2021-2022学年河南省南阳市星江中学高三数学文上学期期末试题含解析

1、2021-2022学年河南省南阳市星江中学高三数学文上学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的定义域是，对任意，则不等式的解集为（ ）A B C D参考答案：A试题分析：令函数,因,故函数是单调递增函数,且,所以不等式等价于,故,应选A. 考点：导数的有关知识及综合运用.【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值问题的重要工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先构造出函数,再运用求导法则求函数的导数,判断该函数的单调性为增函数,将不等式等价转化为.最后借助

2、函数的单调性从而使得问题获解,本题具有一定的难度,难点在于如何构造函数的解析表达式,这里题设中的条件起到了的重要作用.2. 已知函数，则（ ） A .0 B .3 C .1 D .参考答案：C略3. 已知斜率为3的直线l与双曲线C： =1（a0，b0）交于A，B两点，若点P（6，2）是AB的中点，则双曲线C的离心率等于（）ABC2D参考答案：A【考点】双曲线的简单性质【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据AB的中点P的坐标，表示出斜率，从而得到关于a、b的关系式，再求离心率【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则代入双曲线方程，相减可得，点P（6，2）是AB的中点，x1

3、+x2=12，y1+y2=4，直线l的斜率为3，=3，a2=b2，c2=2a2，e=故选A4. “”是“直线与直线互相垂直”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件参考答案：A略5. 等差数列an的前n项和Sn ,，则的值为（ ）A 40 B 52 C. 56 D64参考答案：D6. 设，则在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：A【分析】先求出，再求得解.【详解】因为.所以，所以点位于第一象限.【点睛】本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水

4、平.7. 己知(，)，sin=，则tan(+)的值为( ) A、7 B、7 C、 D、参考答案：答案:A 8. 已知=（5，6），=（sin，cos），已知向量且，则tan=（）A B C D参考答案：A【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【专题】平面向量及应用【分析】根据两个向量平行的坐标表示，直接代入公式求解即可【解答】解：=（5，6），=（sin，cos），5cos=6sin，tan=，故选：A【点评】本题考查了两个向量平行的坐标表示，平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别9. 在平面四边形ABCD中， ，且

5、，现将沿着对角线BD翻折成，则在折起至转到平面BCD内的过程中，直线与平面BCD所成角最大时的正弦值为( )A B C. D参考答案：D设AC与BD交于点O，由于ABAD，CBCD，所以ACBD，因此在折叠过程中，AC在平面ACD内的射影是CO，所以是直线AC与平面BCD所成的角，由已知可得OAOA，OC2，易知在中，当时，最大，且故选D10. 已知集合，则 （ ）A. B. C. D. 参考答案：C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设关于x的方程x2ax1=0和x2x2a=0的实根分别为x1，x2和x3，x4，若x1x3x2x4，则实数a的取值范围为 参考答案：（）

6、考点：根与系数的关系 专题：函数的性质及应用分析：由x2ax1=0得ax=x21，由x2x2a=0得2a=x2x，在同一坐标系中作出两个函数得图象，继而得出关系式求解即可解答：解：由x2ax1=0得ax=x21，由x2x2a=0得2a=x2x，由可得2a=2x，作出函数y=x2x和y=2x的函数图象如下图：x1x3x2x4x2x=2x整理得：，即，即解得：x=1或x=当x=1时，a=点评：本题主要考查函数中零点与系数的关系，在考试中经常作为选择填空出现，属于中档题12. 在平面四边形中，已知，则的值为 参考答案：1013. 从集合1，2，3，4中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率

7、为参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】先求出基本事件总数n=6，再利用列举法求出这两个数的和为3的倍数包含的基本事件个数，由此能求出这两个数的和为3的倍数的槪率【解答】解：从集合1，2，3，4中任取两个不同的数，基本事件总数n=6，这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：（1，2），（2，4），共2个，这两个数的和为3的倍数的槪率p=故答案为：14. 已知是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上关于轴对称的两点，直线的斜率分别为，且。若的最小值为1，则椭圆的离心率为 . 参考答案：【知识点】椭圆的性质. H5解析：设则，所以所以【思路点拨】设则，从而得，所以.15. 如图所示，

