16-双曲线及其标准方程

1、教 案授课日期授课班级授课课时授课形式授课章节名 称双曲线及其标准方程使用教具教学目的1、使学生掌握双曲线的定义，理解双曲线标准方程的推导过程，能根据条件确定双曲线的标准方程。2、在与椭圆的类比中掌握双曲线的标准方程的推导方法，增强合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、数形结合思想解决问题的能力。教学重点双曲线的定义和双曲线的标准方程。教学难点双曲线标准方程的推导。内容更删课外作业教学后记学生已经学过椭圆的定义和标准方程，对“曲线与方程”的内在联系(数形结合思想的具体表现)，在“椭圆的方程”一节中有过一次感性认识。但由于学生比较了解椭圆的性质，从“曲线与方程”的内在联

2、系角度来看，学生并未真正有所感受，缺少理性的思考；学生对学习数学有一定的热情，能在老师的引导下展开学习活动；但对学习缺乏主动性，在学习过程中对自己的学习进行调节、监控的能力较弱；学生“听”的能力较差，抽象思维水平较低，但习惯于直观性较强的学习方式。授课主要内容或板书设计教 学 过 程过程具体内容与呈现形式教 师 活 动学 生 活 动设 计 意 图复习导入复习提问：椭圆的定义：PF1+PF22a（大于F1F2）焦点F1、F2 焦距F1F22c椭圆的标准方程。焦点在轴上：焦点在轴上：点评学生作答的情况。学生集体回顾所学的知识，并举手回答。以旧知来调动学生的学习积极性，激发他们的学习兴趣。探究新知探

3、究：如果把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离之差”，那么点的轨迹会发生什么变化？创设情景，引入新课已知定点和，定圆的圆心为，且半径为，动圆过定点，且与定圆相切。（1）若，试求动圆圆心的轨迹；（2）若，试求动圆圆心的轨迹。1、满足椭圆的定义，所以得到的轨迹是一个以、为定点，为定长的椭圆。2、即圆心的轨迹我们称之为双曲线。打开几何画板，创设情景，在黑板上板书本节课题：2.2椭圆及其标准方程：结合几何画板演示分析观察几何画板的演示，仔细思考老师提出的问题；学生进行发散性思维； 思考后回答问题，根据求曲线的利用课件生动形象的演示提高学生学习兴趣、激活学生思维、加深概念理解。使学生的注意、记忆、思维凝聚

4、在一起，加强学生对椭圆形象的认识，提高参与程度，为后续学习做好准备。新课讲授双曲线的定义：归纳，形成概念：对比椭圆的定义回答下列问题，在双曲线形成的过程中，哪些量是固定不变的？哪些量是变化的？你能否发现动点运动的某些规律？让学生寻找在已知两个定点条件下的有规律的动点运动，从而得出双曲线的定义。巩固概念：1）为什么常数要小于|F1F22）如果去掉绝对值会如何？概念巩固练习已知F1(-8,3), F2(2,3)动点P满足PF1-PF2=10，则P点的轨迹是（ ）A 双曲线 B双曲线的一支 C射线 D 直线如果把10改为12或者8会如何？如果加上绝对值如何？用课件展示其结果。创设一些学生感兴趣的问题

5、情境；对学生的作答情况进行点评；总结双曲线的定义：平面上两个定点、的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。板书：定义：常数（小于F1F2）2a焦点F1、F2 焦距F1F2=2c认真观察计算机的演示；进行讨论分析，根据讨论的结果，回答老师提出的问题；归纳总结双曲线的定义；对双曲线的定义进行深层次的思考。引导学生把椭圆的定义与双曲线的定义进行类比；注重概念形成过程，通过一个个的问题，使学生的整个学习过程成为“猜想”，让学生从感性认识自然过渡到理性认识，培养学生的观察、归纳、概括能力。在给出定义后，通过设问让学生加深对双曲线

