高等数学思想方法

1、- -高等数学思想方法第一章 函数与极限主要的思想方法：1函数的思想高等数学的核心容是微积分, 而函数是微积分的主要争论对象；我们在运用微积分解决实际问题时,第一就要从实际问题中抽象出变量与变量之间的函数关系,这是一个通过现象抽象出本质特点的思维过程,个思维方法和主要特点；2极限的思想表达的是科学的抽象是数学的一极限的思想方法是微积分的根底；极限是变量在无限变化过程中的变化趋势,是一个确定的数值； 把一些实际问题的确定结果视为一系列的无限近似数值的变化趋势,即函数或者数列的极限,这是一种重要的数学思想方法；其次章 导数与微分 主要的思想方法：1微分的思想微分表示自变量有微小变化时函数的近似变化

2、,一般地,求导的过程就称为微分 ;导数那么反映函数相对于自变量的瞬时变化率；从导数与微分的概念中可看出,在局部的“ 以直代曲的微分思想得到了充分的表达,本思想；2数形结合的思想而这也是微积分的一个根书本中在引入导数与微分概念时,也争论了它们的几何意义, 这明显更好地帮忙我们懂得这两个概念； 通过几何图形来直观地懂得概念以及定理的证明. word.zl.- -等等容是高等数学中常用的方法,这是抽象思维与现象思维有机结合的典型表 达；3极限的思想 不难发觉导数概念的引入与定义深刻地表达了极限的思想；4规律思维方法 在本章中,归纳法从特别到一般 ,分类整合法等规律思维方法 都得到了充分的表达,懂得与

3、把握此类思维方法有助于良好的理性思维的形成；中值定理与导数的应用 第三章 主要的思想方法：导数本质上是一种刻画函数在某一点处变化率的数学模型,它实质上反映了函数 在该点处的局部变化性态；而中值定理那么是联系函数局部性质与整体性质的“ 桥梁, 利用中值定理我们就能够从函数的局部性质推断函数的整体性质,具 体表现为在理论和实际问题中可利用中值定理把握函数在某区间一点处的导数 与函数在该区间整体性质的关系；导数是一种工具, 而中值定理 微分根本定理 那么是微分学的理论根底,它更加深刻地提示了可导函数的性质；一方面,在中值定理及其推导过程中,不仅用到了演绎,分析,分类等数理规律方法 锤炼提升规律思维才

4、能 ,而且包 含了一些详细的数学方法,如帮助函数的构造凑导数法,几何直观解题法,常 数替代法,倒推法,乘积因子法 ,这就要求我们要培育直觉思维,发散思维等 创新思维； 另一方面, 导数在解决实际问题中的应用广泛,这要求我们要有 应用 数学 的意识；第四章不定积分word.zl. - -主要的思想方法：积分法是微分法的逆运算,即函数的导数,求原函数问题 这个函数 ；不定积分的积分法 : 由一个函数的导数求1直接积分法：直接或将被积函数恒等变形后利用根本积分公式和不定 积分的性质求积分；2换元积分法 :1.第一类换元法凑微分法 ；2.其次类换元法主要有 三角代换,根代换,倒代换 ；3分部积分法；4

5、几种特别类型函数的积分：有理函数的积分,三角函数有理式的积 分,简洁无理函数的积分；5其它常见的积分方法：拆项法,加减项法,同乘以 或除以 一因式 法,降次法,先凑微分后化为同名函数法等；第五章 定积分 主要的思想方法 : 定积分的几何意义是函数fx在区间 a,b的图形与 x 轴所界定区域的面积；定积分完整地表达了积分思想一种熟识问题,分析问题, 解决问题的思想方法,定积分的概念借助极限工具,以一种构造式的形式严格定义,懂得把握这种通过“ 分割,“ 近似；“ 求和,“ 取极限的数学思想对后面重积分,曲线积分与曲面积分的学习有重要作用；容,也是争论科学技术问题的数学工具；定积分与微分学不仅是高等

6、数学的重要“ 分割,“ 近似,“ 求和,“ 取极限所反映出来的积分思想是微积分的核. word.zl.- -心思想；第六章 定积分的应用 主要的思想方法：定积分的应用实质上是运用定积分理论来分析与解决一些几何与物理学中的问 题；定积分解决实际问题的方法 : 1依据定积分的定义,利用分割,近似替代,求和,取极限这四个步骤 来推导出所求量的积分表达式；2“ 元素法：将实际问题几何,物理转化为定积分,如运算平 面区域的面积,平面曲线的弧长,用截面面积运算体积,运算旋转体的体积,计 算变力做功等；在本章的学习中可以增强我们的应用数学的意识并且有助于我们提高 我们应用定积分解决实际问题的才能；空间解析几

