高考试题数学理山东卷解析版

1、2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学理本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：.答卷前，考生务必用毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.第R卷必须用毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要

2、求作答的答案无效.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B互斥，那么RA+B)=P(A)+P(B);如果事件AB独立，那么P(AB)=P(A)P(B).第I卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1)若复数z满足2zz32i,其中i为虚数单位，则z=(A)1+2i(B)12i(C)12i(D)12i【答案】B考点：注意共腕复数的概念.(2)设集合Ay|y2x,xR,Bx|x210,则AUB二(A)(1,1)(B)(0,1)(C)(1,)(D)(0,)【答案】C【解析】试

3、题分析：Ay|y0,Bx|1x1,则AUB(-1,+),选C.考点：本题涉及求函数值域、解不等式以及集合的运算.(3)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5,30,样本数据分组为20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于小时的人数是(A)56(B)60(C)120(D)140【答案】D【解析】试题分析：自习时间不少于225小时为后三组，其频率和为(0.16+0.08+0.04)比2.5=0.7,故人数为200工07=140大j选a考点：频率分布

4、直方图gx+y?2,(4)若变量x,y满足?2x-3y?9,则x2+y2的最大值是梃0,(A)4(B)9(C)10(D)12【答案】C【解析】试题分析：不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,x2y2表示点(x,y)到原点距离的平方，最大值必在顶点处取到，经验证最大值为2一、，OC10,故选C.考点：线性规划求最值一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为(A)1(B)1巫冗(C)1匹冗(D)1叵冗3333366【答案】C1解析】试题分析；由三视图可知上面是半径为号的半琳t体积为或=华，下面是底面积为L高为1的四犊锥:体

5、积匕=khl=L故选二33考点：根据三视图求几何体的体积.(6)已知直线a,b分别在两个不同的平面%B内.则直线a和直线b相交”是平面a和平面B相交”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：直线a与直线b相交，则,一定相交，若，相交，则a,b可能相交，也可能平行，故选A. TOC o 1-5 h z 考点：直线与平面的位置关系；充分、必要条件的判断.(7)函数f(x)=(73sinx+cosx)(33cosx-sinx)的最小正周期是,八、冗，、，-、3冗，、(A)(B)兀(C)一(D)2九 HYPERLINK l book

6、mark6 o Current Document 22【答案】B【解析】试题分析：fx2sinx-2cosx-2sin2x一，故最小正周期6632一，T一，故选B.2考点：三角函数化简，周期公式(8)已知非零向量m,n满足41ml=3|n|,cos=1n,(tm+n),则实3数t的值为 TOC o 1-5 h z ,、一一99(A)4(B)Y(C)9(D)-944【答案】B考点：平面向量的数量积(9)已知函数f(x)的定义域为R.当x0,b0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,abAB,CD的中点为E的两个焦点，且2AB|二3|BC|,则E的离心率是.【答案】2【解析】试题分析:假设点工在第一

7、象限1点5在第二象限冽A仁区)jB&-马了似|AB|三史-/BC|=2cj事aa由21ABi=3旧C|,1=1十1/得离心冬=2或仁=舍去所以的离心率为工考点：双曲线的几何性质，把涉及到的两个线段的长度表示出来是做题的关键(14)在-1,1上随机地取一个数k,则事件“直线尸kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为.【答案】34【解析】试题分析：直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交，需要满足圆心到直线的距离小于半径，3即dJ5kL3,解得3k3,而k?1,1,所以所求概率p=29-.1k24424.考点：直线与圆位置关系；几何概型(15)已知函数f(x)可,xm其中m0,若存在实数

8、b,使得关于x的方x2mx4m,xmi,程f(x)=b有三个不同的根，则m的取值范围是【答案】(3,)【解析】试题分析：由题意画出函数图像如下图所示，要满足存在实数b,使得关于x的方程(3,).tanBcosAf(x)=b有三个不同的根，则4mm2m,解彳mm3,(3,).tanBcosA考点：分段函数，函数图像，能够准确画出函数的图像是解决本题的关键三、解答题：本答题共6小题，共75分.(16)(本小题满分12分)tanA在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(tanAtanB)cosB(I)证明：a+b=2c;学优高考网(H)求cosC的最小值.1【答案】(I)见解析；(

9、H)122 , 2 a b2 , 2 a ba b 22ab3 b a 118ab 422.22abc所以cosC2ab当且仅当ab时，等号成立.故cosC的最小值为-.2考点：两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理、余弦定理及基本不等式.(17)(本小题满分12分)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆。的直径，EF是上底面圆。的直径，FB是圆台的一条母线.(I)已知G,H分别为EC,FB的中点，求证：GH/平面ABC;(II)已知EF=FB=1AC=2g,AB=BC.求二面角FBCA的余弦值.【答案】(I)见解析；(R)7【解析】试题分析：(I)根抿线线、面面平行可得与直线G7/与平面.必C平行