6、定义中的关键词汇的理解，进一步强化双曲线定义，真正使学生理解定义的内涵和外延。xyxyOF1F2P推导过程：取过F1、F2的直线为X轴，线段F1F2的垂直平分线为Y设双曲线的焦距F1F2为2c（c0）、常数为2（a0,b0) 。xyOF1F2P问：等式类比椭圆中xyOF1F2P若以两定点的连线为Y轴，其垂直平分线为X轴，则双曲线的焦点在y轴上，那么双曲线的标准方程为： 2、小结两种类型的双曲线方程：比较椭圆的焦点分别在X轴上与Y轴上的两个图象，通过学生讨论，类比它们方程的标准形式的区别与特点，对比总结。问：1。标准方程所表示的双曲线，其图形有什么特征？2如何根据标准方程，判断焦点位置？（看符号

7、）。3a,b,c的关系？焦点在X轴： F1（-c,0）、F2（c,0） 焦点在Y轴： F1（0,-c）、F2（0,c）【关系】根据标准方程判断焦点位置的方法：看符号。建立直角坐标系，强调其美观性；利用幻灯片演示双曲线标准方程的推导过程； 创设一些学生感兴趣的问题情境，采用启发式提问学生； 引导学生注意观察，对比归纳双曲线的标准方程中a、b、c之间的关系。通过类比的方法，推导焦点在y轴的双曲线的标准方程；以激励的语言鼓励学生积极回答问题，并对学生的回答进行归纳；巡堂指导学生思考、分析；引导学生进行讨论，分析两种类型的双曲线方程的异同点；并给出根据标准方程判断焦点位置的方法；认真听讲，积极思考，仔

8、细观察；一边认真听讲，一边思考，或个别讨论；集体回答或个别回答问题；通过思考、分析，回答问题，把双曲线标准方程中的a、b、c的关系与椭圆中a、b、c关系进行类比，注意区别在椭圆的标准方程中是a 大，双曲线的标准方程中是c大。按照教师所提出的要求进行思考；借助图形的直观性，利用类比的方法进行讨论，分析焦点在X轴上与Y轴上两种方程的标准形式的区别与特点，得出结论；学生回答讨论结果，其他学生认真倾听、积极思考；教学生学会建立适当的坐标系，构造数与形的桥梁，学会用解析的方法来解决问题，渗透数形结合的数学思想。在化简方程时，让学生体会数学美中简洁性和对称性，来突破难点，体现对称的思想；按学生思维的方式，

9、由易到难组织教学，逐层剖析，利于学生全面掌握。通过对比总结，强化不同类型的方程的异同，从而深化学生对双曲线标准方程的理解。通过讨论，学生自主学习，构建新的知识体系，不但能学习到真正属于自己的、可灵活运用的知识，而且在此过程中掌握求知的方法；通过讨论，利用类比的方法来深化学生对双曲线标准方程的理解。运用新知【例1】已知双曲线两个焦点的坐标为、，双曲线上一点P到、的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。 变式将例1中条件“绝对值”去掉，结论又是如何？（提问）(分析后显示过程)【例2】已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点、的坐标分别为，求双曲线的标准方程。【变式】已知双曲线的焦点在坐标轴

10、上，并且双曲线上两点、的坐标分别为，求双曲线的标准方程。（分情况讨论）【练习】（1）一边两个端点是和，顶点A满足，求A的轨迹方程。（2）一边的两个端点是和，另两边所在直线的斜率之积是，求顶点A的轨迹。引导学生分析题目，并对完成情况给予点评；注意讨论的进程，根据情况作出及时的指导或提出新的要求；例1由学生自主分析，独立完成；一边认真听讲，一边思考，同学之间相互讨论、辨析；通过变式训练来强化概念，开拓学生的思维，训练学生思维的严谨性；让学生扮演教师的角色，体验命题心理，培养主动梳理、运用知识的意识和数学语言表达能力；归纳小结1两种类型的双曲线方程的比较（注意板书内容）2总结判断焦点位置的方法。（看符号）启发引导学生进行归纳整理；利用幻灯片展示归纳结果对学生主动学习的态度及方式给予肯定；强调学生学习数学过程中，需踏实、认真的学习态度。归纳整理后回答教师的提问。用所体