高等数学第一章函数极限与连续教案

1、学习必备 欢迎下载【教学内容】 1.1 函数【教学目的】 懂得并把握函数的概念与性质【教学重点】 函数的概念与性质【教学难点】 函数概念的懂得【教学时数】 4 学时【教学过程】一、组织教学,引入新课 极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一,极限的思想与理论,是整个高等数学的基础,连续、微分、积分等重要概念都归结于极限. 因此把握极限的思想与方法是学好高等数学的前提条件 . 本章将在初等数学的基础上,介绍极限与连续的概念；二、讲授新课（一）、实数概述 1、实数与数轴（1）实数系表（2）实数与数轴关系 封闭性（3）实数的性质：有序性 稠密性连续性2、实数的肯定值（1）肯定值的定义：xx x0 x

2、 x0（2）肯定值的几何意义（3）肯定值的性质练习：解以下肯定值不等式：x53,x123、区间（1）区间的定义：区间是实数集的子集（2）区间的分类：有限区间、无限区间 有限区间：长度有限的区间 设 a 与 b 均为实数,且 a b ,就名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 1 页,共 27 页数集 x ax学习必备欢迎下载b 为以 a 、 b 为端点的闭区间,记作 a , b 数集 x a x b 为以 a 、 b 为端点的开区间,记作（a , b ）数集 x a x b 为以 a 、 b 为端点的半开半闭区间,记作 a , b ）数集 x a x b 为以 a 、 b 为端点的半

3、开半闭区间,记作（a , b 区间长度： b a 无限区间数集 x ax 记作 a ,）,数集 x axx 记作（ a ,）数集 xxa 记作（, a , 数集 xa 记作（, a ）实数集 R 记作（,）（3）邻域 邻域：设 a 与均为实数,且0 ,就开区间（ a, a）为点 a的邻域记作U a , ,其中点 a 为邻域的中心,为邻域的半径； 去心邻域：在的邻域中去掉点 a后,称为点 a 的去心邻域,记作U a ,（二）、函数的概念1、函数的定义 ：设有一非空实数集 D,假如存在一个对应法就 f ,使得对于每一个 x D,都有一个惟一的实数 y 与之对应,就称对应法就 f 是定义在 D 上的

4、一个 函数. 记作 y f x ,其中 x 为自变量 , y 为因变量 ,习惯上 y 称是的函数；定义域： 使函数 y f x 有意义的自变量的全体,即自变量 x 的取值范畴 D函数值 ：当自变量 x 取定义域 D 内的某肯定值 0 x 时,按对应法就 f 所得的对应值 y 0 称为函数 y f x 在 x x 时的函数值,记作 0 y 0 f x 0 ；值 域：当自变量 x 取遍 D 中的一切数时,所对应的函数值 y 构成的集合,记作 M,即 M y y f x , x D函数的二要素 ： 定义域、对应法就名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 2 页,共 27 页【例 1.1】设

5、fxx11,求（ 1）f学习必备欢迎下载f1 x1 ；（2）fx答： （1）fx1 x111；f1x1y. 12x6x21 x（2）ff1fxx1x1x2x1x1【例 1.2】设fx1x24 x3,求 x,f1x答：fxx22x6,f1=1221 x61xx2 x【例 2】判定以下每组的两个函数是否相同（2）x,y2 x（ 1）y2ln , x yln2 x ,【例 3】求以下函数的定义域：（ 1）fx,x21242 ,x；2 ,（ 2）f x=f,10 x1,11x2答：（1）Dy22 4；（ 2）函数x的定义域是 0 , 2 2、函数的表示法（1）公式法：用数学表达式表示函数的方法分段函数

6、：当自变量在定义域内的不同区间取值时,用不同的表达式表示的函数1, x 0 x x 0例如： 肯定值函数 y x；符号函数 y sgn x 0, x 0 x x 01, x 0取整函数 y n n x n 17.5,0 x 3现行出租车的收费标准：p x 7.5 1.5 x 3 ,3 x其中 x 表示不小于 x 的最小整数（2）列表法：将一系列自变量 x 的数值与对应的函数值 y 列成表格表示函数的方法（3）图形法：用图形表示函数的方法名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 3 页,共 27 页学习必备 欢迎下载说明：三种形式各有其优点和不足,实际问题中往往把三种形式结合起来使用 .