7、何与向量代数 第七章 主要的思想方法：空间解析几何借助于空间坐标, 建立空间的曲面曲线方程, 利用代数方法争论图 形的几何性质； 向量代数在高等数学中为空间解析几何效劳,它实质是作为一种 争论空间图形性质的重要工具； 空间解析几何与向量代数是学习多元函数微积分 的根底,学习这局部学问的主要目的是为争论多元函数微积分理论供应一个直观 的空间几何图形；借助向量争论空间图形的性质, 建立空间图形的方程, 这是本章中表达 的一种重要的数学思想方法, 我们要树立应用向量这一重要的数学工具争论与解. word.zl.- -决问题的意识；此外本章中最根本的数学思想是“ 数形结合的思想；第八章 多元函数微分学

8、主要的思想方法：多元函数微分学是一元函数微分学理论的推广与开展,因此运用类比的思想方法来学习这一章容会起到事半功倍的作用；我们要培育类比思想这一创新的思维；第九章 重积分 主要的思想方法：本章中着重争论的二重积分与三重积分的理论是多元函数积分学的重要容；重积 分与定积分一样, 都是某种特别形式和的极限, 根本思想是 “ 分割,近似,求和,取极限,定积分的被积函数是一元函数,积分区域是一个确定的区间,而二,三重积分的被积函数是二, 三元函数,积分区域是一个平面有界闭区域和一个空 间有界闭区域,因此重积分是一元函数定积分的推广与开展；重积分的运算方法中表达的根本思想是：将重积分化为累次积分, 而化

9、为累次积分的关键是由被积函数的积分区域的特性来确定定积分的次序和积分 限；第十章 曲线积分与曲面积分 主要的思想方法：曲线积分与曲面积分是多元函数积分学的重要组成局部,对弧长的曲线积分和对面积的曲面积分是定积分和二重积分的直接推广,两者又均有物理学背景, 因此它们在解决几何与物理学的实际应用问题中有重要作用；在运算上, 将平面或空间曲线积分化为定积分的运算, 将空间曲面积分化为投影区域上的二重积分的计 算；在理论上,建立了平面闭曲线上对坐标的曲线积分与该曲线围成的闭区域上. word.zl.- -的二重积分的关系, 建立了闭曲面上对坐标的曲面积分与该闭曲面围成的空间闭 区域上的二重积分的关系；

10、这些就帮忙我们更加深刻地把握高等数学的思想方 法；格林公式的思想方法： 格林公式实现了闭区域上的二重积分与区域的边 界曲线上的曲线积分的相互转化,它可视作是定积分中的牛顿-莱布尼茨公式的 一个推广；高斯公式的思想方法： 高斯公式描述了在空间立体上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系,它可视作是牛顿-莱布尼茨公式和格林公式的推广,同时它仍是运算曲面积分的一个重要手段；留意在曲面不封闭的情形下,应先添补曲面构成封闭曲面,再利用高斯公式,这是运算曲面积分的常用方法；第十一章 无穷级数 主要的思想方法：无穷级数是一种争论与表示函数及数值运算的特地工具与重要方 法,是高等数学的一个重要组成局部；

11、在本章中,收敛与发散及其重要理论是建立在极限的根底之上的,函数绽开成幂级数的主要依据是微分学中的泰勒定理,幂级数的运算中要用到求导数与定积分的运算, 由此可见,无穷级数与微积分的其它容之间有特别严密的 联系；第十二章 常微分方程 主要的思想方法：常微分方程是指含有一元未知函数及其导数或微分的方程,它是争论函数的重要 工具；. word.zl.- -建立常微分方程要用到导数的概念, 而解常微分方程那么要用到积 分法,因此常微分方程是在微积分根底上的开展与应用；每种类型的常微分方程都有广泛的实际背景,因此我们要有应用数 学的意识, 通过建立数学模型来求解实际问题中的微分方程,在求解前需要分析 与明

12、确常微分方程的类型, 并在把握各种微分方程的相应的解法的根底上求解答 案,同时把握变量替换法, 常数变易法, 待定系数法等详细的数学方法对求解微 分方程有重要的作用；七大根本数学思想方法学习数学可以简要地分为三个层次或称境域：第一层次,深刻和娴熟地把握根底学问和根本概念及其本质并且初步拥有运用数学思想方法的意识,明确各类根底题型的解题方法与步骤, 在不断的练习中锤炼与加强自己的精确的抽象运算才能和严谨的规律推理才能； 其次层次,在进一步加深对数学思想方法的懂得的根底上,进展专题性质的学问总结从中发觉各局部数学容在的严密联系并逐步做到把握与运用, 与此同时, 加强数学建模的意识与应用才能,能够发