10、；(II)解注一建立空间直角坐标系求解3C2)找到上和的为二面鱼尸-3仁-/的平面角直接求解.试题解析士AA(D设汽?的中点为L连接田：在ACEF因为G是CE的中息，所以GJ7/EE又EF/C%所以G1/0B,在皿中，因为H是用的中点，所以即BC,又mcGT二所以平面(7印平面加C,因为GH仁平面GHZ,所以GH平面上5c(II)解法一：连接OO,则OO平面ABC,又ABBC,且AC是圆。的直径，所以BOAC.可得平面BCF可得平面BCF的一个法向量m ( 1,1,3),ir r 所以cos m, nir r 所以cos m, n所以二面角FBC A的余弦值为7r因为平面ABC的一个法向量n(

11、0,0,1), TOC o 1-5 h z irr_mn.7-tr-r-|m|n|7解法二：考点：空间平行判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力(18)(本小题满分12分)已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n,bn是等差数列，且anbnbn1.(I)求数列bn的通项公式；(n)令Cn回1)n：求数列Cn的前n项和Tn.(bn2)n【答案】(I)bn3n1；(n)Tn3n2n2.【解析】试题分折：(I)根据为=及等差数列的通项公式求解J(1D根据1:知数列上的通项公式.再用错位用出麻去求其前R项和.试题解析，(I)由题意当心2时,小=8足=量+5?当力三1时a(7三S三

12、L1,所以4=6M+5.设数列比的公差为3，由:，即L7；-3可解得&=44=3Ja2b24-i317=24+3q所以以=3x+1n1,(n)由(I)知Cn(6n6)n3(n1)2n1,(3n3)n又TnGC2C3Cn，得Tn3222323424(n1)2n1,_345n2_2Tn3223242(n1)2,两式作差，得所以Tn3n2n2考点：数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；错位相减法(19)(本小题满分12分)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没

13、猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是2,乙每轮4猜对的概率是2；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设3“星队”参加两轮活动，求：(I)“星队”至少猜对3个成语的概率；学优高考网(n)“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望ex【答案】(I)25)分布列见解析，EX2336【解析】试题分析：(I)找出“星队“至少猜对3个成语所包含的基本事件,由浊立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解jUI)由题意j随机变量尤的可育撤值为0(1,2,3,4,也由事件的浊立性与互斥性，得到的分布列，根抿期望公式求解.试题解析；(I)记事件A：“甲第一轮晴对力记事件B:“乙第一

14、轮猜对力记事件C:“甲第二轮晴对匕记事件D:乙第二轮晴对1记事件E:星队至少猜对3个成语”.由题意，E=ACDABCD+ABCD-.4BCD-FASCD.由事件的独立性与互斥性，尸(区)二P(ABCD)tP(初8)十PABCDABCD-P.IBCD=尸(P(2)尸(C)尸(D)”(司P尸(C)P(D)+P(尸(町P(C)F(D)+P(X)P网PCP(切+产(/)?伊IP(。PD4232c“2M23132)=XXX+2xXXx-+XXXI4343143434343)?2-3所以黑星队”至少将对3个成语的概率为-.3(H)由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性

15、，得 TOC o 1-5 h z 11111434314431111211105PX12_-313131121231121225144434343431443131311212311212251444343434343321111321,434343431232313212605PX42=4343434314412可得随机变量X的分布列为X012346P所以数学期望EX01A253-4-6-23.14472144121246考点：独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；分布列和数学期望2x 1,a xR.（2x 1,a xR.已知f（x）axInx（I）讨论f（x）的单调性;3（II）当a

16、1时，证明f（x）fx3对于任息的x1,2成立.【答案】（I）见解析；（H）见解析当 当 a 0, x (0,1)时,f/(x) 0, f(x)单调递增;x(1,)时,f/(x)0,f(x)单调递减.当 当 a 0 时，f/(x)综上所述,当a0时，函数f（x）在（0,1）内单调递增，在（1,）内单调递减;当0a2时，f（x）在（0,1）内单调递增，在（1，：）内单调递减，在（，：，）内单调递增；当a2时，他）在（0,）内单调递增；当a2,f（x）在（0,/2）内单调递增，在（J2,1）内单调递减，在（1,）内单调递增.a.a（H）由（I）知，a1时，考点：利用导函数判断函数的单调性；分类讨论思想(21)(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2-y_iab0?的离心率是,抛物线E：ab2x22y的焦点F是C的一个顶点.(I)求椭圆C的方程；(II)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A,B,线段AB的中点为D,直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.(i)求证：点M在定直线上；(ii)直线l与y轴交于点G,记4PFG的面积为APDM的面积为S2,求的S2最大值及取得最大值时点P的坐标.22.一.S9.一.【答案】(I)x24y21;(n)(i)见解析；(ii)丁的最大值为，此时点P TO