7、 3、函数的性质（1）单调性定义：设函数yfx的定义域为 D,区间 ID,如对 I 内的任意两点x 1, x 2,当x 1x 2时,fx 1fx 2,就称yfx在 I 上单调增加；如当x 1x 2时,有fx 1 x fx 2,就称f在 I 上单调削减,区间I 称为单调区间 . 说明：争论函数的单调性必需指明所在的区间；（2）奇偶性定义：设函数yfx在 D 上有定义,如对于任意的xD,都有fxfx,就称yfxyfx为奇函数 . 为偶函数；如有fx fx,就称性质：奇函数与偶函数的定义域必定关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称. 【例 4】判定以下函数的奇偶性（1）y

8、ax2ax,a0,a1 ；2yln1x；1x（3）fx x42x2；（4）fxx31答： 1 偶函数； 2 奇函数；（3）偶函数；（4）非奇非偶函数（3）有界性定义：设函数的定义域为 D,区间 I D,如存在一个正数 M,使得对任意的 x I ,恒有f x M,就称函数 y=fx 在区间 I 上有界；如不存在一个正数 M,就称函数y f x 在区间 I 上无界 . 说明：争论函数的有界性必需指明所在的区间；例如：ysinx 与ycosx 都在（,）内有界 . 1,2）上有界1 x在（ 0,1）上无界,而在（y（4）周期性定义：设函数yfx 在 D 上有定义,如存在一个非零的实数T,对于任意的x

9、D,恒名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 4 页,共 27 页有fxTfx,就称f x学习必备欢迎下载是以 T 为周期的周期函数 . 最小正周期 ；周期函数的周期由很多个,其中正周期中最小的周期为最小正周期说明：通常所说的函数的周期,指的是最小正周期,但有些周期函数无最小正周期例如：ysinx的周期是 2,ytanx的周期是,yAsin wx, 的周期是2. w函数yc,（ c 为常数）是周期函数,但不存在最小正周期（三）、反函数1、定义 ：设函数 y f x ,其定义域为 D,值域为 M. 假如对于每一个 y M,有惟一的一个 x D 与之对应,并使 y f x 成立,就得到一

10、个以 y 为自变量, x 为因变量 y 的函数,称此函数为 y f x 的反函数,记作 x f 1 y 说明：x f 1 y 的定义域为 M,值域为 D. 因习惯上自变量、 因变量分别用 x 、y 表示,就 y f x 的反函数表示为 y f 1 x 例如：y x 的反函数是 y x 2x 0 ,其定义域就是 y x 的值域 0 ,值域是 y x 的定义域 ,02、性质： 函数 y=fx 和其反函数 y f 1 x 的图象关于直线 y x 对称3、反函数的存在性 ：一一对应的函数肯定有反函数,从而严格单调的函数肯定有反函数【例 5】求以下函数的反函数；（2）yx e1,x,（1）y2x1,x,

11、（四）、初等函数1、基本初等函数（1）常数函数yxc（ c 为常数）,其图形为一条平行或重合于x 轴的直线 . （2）幂函数y（为实数） ,其在第一象限内的图形名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 5 页,共 27 页（3）指数函数yax（a,0 a1学习必备欢迎下载0,）,定义域为 R,值域为（4）对数函数ylogax a,0a1,定义域,0,值域为 R,图形如图 1-3（b）所示 . （5）三角函数ysinx,ycosx,ytanx,ycotx,ysec ,ycscx. 其中正弦函数ysinx和余弦函数yxcosx的定义域都为 R,值域都为1,1,正切函数ytanx的定义域为x

