解常常是 很困难的，因此李雅普诺夫第二方法就显示出很大的优越性。它的基本思路不是 通过求解系统的运动方程，而是通

2、过借助与一个李雅普诺夫函数来直接对系统平 衡状态的稳定性做出判断。它是从能量观点进行稳定性分析的。如果一个系统被 激励后，其储存的能量随着时间的推移逐渐衰落，到达平衡状态时，能量将达最 小值，那么，这个平衡状态是渐进稳定的。但是，由于系统的复杂性和多样性，往往不能直观地找到一个能量函数来描 述系统的能量关系，于是李雅普诺夫定义一个正定的标量函数V(x),作为虚构 的广义能量函数，然后，根据V(x) = d(x)/dt的符号特征来判别系统的稳定性。 对于一个给定系统，如果能找到一个正定的标量函数V(x),而V(x)是负定的， 则这个系统是渐进稳定的。这个V(x)叫做李雅普诺夫函数。设V(x)为由

3、n维矢量x所定义的标量函数,，且在X6。处，恒有V(x) = 。所有在 域Q中的任何矢量x,如果:V(X)0则称V(x)为正定的。V(X)20，则称(x)为半正定。V(X)vO,则称V(x)为负定的。V(X)0则称V(x)为半负定的。V(X)。或V(X)。，则称V(x)为不定的。、问题用李雅普诺夫第二法来研究下面的系统是否稳定22 1)1、a=det(A)a=2由上可得原点是系统唯一的平衡点11 P12 P】3、设？= P：1 P22 P?3，Q=I，将上式带入ArP + PA=-I中可以求出P。A=-1,2, 1;-2, 0, 1；-1, -1, 0;B=1 0 0:C=l 1 1;D= 0

4、;Q=eye (3);P=lyap(A0)-0.7500 -0.2500 -0.5000P= -0.2500 -0.7500 0.0000-0.5000 0.0000 -2.0000由于Ai0,由希尔维斯特判据可知，P (即V(x)不是正定的，所以原系 统不是渐近稳定，只在李亚普诺夫意义下稳定。2、设计稳定器U正定标量函数为：V(x) = xf+E+，沿任意轨迹求V(x)的对时间的导数为：V(x) = 2Xo x2+ 2x3,& = 2为 + 2x3 + x3 + u其中将系统方程改写为，x2 = -2Xi + x3 , 为=一而一 X?得到：V(x) = 4* + 2%u,要使得系统是稳定的

5、，则必须要使寸(x)恒小于0 (为负定)，取u = -4内,可得寸(x) = -2蚌将上式带入ArP + PA=-I中可以求出Po0.7500 -0.5500 0.1000-P= -0.5500 1.5500 -0.6000 , Ai 0,A2 0,A3 0,贝lj V(x)为正定。0.1000 -0.6000 1.2000通过以上的计算可知施加控制器U = -4为后，经校正后的系统是稳定的。3、结构图在Mat 1 ab中利用simulink搭建框图进行仿真。X1X2X3 偷图1输入输出波形如下：n aIiIiIiIiIiIiIiIiII/f f)0. . . 广 .JII f f f f f

6、 f f ,1 1 10.20.n 9iiiiiiiiiiiiiiiiiwr. J 0Fime offset1020304050607080901(:0HR/ /v.Un -i f*fIUJI R .:.iiiiI11010M3J4050ED7080ire offset D0K10控制器U波形如下:M 2 -1 RL1 . w1 -0.5 -n _.I:I:I:I:I:I:I:I:I:I0102030405060708090100Ime offset: 0误差曲线如下:n 90111iiiIiiiiiif0.2. f f f f f f f I0.4 J 1 1.1.:0.61,-0.811.2.1 4iiiiiiiiiii1*)102030405060708090100Time offset: 0图5四、结论由希尔维斯特判据可判定原系统是不稳定的，施加控制器后，由希尔维斯特 判据可判定经校正后的系统是稳定的，由仿真结果可以证实。不稳定的系统可以 通过加控制器U,使系统最终趋向渐近稳定，成为稳定的系统。由上可知，李雅 普诺夫第二法的关键在于寻找一个满足判据条件的李雅普诺夫函数V（x）。五、参考文献刘豹 唐万生.现代控制理论