《正弦函数、余弦函数的性质》教案与导学案

1、第五 三角函数 弦函数、余函数的质教案【教材析】本节课是正弦函数余弦函数图像的继续本课是正弦曲线余弦曲线这两 种曲线的特点得出正弦函数、余弦函数的性质【教学标与核心素】课程目1.了解周期函数与最小正周期的意义2.了解三角函数的周期性和奇偶性3.会利用周期性定义和诱导公式求简单三角函数的周期4.借助图象直观理解正余弦函数在0,2上的性质单调性最值图象 与 x 轴的交点等);5.能利用性质解决一些简单问题数学学素养1.数学抽象：理解周期函数、周期、最小正周期等的含义；2.逻辑推理：求正弦、余弦形函数的单调区间；3.数学运算：利用性质求周期、比较大小、最值、值域及判断奇偶性4.数学建模让学生借助数形

2、结合的思想通过图像探究正余弦函数的性 质.【教学难点】重点通过正弦曲线曲线这两种曲线探究正弦函数弦函数的性质； 难点应用正函数的性质来求含有 的函数的单调性、值域及对称性.【教学法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。【教学程】一、情导入研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？我们知道从定义域域调性、周期性、奇偶性、称性等考虑，那么正余弦函数有哪些性质呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察研探. 二、预课本，引入课阅读课本 201-205 页，思考并完成以下问题1.周期函数、周期、最小正周期等的含义？2.怎样判断三角函数的周期性和奇偶性？3.通过正弦曲线

3、和余弦曲线得到正弦函数、余弦函数的哪些性质？要求生独立完成小组为单位内可商量终选出代表回答问题。 三、新探究1.定义域正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集 2.值域(1)值域：正弦函数、余弦函数的值域都是 (2)最值正弦函数(或 ).当且仅当当且仅当余弦函数当且仅当当且仅当 3.周期性定义：对于函数 一个值时,时,取得最大值时,取得最小值时,取得最大值时,取得最小值,如果存在一个非零常数 ,使得当取定义域内的每都有,那么函数就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的周期.由此可知,都是这两个函数的周期.对于一个周期函数这个最小正数就叫做,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么 的最小正周期.

4、根据上述定义,可知弦函函数都是周期函数,都是它的周期,最小正周期是 4.奇偶性.()为奇函数,其图象关于原点对称5.对称性正弦函数()为偶函数,其图象关于轴对称的对称中心是 ,对称轴是直线 ;余弦函数对称轴是直线的对称中心是 ,(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 中心为图象与 轴(中轴线)的交点).6.单调性轴的直线，对称正弦函数在每一个闭区间增大到 ;在每一个闭区间 减小到 .上都是增函数,其值从上都是减函数,其值从余弦函数在每一个闭区间加到 ;余弦函数在每一个闭区间 减小到 .四、典分析、举一三题型一、余弦函数周期性 例 1 下列三角函数的最小正周期上都是增函数,其值从上

5、都是减函数,其值从增 (1)y=3cosx,xR;(2)y=sin2x,x (3)y=2sin( x ),xR;(4)y=|cosx|,xR. 6【答案】(1)2；(3)4；(4).【解析】:(1)因为 )=3cosx,所以由周期函数的定义知,y=3cosx 的最小正周期为 2.(2)因为 sin2(x+)=sin(2x+2)=sin2x,所以由周期函数的定义知,y=sin2x 的最小正周期为 .(3)因为 sin sin 6 6 ,所以由周期函数的定义知, y 6 的最小正周期为 4.(4)y=|cosx|的图象如图(实线部分)所示.由图象可知,y=|cosx|的最小正 周期为 .解题技巧求