12、R ,且xk2,kZ,值域为 R （a）（ b）（6）反三角函数yarcsinx,yarccos ,yarctanx,yarccotx；和0 ,其中yarcsinx与yarccosx的定义域都为1,1,值域分别为2,2y=arcanx的定义域 R,值域为2,2,名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 6 页,共 27 页学习必备欢迎下载 2、复合函数（1）定义：设函数yfu的定义域为D,函数ux的值域为 M ,如MDf,就将yfx 称为yfu与ux复合而成的复合函数,u 称为中间变量,x为自变量 . 例如：函数ylnu ,uyx21,由于ux2u1的值域,1包含在ylnu的定义域ln

13、x21是（0,+）内,所以yln与ux21复合而成的复合函数 . （2）留意： 并不是任何两个函数都可以复合的. 1,1,所以对于任意的 x 所如yarcsinu与u2x2就不能复合 . 由于u2x2的值域为2 ,而yarcsinu的定义域为对应的 u ,都使yarcsinu无意义； 复合函数仍可推广到由三个及以上函数的有限次复合. 【例 6】指出以下复合函数的复合过程（1）y32x1；（2）ylntanx. 2解：（1）y32x1是由y3 u与u2x1复合而成的；（2）ylntanx是有ylnu,utan, x复合而成的 . 22【例 7】已知f x 的定义域为1,1,求fln x的定义域

14、. 名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 7 页,共 27 页解：由1lnx1得1xe学习必备f欢迎下载1,e. , 所以ln x的定义域为ee3、初等函数（1）定义：由基本初等函数经过有限次四就运算和有限次的复合,且可用一个解析式表示的函数,称为初等函数. 1 y1 x（2）说明：分段函数中有些是初等函数,有些是非初等函数2xx0【例 8】 已知fx1x0 x1,1x1求f2,f0,f1,f2 ,并作出函数图形y2解：f2 2xx21；f0 2xx01；4f1 1x x11；f2 1x21o 222（五）、建立函数关系举例 运用函数解决实际问题,通常先要找到这个实际问题中的变量与

15、变量之间的依靠关 系,然后把变量间的这种依靠关系用数学解析式表达出来（即建立函数关系）,最终进行 分析、运算 . 【例 9】从边长为 a 的正三角形铁皮上剪一个矩形,设矩形的一条边长为 x , 周长为 P ,面积为 A ,试分别将 P 和 A 表示为 x 的函数 . 解：设矩形的另一条边长为a2xtan600=3ax2该矩形周长P=3ax2 x23 x3 a,x0 ,a矩形面积A3ax x3ax3x2,x0,a. 222【例 10】电力部门规定,居民每月用电不超过30 度时,每度电按0.5 元收费,当用电超过30 度但不超过60 度时,超过的部分每度按0.6 元收费 ,当用电超过60 度时 ,

16、超过部分按每度 0.8 元收费；解：试建立居民月用电费G 与月用电量W 之间的函数关系. 当0w30时, G=05W 名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 8 页,共 27 页当30W60时,G=05.30学习必备w欢迎下载6w30.6300 .当w60时,G=0.53006.300 .8W6008. W15所示Gfw 05.w0w300.6w330w600.8w15w60名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 9 页,共 27 页学习必备 欢迎下载【教学内容】 1.2 极限【教学目的】 懂得并把握极限的概念与性质【教学重点】 极限的概念与性质【教学难点】 极限概念的懂得

17、【教学时数】 4 学时【教学过程】一、组织教学,引入新课 二、讲授新课（一）、数列的极限 1、数列（1）定义：按正整数次序排成的一列数为数列,记作 nx数列中的每一个数为数列的项,第 n 项为通项（2）通项公式：第 n 项与项数 n之间的关系式例如：（1）数列 1,1 ,21 ,31 ,1, 的通项为nx1,简记为数列1nn14nnn（ 2）数列1 ,22 ,33 ,44 ,nn1, 的通项为xnnn1,简记为数列5说明：数列可以看作是定义在正整数集上的函数,记作nxf n nN（3）分类： 按项数分为有穷数列：项数有限 无穷数列：项数无限 按是否有界分为有界数列：对数列xn,如存在M0,对n

