高中选1·3函数的极值与导数207 完整版课件

1、13.2函数的极值与导数（2）14 九月 2022一、复习引入： 1. 常见函数的导数公式：2.法则1 法则2 法则3 3.复合函数的导数： 4.复合函数求导的基本步骤是： 分解求导相乘回代 5. 函数的导数与函数的单调性的关系： 设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数.6.用导数求函数单调区间的步骤： 求函数f(x)的定义域 和导数f(x). 令f(x)0解不等式，得x的范围就是递增区间. 令f(x)0解不等式，得x的范围，就是递减区间 .7.极大值： 一般地，

2、设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点.8.极小值： 一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点.9.极大值与极小值统称为极值 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.请注意以下几点：（）函数的极值不是唯一的. 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.（）极值是一个局部概念. 由定义，极值只

3、是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小. 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（）极大值与极小值之间无确定的大小关系. 即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示， 是极大值点，是极小值点，而 ax1x2x3x4x5bxOf(x1)f(x2)f(x4)f(x3)f(a)f(x5)f(b)（）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点. 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点我行 我能 我要成功 我能成功渐入佳境篇探索: x =0是否为函数f(x)=x3的极值点?x yOf (x)x3 若寻找可导函数极值点,可否只由f(x)=0

4、求得即可? f(x)=3x2 当f(x)=0时，x =0，而x =0不是该函数的极值点.f(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点 x0左右侧导数异号 f(x0) =0 x0 是函数f(x)的极值点10. 判别f(x0)是极大、极小值的方法:13. 求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f(x) (2)求方程f(x)=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(

5、x)在这个根处无极值.二、讲解范例：例1 （1）对可导函数，在一点两侧的导数异号是这点为极值点的( )A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C. 充要条件（2）导数为0的点都是极值点吗？提示：不一定yf(x)在xx0及附近有定义，且f(x0)0，yf(x)是否在xx0处取得极值，还要看f(x)在x0两侧的符号是否异号例如f(x)x3，由f(x)3x2知f(0)0，但x0不是f(x)x3的极值点我行 我能 我要成功 我能成功感受高考 （2006年天津卷)函数 的定义域为开区间导函数 在 内的图像如图所示，则函数在开区间 内有（ ）个极小值点。 A.1 B.2 C

6、.3 D. 4A注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别x1x2x3考点一求已知函数的极值考点突破考点二函数极值的逆向应用已知函数解析式，可利用导数及极值的定义求出其极大值与极小值；反过来，如果已知某函数的极值点或极值，也可利用导数及极值的必要条件建立参数方程或方程组，从而解出参数，求出函数解析式例2X(，)(，1)1(1，)f(x)00f(x)递增极大值递减极小值递增【思维总结】已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求

7、解后必须验证根的合理性我行 我能 我要成功 我能成功 案例分析 函数 在 时有极值10，则a，b的值为（ ）A、 或 B、C、 D、 以上都不对 C解:由题设条件得：解之得注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件注意代入检验 通过验证，只有 合要求，故应选择C。 变已知f(x)ax5bx3c在x1处的极大值为4，极小值为0，试确定a、b、c的值分析本题的关键是理解“f(x)在x1处的极大值为4，极小值为0”的含义即x1是方程f(x)0的两个根且在根x1处f(x)取值左右异号解析f(x)5ax43bx2x2(5ax23b)由题意，f(x)0应有根x1，故5a3b，于是f(x)5ax2

8、(x21)(1)当a0时，x(，1)1(1,0)0(0,1)1(1，)y000y极大值无极值极小值点评紧扣导数与极值的关系对题目语言进行恰当合理的翻译、转化是解决这类问题的关键变式训练2(2011年高考重庆卷)设f(x)x3ax2bx1的导数f(x)满足f(1)2a，f(2)b，其中常数a，bR.(1)求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)设g(x)f(x)ex，求函数g(x)的极值解：(1)因为f(x)x3ax2bx1，故f(x)3x22axb.令x1，得f(1)32ab，由已知f(1)2a，因此32ab2a，解得b3.又令x2，得f(2)124ab，由已知f(2)b，(2)

9、由(1)知g(x)(3x23x3)ex，从而有g(x)(3x29x)ex.令g(x)0，得3x29x0，解得x10，x23.当x(，0)时，g(x)0，故g(x)在(0,3)上为增函数；当x(3，)时，g(x)0)解析由f(x)x33x22得f(x)3x(x2)，令f(x)0得x0或x2.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值由此可得：当0a1时，f(x)在(a1，a1)内有极大值f(0)2，无极小值；当a1时，f(x)在(a1，a1)内无极值；当1a3时，f(x)在(a1，a1)内有极小值f(2)6，无极大值；当a3时

10、，f(x)在(a1，a1)内无极值综上得：当0a1时，f(x)有极大值2，无极小值；当1a3时，f(x)有极小值6，无极大值；当a1或a3时，f(x)无极值点评判断函数极值点的注意事项(1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间(a，b)上的单调函数没有极值(3)导数不存在的点也有可能是极值点，如f(x)|x|在x0处不可导，但由图象结合极小值定义知f(x)|x|在x0处取极小值对可导函数, f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件 极值点也可以是不可导的.因此,f/(x0)=0是

11、f(x)在x0处取得极值的既不充分也不必要条件(4)在函数的定义区间内可能有多个极大值点或极小值点，且极大值不一定比极小值大(5)在讨论可导函数f(x)在定义域内的极值时，若方程f(x)0的实数根较多时，应注意使用表格，使极值点的确定一目了然(6)极值情况较复杂时，注意分类讨论我行 我能 我要成功 我能成功变式训练 函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值，又有极小值，则a的取值范围为 。注意：导数与方程、不等式的结合应用考点三函数极值的综合应用极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的

12、思想在解题中的应用在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键例3设函数f(x)x36x5，xR.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)a有三个不同的实根，求实数a的取值范围【思路点拨】(1)利用导数求单调区间和极值(2)由(1)的结论，问题转化为yf(x)和ya的图象有3个不同的交点，利用数形结合的方法求解【思维总结】用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数变式训练3已知a为实数，函数f(x)x33xa.(1)求函数f(x)的极值，

13、并画出其图象(草图)；(2)当a为何值时，方程f(x)0恰好有两个实数根？解：(1)由f(x)x33xa，得f(x)3x23，令f(x)0，得x1或x1.当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.所以函数f(x)的极小值为f(1)a2；极大值为f(1)a2.由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示(2)结合图象，当极大值a20时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)0恰有两个实数根，所以a2满足条件；当极小值a20时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)0恰好有两个实数根，所以a2满足条件综上，当a2时，方程恰有两个实数根1. 判别f(x0)是极大、极小值的方法:2. 求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f(x) (2)求方程f(x)=0的根 (3)用函数的导数