13、觉实际问题中的数学模型并凭此解决联系生产生活实际的应用问题；第三层次,深刻地懂得与把握各类数学思想方法, 对某一详细问题有更加深层的争论譬如求极限的方法的归纳总结, 涉及肯定值的问题, 高等数学中应用微积分证明不等式的探讨等等,在面对新情境新背景下的理论或实际问题时,既能快速明确问题中的学问载体,也能在数学解题才能得到提升与强化的根底上,数学思想方法, 分析与解决具有综合性的新数学问题能够综合运用根底学问与平常就需要加强这一方面的才能或更高学问层次的数学问题 为此可略览硕士阶段数学学问做个大致的 明白；以此提高数学思维品质 想象力, 创新思维, 抽象性,敏捷性,深刻性；. word.zl.-

14、-根本概念与根底学问是“ 载体,解题方法是“ 手段,数学思想才是“ 深化与 核心,是分析与解决问题的 “ 灵魂, 深刻懂得与娴熟运用数学思想有助于我 们锤炼与形成高层次的数学思维,高水平的数学素养；数学思想是指人们对数学理论与容的本质的熟识,而数学方法那么 是数学思想的详细化形式,两者本质一样,因此通常混称为“ 数学思想方法；下面是七大根本的数学思想方法前四个为常用的思想方法：一.函数与方程思想1.函数思想是对函数容在更高层次的抽象,概括与提炼, 它要求我们要用函数的概念与性质去分析问题, 转化问题和解决问题； 在实际问题中, 函数思想通过提出该问题中的数学特点, 建立与构造函数关系型的数学模

15、型方程, 不等式或方程与不等式的混合组 并利用函数的性质, 最终通过求解函数解析式来解决问题；2.方程思想：实际问题 数学问题 代数问题 方程问题；方程思想是解决各类计算问题的根本思想,也是运算才能的根底；二.数形结合思想 1.数学争论的对象是数量关系与空间形式,即数与形两个方面,在高等数学中,关于空间解析几何的容就是数形结合思想的表达；2.数形结合思想的实质：将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合；关键在于代数问题与几何图形之间的转化,而代数问题几何化 数到形的转化 相对简便,几何问题代数化那么需要严密的推理论证,它考察我们的规律推理才能的上下；3.运用数形结合思想分析与解决问题的三点留意

16、：把握相关概念与运算的几何意义及几何图形 曲线,曲面 的代数特点,对详细题目而言,要分析条件与结论的. word.zl.- -几何意义和代数意义；恰当设参,合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,完成数与形的转化；正确确定参数的取值围；三.分类争论思想1.分类是自然科学争论中的一种规律方法,是一种重要的数学思想,也是一种重要的解题策略,它表达了化整为零,积零为整的思想与归类整理的方法；2.分类争论分为三种情形:问题涉及的数学概念是分类进展定义的,如肯定值问题,此为概念型分类争论题型；问题所涉及的数学定理,公式与运算性质,法那么有围或有条件限制抑或是分类给出的,此为性质型分类争论题型； 问题中含

17、字母参数,这需要依据参数的不同取值围进展争论,此为含参型分类争论题型；3.进展科学划分不漏不重是解决问题的手段,分类争论才是根本目的；4.解决分类争论问题的根本方法与步骤为：第一确定争论对象及所要争论对象的全体的围；其次详细问题详细分析,选取适当的分类标准,合理分类；对所分类逐步进展争论, 分级进展,获得阶段性结果； 最终进展归纳总结, 综合得出结论；四.化归与转化思想 1.化归与转化的目的：将复杂问题化归为简洁问题,将较难问题化为较易问题,将未解决的新背景下的生疏问题转化为已解决的熟识问题；2.此数学思想敏捷度高,具有多样性,无统一模式,我们要用动态思维来查找有 利于解决问题的变换转化途径与方法；3.常用的变换方法：一般与特别的转化,繁与简的转化,敏捷奇妙地构造转化,命题的等价转化；4.等价转化思想方法：它可以实现数与数,形与形,数与形的相互转换；在分析 与解决实际问题的过程中,实现一般语言向数学语言的翻译；函数,方程,不等. word.zl.- -式之间的恒等变形；消去法,换元法,数形结合法,求值求围问题都表达了等价转化思想；五.特别与一般思想 1.特别到一般的本质：通过对个例的熟识与争论,形成对事物本质的 认知；这是一个由浅入深, 由现象到本质, 由局部到整体, 由实践到理论的过程；2