18、 都有xn使M,就x n为有界数列无界数列：对数列xn,如对M0,都存在一个n ,x nM,就x n为无界数列 按是否有极限分为收敛数列发散数列2、数列的极限（1）定义：如当 n 无限增大时,数列nx n无限接近于一确定的常数A,就称常数 A 数.）列xn的极限（或数列x收敛于 A）,记作nlimxnA（ n时,xnA名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 10 页,共 27 页学习必备xn欢迎下载x n1 n. 说明： 并非全部数列都有极限；如数列n 2 , 没有极限的数列,我们称该数列的极限不存在,亦称该数列发散 . 一个常数数列的极限等于这个常数本身,即 nlim c c（ c

19、 为常数） 当 n 无限增大时,数列虽无极限,却有肯定的变化趋势,如数列 x n 2 ,称 n其极限为正无穷大,记作 lim 2 n；n【例 1】观看下面数列的变化趋势,并写出它们的极限 . （1）x n 1n 1（2）xn n 12 n（3）x n 1n（ 4）x n 4 3 解：（1）nx 1n 1 的项依次为 1,1 ,1 ,1 ,当 n 无限增大时,x 无限接近于 0,2 2 4 81所以 lim x 2 n 1 =0 （2）xn n 1的项依次为 2,3 ,4 ,5 ,当 n 无限增大时,x 无限接近于 1,n 2 3 4n 1所以 lim =1；x n（3）nx 1n 的项依次为

20、1,1 ,1, ,当 n 无限增大时,x 无限接近于 0, 3 3 9 271所以 lim x 3 n =0；（4）nx 4 为常数数列,无论 n取怎样的正整数,x 始终为 4,所以 limn 4 4 . （2）收敛数列的性质 唯独性：收敛数列的极限是唯独的 有界性：收敛数列肯定有界；即有界是收敛的必要条件,无界数列肯定发散；（3）数列极限的存在准就 夹逼准就：设有三个数列x n、y n、z n满意条件：z nAx ny nz n,n1,2.,且 lim nx nlim n就y n收敛,且 lim ny nA名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 11 页,共 27 页例如：lim

21、nn11n12学习必备n欢迎下载n11n212n21n1,lim n222n2 单调有界准就：单调有界数列必有极限（二）、函数的极限1、当 x 时,函数 y f x 的极限（1）当 x 时,函数 y f x 的极限设函数 y f x 在 x a 时有定义（a 0）,假如当自变量 x 的肯定值无限增大时,函数 y f x 无限趋近于一个确定的常数 A ,就称常数 A 为当 x 时,函数y f x 的极限,记作 xlim f x A（或当 x 时,f x A）. （2）当 x 时,函数 y f x 的极限设函数 y f x 在 x a时有定义（a 0）,假如当自变量 x 无限增大时,函数 y f

22、x 无限趋近于一个确定的常数 A,就称常数 A 为当 x 时,函数 y f x 的极限,记作 lim x f x A（或当 x 时,f x A）（3）当 x 时,函数 y f x 的极限设函数 y f x 在 x a 时有定义（a 0）,假如 x 0 且 x 无限增大时,函数 y f x 无限趋近于一个确定的常数 A,就称常数 A 为当 x 时,函数 y f x 的极限,记作 lim x f x A（或当 x 时,f x A）（4）定理：limx f x A 的充要条件是x lim f x x lim f x A . 说明：只有当 x lim f x 与 lim x f x 都存在且相等时 l