8、在一个(且)的正方形网格内涂色,要求两条对角线的网格涂黑色，其余网格涂白色.若用表示涂白色网格的个数与涂黑色网格的个数的比值，则的最小值为 .参考答案：16. 设满足则的最小值是 参考答案：217. 设函数f(x)x32ex2mxlnx，记g(x)，若函数g(x)至少存在一个零点，则实数m的取值范围是_参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数(1)若方程在内有两个不等的实根，求实数m的取值范围；（e为自然对数的底数）（2）如果函数的图象与x轴交于两点、且.求证：（其中正常数）.参考答案：解：（1）由，求导数得到：，故在有唯一的极值

9、点，且知故上有两个不等实根需满足：故所求m的取值范围为.（2）又有两个实根则两式相减得到：于是，故要证：，只需证：只需证：令，则只需证明：在上恒成立.法一:又则于是由可知.故知上为增函数，则从而可知，即（*）式成立，从而原不等式得证.法二: 令,所以的对称轴为，所以在上单调递减，上为增函数，则从而可知，即（*）式成立，从而原不等式得证.略19. 在直角坐标系xoy中，不共线的四点A，B，C，D满足，且，求：（1）的坐标；（2）四边形ABCD的面积参考答案：【考点】正弦定理；平面向量的坐标运算【专题】计算题；转化思想；数形结合法；平面向量及应用【分析】（1）由，且A，B，C，D不共线，可得ABC

10、D为平行四边形，记AC与BD的交点为O，根据平面向量的坐标运算即可得解（2）由（1）可求|，|的值，从而可求cosBAD=，结合范围0BAD可求sinBAD的值，利用三角形面积公式即可求解【解答】解：（1）因为，且A，B，C，D不共线，所以四边形ABCD为平行四边形，记AC与BD的交点为O，则=（2，3），=（1，1）6分（2）由（1）可知，|=，|=，cosBAD=，因为sin2BAD+cos2BAD=1，且0BAD，所以sinBAD=，故平行四边形ABCD的面积为：|sinBAD=14分【点评】本题主要考查了平面向量的坐标运算，向量夹角的求法，考查了同角的三角函数关系式的应用，三角形面积公

11、式的应用，属于基本知识的考查20. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：的离心率为，焦距为2.（）求椭圆E的方程；（）如图，动直线l：交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为k2，且，M是线段OC延长线上一点，且，M的半径为，OS，OT是M的两条切线，切点分别为S，T.求SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率.参考答案：解：（I）由题意知 ，所以 ，因此 椭圆的方程为.（）设，联立方程得，由题意知，且，所以 .由题意可知圆的半径为由题设知，所以由此直线的方程为.联立方程得，因此 .由题意可知 ，而，令，则，因此 ，当且仅当，即时等号成立，此时，所以 ，因

12、此，所以 最大值为.综上所述：的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.21. 生蚝即牡蛎（oyster），是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产蚝.蚝乃软体有壳，依附寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝成为了一年四季不可或缺的一类美食.某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示.质量（g）5,15)15,25)25,35)35,45)45,55)数量6101284（）若购进这批生蚝500kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；（）以频率

13、估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在5,25)间的生蚝的个数为X，求X的分布列及数学期望. 参考答案：（）由表中数据可以估计每只生蚝的质量为，购进，生蚝的数量约有（只）.（）由表中数据知，任意挑选一个，质量在间的概率，的可能取值为0，1，2，3，4，则，的分布列为01234或.22. 已知数列an中，a1=4，an+1=，nN*，Sn为an的前n项和（）求证：nN*时，anan+1；（）求证：nN*时，2Sn2n参考答案：【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和【分析】（I）n2时，作差：an+1an=，可得an+1an与anan1同号，由a2a10，即可证明：nN*时，anan+1（II）2=6+an，可得=an2，即2（an+12）（an+1+2）=an2，因此an+12与an2同号，可得Sn=a1+a2+an4+2（n1）即可证明左边由： =，可得：an2+2利用等比数列的求和公式化简即可证明右边【解答】证明：