6、函数最小正周期的常用方法）(1)定义法，即利用周期函数的定义求解(2)公式法，对形如 sin()或 ycos(x)(A， 是常数，A0，0)的函数，2|.(3)图象法，即通过画出函数图象，通过图象直接观察即可三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解 跟踪训一1.（1）函数 y=2sin(3x+6),xR 的最小正周期是( )(A)(B)2(C)3(D)332(2)函数 y=|sin2x|(x的最小正周期为 .【答案】(1)B23 + 2 3 x 3 x3 3 + 2 3 x 3 x3 【解析】 (2)作出 y=|sin2x|(xR)的图象(如图所示).由图象可知,函数 R)

7、的最小正周期为2.题型二简、求值例 2 断下列函数的奇偶性(1)f(x)=2sin2x;(2)f(x)=sin(3x4+ );2(3)f(x)=sin|x|;(4)f(x)=1 x .【答案】(1)奇函数;(2)偶函数;(3)偶函数;(4)既是奇函数又是偶函数.【解析(1)显然 xR,f(-x)=2sin(-2x)=- sin2x=-f(x),所以 f(x)=2sin2x 是奇函数.(2)因为 xR,f(x)=sin( + )=-cos ,4 所以 f(-x)=-cos(-3x)=-cos3=f(x),4 4所以函数 f(x)=sin(3x+ )是偶函数.4 (3)显然 xR,f(-x)=si

8、n|-x|=sin|x|=f(x), 所以函数 f(x)=sin|x|是偶函数.(4)由 0, cos x 0,得 所以 (kZ),关于原点对称,此时 f(x)=0,故该函数既是奇函数又是偶函数.解题技巧：(判断函数奇偶性的方法判断函数奇偶性的方法(1)利用定义判断一个函数 的奇偶性,要考虑两方面:函数的定义域 是否关于原点对称;f(-x)与 f(x)的关系;(2)判断函数的奇偶性常用方法是定义法;图象法.跟踪训二1.下列函数中,最小正周期为 的奇函数是( )(A)y=sin(2x+) (B)y=cos(2x+)2 22 2 3 3 33 3 3 31 7 k2 2 3 3 33 3 3 31

9、 7 k(C)y=sin(2x+ ) (D)y= sin(x+ )4 4【答案】B【解析】 A中,y=sin(2x+),即 y=cos2x,为偶函数;C,D 中,函数为非奇非2偶函数;B 中,y=cos(2x+ )=-sin2x,是奇函数,T= =,故选 B.222.定义在 R 上的函数 ()既是偶函数，又是周期函数，若 f(x)的最小正周 期为 ，且当 x (x)sin，则 f ( ) 1 3 3A B C D2 2 2【答案】D【解析】因为 ()的最小正周期为 T 所以 f 2 又 y(x)是偶函数，所以 (x)(x) 3所以 f . 3 2题型三、余弦函数单调性例 3 函数 y=sin(

10、 x+ )的单调区间.2【答案】略.【解析】当- +2k2312x+ +2k(kZ)时函数单调递增,所以函数的 3 2单调递增区间为-5 3+k,3+k(kZ).当21+2k x+ +2k(k 2 3 2Z)时函数单调递减,所以函数的单调递减区间为+ , +3 3k(kZ).解题技巧求单调区间的步骤）(1)用“基本函数法”求函数 Asin()(0，或ycos()(A，0)的单调区间的步骤：第一步：写出基本函数 sinx(或 y)的相应单调区间；第二步：将“x”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示4 4 4 4 4 5 4 5 4 5 4 4 4 4 4 4 5 4 5 4 5 4 中的

11、“x”；第三步：解关于 x 的不等式(2)对于形如 ysin( x)的三角函数的单调区间题，当 0 时， 可先用诱导公式转化为 yAsin(x)，则 sin(的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区 间余弦函数 ycos()的单调性讨论同上另外，值得注意的是 kZ 这一条件不能省略跟踪训三 1求函数 y2sin x增区间 【答案】略. 【解析】y2sin x x ，则 2sinz， 4求 yz 增区间，即求 sinz 减区间，所以 2k(Z)， 3 2kz 2 2即 3 3 72kx 2(kZ)，解得 2k 2k(k 2 4 2 4 4Z)， 所以 y2sin