23、im x f x 才存在；【例 2】争论以下函数当 x 时的极限 . （1）y 1；（2）y 2 x；（3）y arctan x . x解：（1）当 x 无限增大时,1 无限接近于x 0, 所以 lim x 1x =0；x x x（2）lim 2,lim 2 0,所以 lim 2 不存在 . x x x名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 12 页,共 27 页（3）x limarctanx2,x limarctan学习必备2欢迎下载arctanx不存在 . x,所以lim x2、当 x x 0 时,函数 y f x 的极限（1）当 x x 0 时,函数 y f x 的极限0设函数

24、 y f x 在 0 x 的某去心邻域 N x 0 , 内有定义,假如当 x 无限趋近于 x 时,f x 无限接近于一个确定的常数 A,就称常数 A 为当 x 0 x 时函数 f x 的极限,记作 lim f x A 或当 x x 0,f x A x x 0（2）当 x x 0 及 x x 时,函数 y f x 的极限设函数 y f x 在（x 0 , x 0）（或（x 0, x 0）内有定义,如当自变量 x 从 x 的左（右）近旁无限接近于 0 x ,记作 x x 0（x x 0）时,函数 y f x 无限接近于一个确定的常数 A,就称常数 A 为 x x 0 时的左（右）极限,记作 lim

25、 f x A 或x x 0f x 0 0 A,（lim f x A 或 f x 0 0 A）. x x 0（3）定理x lim x 0 f x A 的充要条件是x limx 0 f x x limx 0 f x A . 说明：定义中并不要求 f x 在点 0 x 处有定义；x lim x 0 f x 存在当且仅当x limx 0 f x 与x limx 0 f x 都存在且相等x x例如： 函数 y 2 ,当 x 从 1 的左、右两旁无限趋近于 1 时,曲线 y 2 上的点 M 与 M 都x x无限接近于点 N1,2 ,即函数 y 2 的值无限接近于常数 2,所以 lim x 1 2 2 .名

26、师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 13 页,共 27 页【例 3】考察当x1时,函数y学习必备欢迎下载x1时的极限 . x21的变化趋势,并求x1解：从函数yx21x1 x1的图形可知,当x 从左、右两旁同时无限趋近于-1 时,x1函数yx21x1 x1的值无限趋近于常数2 ,x1所以x lim1x21x lim1x12.x1【例 4】争论以下函数当x0时的极限 . （1）fx sgnx1x0；（2）fx x1x0. 0 x01xx01x0解：（1）由于lim x 0sgnxlim x 011,lim x 0sgnxlim x 01 1,所以lim x 0sgnx不存在 . （2

27、）由于lim x 0fxlim x 0 x1 1,lim x 0fxlim x 0 1x1,所以lim x 0fx1. （四）、极限的四就运算 1、极限的四就运算定理：设x lim x 0fxxA,x lim x0gxB,就（1）x lim x 0fxgxlim x x 0fxx lim x 0gxAB；（2）x lim x 0CfCx lim x0fx CA,（C 为常数）；名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 14 页,共 27 页（3）x lim x0fxgxx lim x 0fx学习必备x欢迎下载；x lim x0gAB（4）x lim x 0fx lim x x 0fxA

28、B0 . n的全部项之和S. lim x x 0g xgx B说明：（1）上述运算法就对于x时的情形也是成立的（2）法就 1与3可以推广到有限个具有极限的函数的情形（3）对于数列极限也是有类似的四就运算法就. 【例 5】求以下极限（1）lim x 1x22x3；（2）lim x 22x2x3x21【例 6】求以下极限（1）2 lim xx 2 x4；（2）lim x 111x133. 2x【例 7】求以下函数极限. （1）lim x32 x24x5；（2）lim x2x22x23. 4xx23x3x1a【例 8】设无穷等比数列a n的首项为1a ,公比 q 满意q1,求数列名师归纳总结大肚能容

29、,容学习困难之事,学习有成第 15 页,共 27 页学习必备 欢迎下载【教学内容】 1.3 两个重要极限【教学目的】 懂得并把握极限的概念与运算【教学重点】 极限的概念与运算【教学难点】 极限概念的懂得及运算【教学时数】 2 学时【教学过程】一、组织教学,引入新课 二、讲授新课（一）、重要极限lim x 0sinx10 1x1、列表考察当x0时,sinx的变化趋势 . xx10.50.10. 010. 001sinx0.8414709 0.9588511 0.9983342 0.9999833 0.9999998 x从上表可以看出,当x0时,sinx的值无限趋近于 1,x所以lim x 0si

30、nx1x说明 ：极限的正确性可用极限存在准就证明2、特点：0 0型x 1x lim x 0 xsinx【例 1】求以下极限（1）lim x 0sin2x；（ 2）lim xxsin1 x.1=1 （3）lim xsinx.3x【例 2】证明：lim x 0tanx1. lim x 0sinxxlim x 0sinx1x=证：t an xl i m x 0 x=lim x 0 xcosxcosx【例 3】求以下极限x x；lim x 0sin5（ 2）（1）lim x 01cosx；x2tan3xlim x 02sin2xsin xx 2sinx1解：（1）lim x 01cosxlim x 0

31、1 222x2x2x222名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 16 页,共 27 页（2）lim x 0sin5x=lim x 05sin5x=5学习必备欢迎下载lim x 0lim x 0sin5 x5 xtan 3 x5 xtan 3 x3 x=5 3tan3x333x（3）lim xsinx=lim x0sinxx=1 x的变化趋势 . e1000000 ex（二）、重要极限lim x11xex1、列表考察当 x时,函数 11x10000 100000 x 10 100 1000 11x2.59374 2.70481 2.71692 2.71815 2.71827 2.71

32、828 xx -10 -100 -1000 -10000 -100000 -1000000 e 11x2.86797 2.73199 2.71964 2.71842 2.71830 2.71828 x从上表可以看出,当x, 11x的值都无限趋近于2.718281828459045x所以lim x 11xex说明：极限的正确性可用极限存在准就证明如令1t,就当 x时,t0,所以上式可改写成：lim t 0 1t1etx2、特点： 1 型1x lim x 0 x1xx elim x 01x35；x2（3）lim xx1x2. e3 1（2）【例 4】求以下极限（1）lim x 12x；xxx12x

33、22 x解：（1）lim x12xlim x=2 e=lim x122xx22（2）lim x 01x35=lim x 01x131x5=lim x 01x1 x3lim x 01x5=xx名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 17 页,共 27 页学习必备欢迎下载x122（3）lim xx1x2=lim x1x21x2=lim x1x111x213x12=x lim 11x11x12.lim x1x213=2 e222名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 18 页,共 27 页学习必备 欢迎下载【教学内容】 1.4 无穷小与无穷大【教学目的】 懂得并把握无穷小与无穷大

34、的概念与性质【教学重点】 无穷小的性质及比较【教学难点】 无穷小的性质及比较【教学时数】 4 学时【教学过程】一、组织教学,引入新课二、讲授新课 一 、无穷小1、无穷小的定义在自变量 x 的某一变化过程中, 如函数 f x 的极限为零, 就称此函数为在自变量 x 的这一变化中的无穷小量,简称为无穷小 . 例如： 函数 f x x 21,因 lim x 1x 1 20,就函数 f x x 21 是当 x 1 时的无穷小 . 函数 f x 1x,因 lim x 1x 0,就函数 f x 1x 是当 x 时的无穷小 . 说明：（1）必需指明自变量的变化趋势 . （2）常数中只有“0” 可以看成无穷小

35、2、无穷小的性质 ：（1）有界函数与无穷小的乘积为无穷小；（2）有限个无穷小的代数和为无穷小；说明：必需是有限个；如lim n11n12n1n12 n22（3）有限个无穷小的乘积为无穷小. 【例 1】求以下极限（1）lim xsinx；0,sin x（2）lim xx23cos cos 0 xx2x解：（1） 因lim x11, 所以lim xsinx0 xx（2） 因lim xx20, 3x2 x3cosx4, 所以lim xx2xx23、无穷小与极限的关系定理： 在自变量的某一变化过程中,函数fx的极限为 A 的充要条件是f x 可以表示名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 1