12、 x增区间是 347 2k， 2题型四弦函数、余函数单性的应用例 4 较下列各组中函数值的大小： 23 17（1）cos cos (2)sin194与 23 17【答案）cos cos160. 23 7 7【解析）cos 5 5， 17 7 7 cos 4 4，5 45 47 7 2，且函数 cosx 在，2上单调递增， 5 4cos7 7 23 17 cos ，即 cos 5 4 (2)sin194sin(18014)sin14，cos160cos(18020)cos20sin70. 0147090，且函数 ysin 在 0 x90时单调递增，sin14sin70.从而sin14sin70，

13、即 cos160.解题方法（比较两个三角函数值的大小）(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单 调区间内的角，再利用函数的单调性比较(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数， 后面步骤同上(3)已知正(余)弦函数的单调性求参数范围，多用数形结合思想及转化思想 求解跟踪训四1下列结论正确的是( )Asin400sin50Ccos130cos200Bsin220sin310Dcos(40)cos310【答案】C.【解析 cos130cos(18050)cos50 20)cos20，因为当 0 x90时，函数 ycos 是减函数，所以 cos50

14、cos20，即 题型五、余弦函数值域与值问题例 5 下列函数的值域(1)y=cos(x+),x0,;6 (2)y=cosx-4cosx+5.【答案）-1,）2,10.21 25 1 25 【解析】(1)由 x0, 可得2x+,2,36 6函数 y=cosx 在区间 , 上单调递减,所以函数的值域为- ,.632(2)y=cos2x-4cosx+5,令 t=cosx,则-1t1. y=t2-4t+5=(,当 t=-1 时,函数取得 2+1 最大值 10;t=1 时,函数取得最小值 所以函数的值域为2,10.解题方法（三角函数的值域问题解题思路）三角函数的值域问题的两种类型一是化为 y=Asin(

15、x+ )+B 的形式这种 类型的值域问题解决方法是利用区间上的单调性;二是与其他函数相复合,最为常见的是与二次函 数复合,利用的是三角函数的有界性和二次函数区间的最值其方法是换元法,把 问题转化为二次函数求值域问题.跟踪训五1.函数 y=2cos2x+5sinx-4 的值域为 .【答案】-9,1.【解析】(1)y=2cos2x+5sinx-4=2(1-sin2x)+5sinx-4=-2sin2x+5sinx-2=-2(sinx- )2+ .4 故当 sinx=1 时,y =1;max当 sinx=-1 时,y =-9,min故 y=2cos2x+5sinx-4 的值域为-9,1.2.设 f(x

16、)=acosx+b 的最大值是 1,最小值是-3,则 g(x)=bsin(ax+ )的最大3值为 .【答案】1.所 以 所 以 【解析】由题意 a0,当 a0时, b 此时 g(x)=-sin(2x+3),其最大值为 1.当 asin 50 Bsin 220cos 200 Dcos(40)cos 310题型五正、余函数的值域最值问例 5求下列函数的值域(1)y=cos(x+),x0,;6 (2)y=cos2x-4cos x+5.跟踪训五1. 函数 y=2cos2x+5sin x-4 的值域为 .2.设 f(x)=acos x+b 的最大值是 1,最小值是3,则 g(x)=bsin(ax+ 值为

17、 .【课堂测】3)的最大1函数 x R 上的偶函数 的值 ）A.0 B.4C.D.2若函数 f （ ）的最小正周期为,则 ）A.5 B.10 C.15 D.203已知f x ，关于f 的下列结论中错误的是（ ）A.f 的一个周期为 B.f 在 单调递减C.f 的一个零点为 x D.f 的图象关于直线 对称34求下列函数的单调递增区间（1） y x； log 2 x 1 cos log 2 x 1 cos cos与 （2） 25比较下列各组数的大小（1） cos cos 8 7； 1 （2 10 4；（3）cos 3答案小试牛1(1) (2) (3) 2B. 3A. 4.C.自主探例 1答案】(