36、9 页,共 27 页学习必备 欢迎下载成 A 与一个同一变化过程中的无穷小量 x 之和. 即lim x x 0fxAfx Axx 二 、无穷大1、无穷大的定义在自变量 x 的某一变化过程中,函数 f x 的肯定值无限增大,就函数 f x 称为在自变量 x 的这一变化过程中的无穷大量,简称为无穷大,记为x lim x 0 f x x例如：函数 f x 1x,因 lim x 0 1x,就 f x 1x 是 x 0 时的无穷大；函数 f x x ,因 2lim x x 2,所以 f x x 是当 x 2时的无穷大；函数 f x ln x,因x lim0 ln x .所以 f x ln x 是当 x

37、0 时的无穷大；说明：（1）这里采纳极限记号只为便利起见,并不说明极限存在（2）必需指明自变量的变化趋势 . 2、无穷小与无穷大的关系在自变量的同一变化过程中,如fx为无穷大,就1为无穷小；反之,如fx为fx不恒等于零的无穷小,就f1为无穷大 . x【例 2】求lim xx223x12. 1=lim x231 2=x2解：由于lim xx22x12=lim x1x3x22xx2000003 xlim x11xx2xx2所以lim xx223 x12. xana0nma 00 ,b 00 结论：lim xa0 xna 1xn1an1xb 0nm0b 0 xmb 1xm1bm1xbmnm名师归纳总

38、结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 20 页,共 27 页学习必备 欢迎下载（三）、无穷小的比较1、定义： 设 与 是自变量的同一变化过程中的两个无穷小,（1）如 lim 0,就称 是比 较高阶的无穷小,记作 ；（2）如 lim c（ c为非零常数）,就称 与 是同阶无穷小,特殊地,如 c 1,就称与 是等价无穷小,记作 . （3）如 lim,就称 是比 较低阶的无穷小2、常用的等价无穷小 （当 x 0 时）1 2 xsin x x , tan x x ,1 cos x x ,ln1 x x e 1 x2【例 3】以下函数是当 x 1 时的无穷小,试与 x 1 相比较,哪个是高阶无穷小？哪

39、个是同阶无穷小？哪个是等价无穷小？（1）2 x 1（ 2）x 3 1（3）x 33 x 2解 由于 lim x 1 2 x x1 1 = lim x 1 x 21 1,所以当 x 1 时,2 x 1 是与 x 1 等价的无穷小；3由于 lim x 1 x x1 1= lim x 1 x 2x 1 =3, 所以当 x 1 时,x 31 是与 x 1 同阶的无穷小3由于 lim x 1 xx 3 x1 2= lim x 1 x 2x 2 =0,就当 x 1 时,x 33 x 2 是比 x 1 高阶的无穷小【例 4】利用等价无穷小求以下极限（1）lim x 0sin 4x,（2）lim x 0tan

40、xtan 3 xx3x名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 21 页,共 27 页学习必备 欢迎下载【教学内容】 1.5 函数的连续性【教学目的】 懂得并把握函数连续性的概念,明白闭区间上连续函数的性质【教学重点】 函数在一点连续的概念【教学难点】 函数间断点的判定【教学时数】 6 学时【教学过程】一、组织教学,引入新课在很多实际问题中,变量的变化往往是“ 连续” 不断的. 例如,气温的变化、物体的运动等,其特点是时间变化很小时,这些变量的变化也很小 . 变量的这种变化现象,表达在函数关系上,就是函数的连续性 . 本节我们将用极限来定义函数的连续性 . 二、讲授新课 一 、连续函数

41、的概念1、函数的转变量（1）变量的增量定义：设变量 u 从初值u变到终值u ,就终值u 与初值u的差u 2u 1称为变量 u 的转变量,也称为增量,记作u .即uu 2u 1说明：变量 u 的转变量u 可以是正的,也可以是负的. （2）函数的增量定义：设函数 y f x 在 N 0 x , 内有定义,当自变量 x 在该邻域内从 x 变到 0 0 x x（即x 在 x 处有转变量x ）时,函数 y f x 相应地从 f x 0 变到 f x 0 x,所以函数 y 相应的转变量为 y f x 0 x f x 0【例 1】已知函数 y f x x 2 3,当自变量 x 有以下变化时,求相应的函数转变

42、量 y . （1） x 从 1变到 1；（2） x 从 1 变到 0；（3） x 从 1 变到 1x . 12 132 112310f解：（1）yf1（2）yf0f10233名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 22 页,共 27 页（3）yf1xf11x2学习必备2 1欢迎下载x2x332、函数在点x 处的连续性,0（1）函数在点x 处连续定义：设函数yfx在N0 x,内有定义,当自变量x 在x 处的转变量x0时,相应的函数转变量yf x 0 xf x 00,即lim x 0ylim x 0f x 0 xf x 00就称函数yfx在点0 x 处连续,点x 为函数yfx的连续点 .

43、 注：如令xx 0 x ,就x0就是x0 x,yf x 0 xf x 0fxf0 x,y就是fxf0 x,即lim x 0y0就是lim x x 0fxfx0,因此有等价定义 . 定义：设函数yfx在N0 x,内有定义,如当x0 x时,函数fx的极限存在,且极限值就等于fx在点x 处的函数值fx 0,即x lim x 0fxfx 0,就称函数yfx在点x 处连续fx在x 0 处有定义说明：函数yfx在点x 处连续的含义lim x x 0fx存在lim x x 0fxfx 0yfx在点0 x 处极限存在是yfx在点x 处连续的必要条件【例 2】试用定义证明：函数yx23在点x1处连续 . 证明：

44、 明显函数yx23在点x1的邻域内有定义. 设自变量 x 在x1处有转变量x ,就当x0,相应的函数转变量y 的极限 . lim x 0ylim x 02xx20,所以,函数yx23 在点x1处连续 . 【例 3】试用定义证明：函数fxx1 sinx0,x0；在点0 .x0处连续 . x证明明显fx在x0的邻域内有定义,又lim x 0fxlim x 0 xsin10,即xl i m fx 0 xf0,所以函数fx在点x0处连续 . 名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 23 页,共 27 页学习必备 欢迎下载（2）左连续与右连续左连续：如函数yfx在x 0, x 0上有定义,且l

45、im x x 0f xf x 0,就称函数 fx在0 x 处左连续；上有定义,且x lim xf x 0f x ,就称函数 fx右连续：如函数yfx在x 0, x0在0 x 处右连续；yfx在点x 处既左连续又右连续（3）函数yfx在点0 x 处连续函数【例 4】判定函数fx cosx1,x0 x2x0在x0处的连续性1 2,答函数fx在x0处连续3、函数在区间上的连续性（1）开区间 a, b 内连续如函数 y f x 在开区间 a, b 内的每一点处都连续,就称函数 y f x 在开区间a, b 内连续（2）闭区间 a, b 上连续如函数 f x 在开区间 a, b 内连续,且在 x a 右连续,在 x b 左连续,就称函数 f x在闭区间 a, b 上连续 . （二）、函数的间断点1、定义：如函数yffx在点x 处不连续,就称函数yfx在点x 处间断,称点x 为函数yx的间断点 .2、形成：（1）函数y0fx在点0 x 处无定义；lim x xf 0 xfx 0. （2）当xx时,fx的极限x lim x 0fx不存在；（3）极限x lim x0fx不等于fx在点x 处的函数值,即名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 24 页,共 27 页学习必备 欢迎下载3、分类（1）第一类间断点设0