18、1) 2；(2)；(3) 4；(4).【解析:(1)因为 3cos(x+2)=3cos x,以由周期函数的定义知,y=3cos x 的最小正周期为 2.(2) 因 为 sin2(x+)=sin(2x+2)=sin2x, 所 以 期 定 知,y=sin2x 的最小正周期为 . 为 sin sin 6 6 , 所以由周期函数的定义知, y 6 的最小正周期为 4.(4)y=|cos x|的图象如图(实线部分)所示.由图象可知,y=|cos x|的最小正 周期为 .跟踪训一2 3 3 x 2 3 3 3 2 3 3 x 2 3 3 3 1.【答案】(1)B2【解析】 (2)作出 y=|sin 2x|

19、(xR)的图象(如图所示).由图象可知,函数 2x|(xR)的最小正周期为2.例 2答案】(1) 奇函数;(2) 偶函数(3) 偶函数;(4) 既是奇函数又是偶 函数.【解析显然 R,f(-x)=2sin(-2x)=- sin 2x=-f(x),所以 f(x)=2sin 2x 是奇函数.(2)因为 xR,f(x)=sin(3x+ )=-cos3x,4 所以 f(-x)=-cos(-3x)=-cos3=f(x),4 4所以函数 f(x)=sin( + )是偶函数.4 (3)显然 xR,f(-x)=sin |-x|=sin |x|=f(x), 所以函数 f(x)=sin |x|是偶函数.(4)由

20、0, cos x 0,得 cos 所以 x=2k(k关于原点对称,此时 故该函数既是奇函数又是偶函数. 跟踪训二1.【答案】B【解析】 A中,y=sin(2x+),即 2x,为偶函数;C,D ,函数为非奇2非偶函数;B 中,y=cos(2x+ )=-sin 2x,是奇函数,T= =,故选 B.22.【答案】D【解析】因为 ()的最小正周期为 T，2 所以 f 5 2 又 y(x)是偶函数，所以 (x)(x)3 3 3 5 7 4 4 4 4 5 45 4 45 4 3 3 3 5 7 4 4 4 4 5 45 4 45 4 3 所以 f . 3 2 例 3答案】略.【解析】当-21+2k x+

21、 +2k(kZ)时函数单调递增,以函数的 2 2单调递增区间 - +3k, +3k(k 当 +2k212x+ +2k(k 3 2Z)时函数单调递减,所以函数的单调递减区间为3+k, +3k(kZ).跟踪训三1答案】略. 【解析】y2sin x z ，则 2sin z， 4 3求 y2sin 的增区间，求 sin z 的减区间，所以 2z 2 22k(Z)，即Z)， 3 3 7k 2(kZ)，解得 2k 2k(k 2 4 2 4 4 所以 y2sin x增区间是 347 2k， 2 23 17例 4答案）cos 194cos 160. 23 7 7【解析）cos 5 5， 17 7 7 cos

22、4，7 7 2，且函数 cos x 在，2上单调递增， 5 47 7 23 17cos cos ，即 cos 5 4 (2)sin 194sin(18014)sin 14，cos 160cos(18020)cos 20sin 70. 0147090函数 sin x 在 090时单调递增， sin 14sin 70.从而sin 14sin 70，即 194cos 160.跟踪训四1答案】C.【解析】由 cos 130cos(18050)cos 50，cos 200 cos(18020)cos ，因为当 0 x90时，函数 ycos x 减函数，所以 cos 50cos 20，即cos 130cos 200.例 5 【答案1, ）2,10.2【解析】(1)由 x0, x+ , ,36 62可得函数 y=cos x在区间,2上单调递减,所以函数的值域为-1,.632(2)y=cos2x-4cos x+5,令 t=cos x, 则-1t1.y=t2-4t+5=(,当 t=-1 时,函数取得 2+1 最大值 10;t=1 时,函