【 最全】近五年 高考数学真题分类汇编14 不等式选讲

1、近五年 高考数学 真题分类汇编 不等式讲】一解题 全国高考真题（理） 已知数f （1）当 时求不等式f 的解集（2）若f ，求 的取值范围 全国高考真题（文） 已知数f x) g( 2 2 x （1）画出y 的图像；（2）若f ，求 的值范围 全国高考真题（理） 已知数f ( ) x a （1）当 2 时求不等f 的解集；（2）若f ，求 的取值范围 全国高考真题（理） 已知数f ( x) （1）画出y f ( x )的图像；（2）求不等式f ( x f ( 的解集 江苏高考真题）设 ，解不等式|+|2 全高考真题（理） 设x, y z R ， x y （1求 ( x 2 y 的最小值；（2若

2、( x 2 2 ) 2 13成立，证明：a 或a 全高考真题（文） 已f ( ) x | | ( x ).（1当 ，求不等式f ( ) 0的解集；（2若 ( 时，f ( x ，求的取值范围. 全国高考真题（文） 已知 ，c 为数，且满足 =1证明：（11 1 aa b ；（2( )3 )3 c )3 江苏高考真题）若 x，y，z 为数，且 xy+2， 全国高考真题（理）x 2 2 2的最小值设函数f x （1）画出y 的图像；（2）当x ，f 的最小值112018 全高考真题（文） 已知f （1）当 时求不等式f 的解集；（2）若x f 成立，求 的值范围 全国高考真题（文） 设函f x （1

3、）当 时求不等式f ( ) 的解集；（2）若f ( ) 恒成立，求 a 的值范. 全国高考真题（理） 已知数f ( )=x2.（1）求不等式（2）若不等式f ( )f ( )1 解集；xx +m 解集非空，求实数 m 的值范围. 全国高考真题（文） 已知数f ( ) ax ，g ( ) （1）当 时求不等式f ( ) g ( x的解集；（2）若不等式f ( x) g ( x 的解集包含11求 a 的取值范围 全国高考真题（理） 已知数f ( ) ax ，g ( ) （1）当 时求不等式f ( ) g ( x的解集；（2）若不等式f ( x) g ( x 的解集包含11求 a 的取值范围 全国高

4、考真题（理） 已知a 0，b ， a332 ，明： a ； 江苏高考真题）已知 a,b,c,d 实数，且 a2+b+d2证明 ac+bd 全国高考真题（文） 选修 ：不等式选讲已知函数f ( x) 1 1 2 2，M 为等式f ( x 的解集（）求 M；（）证明：当 a，b M 时a 全国高考真题（文） 已知数f ( x) x | （1）当 时求不等式f ( ) 6的解集；（2）设函数g ) 2 x 当 x 时，f ) g ) ，求 a 的值范围. 高 题十四、不等式选讲（案解析）（） , 【分析】（1利用绝对值的几何意义求得不等式的解.（2利用绝对值不等式化简 【解析】f ，由此求得 a 的

5、值范围（1当 a 时f ， x 表示数轴上的点1 和 距离之和，则f 表示数轴上的点到1 和的距离之和不小于6，当 或 时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于 ，轴上到所对应的点距离之和等于大于等于 6 到所对应的坐标的范围是 或 ，所以f 的解集为（2依题意f x 恒成立，x x a x ，当且仅当时取等号， min 故a ，所以解得a 3a 2或a a，所以 的值范围是 【小结】解绝对值不等式的方法有零点分段法几何意义法解含有两个绝对值其的 的数相等时以虑利用数轴上绝值的几何意义求解用绝对值三角不等式求最值也是常 见的问题，注意表述取等号的条）像见解析）a 112【分析】（1分段去绝

6、对值即可画出图像；（2据函数图像数形结和可得需将y 向左平移可满足同角得y f 过 , a 的可求. 【解析】（1可得 ，出图像如下：，画出函数图像如下：（2f x ) x ，如图，在同一个坐标系里画出f 图像，y 个单位得到，则要使f ( ) g ( x )，需将y 向左平移，即 a 0 ，当y f 过A 1 4 | 2，解得a 11 或 2 （舍去则数形结合可得需至少将y 向左平移11 11 个单位， a .2 【小结】关键小结题查绝对值不等式的恒成立问题的键是根据函数图像数形结合求. ） x 或 x 2 【分析】（1分别在 、和三种情况下解不等式求得结果；（2利用绝对值三角不等式可得到

7、【解析】，由此构造不等式求得结（1当 a 时， 当时，当时，当时，综上所述： 的解集为 x x ，解得：，无解；，解得：3 11或 x 2 2；（2f a （当且仅当 2 x 时等号 ，解得：a 或a ， a的取值范围为【小结】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题）析解析）【分析】（1根据分段讨论法，即可写出函数f 的解析式，作出图象；（2作出函数【解析】f 即解出（1因为 ，出图象，如图所示：（2将函数fx的图象向左平移 个位，可得函数f ：由 ，得 所以不等式f ( f ( x 的解集为【小结】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考

8、查学生的数形结合能力， 属于基础题1 | 或x 3【分析】由题意结合不等式的性质零点分段即可求得不等式的解. 【解析】当 x0 时原不等式可化为 x ，解得 x2即 2解得 x1.综上，原不等式的解集为1 x 或 3【小结】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力43；(2)解析【分析】根据条件x ，和柯西不等式得到( 2 z 43，再讨论 , 是否可以达到等号成立的条件(2)恒成问题，柯西不等式等号成立时构造的 , 代入原不等式，便可得到参数 的取值范. 【解析】( x y 2 2(1) x y z x y 2故( 2 43等号成立当且仅当x 而又因x ，解得时等号成立所以

9、( y 的最小值为43因为( x 2) z )13，所以根据柯西不等式等号成立条件，当 3 a x y ， 3 z 3时有( x 2)2 y 2) )2 2)2成立所以 ( a 成立，所以有a 或a 【小结】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题.）( ）1, 【分析】（1据 a 原等式化为| x x 分别讨论 x ， 三种情况，即可求出结果；（2分别讨论 和 两情，即可得出 【解析】（1当 a 时原不等式可化为| x x | ( ；当 时，原不等式可化为(1 ) x ，即( 2，显然成立，此时解集为 ；当1 x 2时不式可化为( x x 0得 时解集为空集；当 时原不等式可化为(

10、x x 2)( ，即( x 2，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为 ( ；（2当 a 时，因为 ( ，所以由f ( ) 0 可 ( )( ) ，即( x x ，显然恒成立；所以 满足题意；3 3 3 2 3 33 2 3 33 3 3 2 3 33 2 3 3当 时f ( x) 2( x x 2( x ), ，因为 a 时，f ( ) 0显然不能成立，所以 a 不足题意；综上， a 的值范围是 【小结】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题.）解析）解析【分析】（1利用 将证不等式可变为证明：a 2 ab 利基本不等式可证得 2 ，从而得到结论利用

11、基本不等式可得再次利用基本不等式可将式转为 【解析】24 取等条件一致的情况下，可得结.（1abc 1 1 1 1 a c b c 2 当且仅当a 时取等号 c，即：1 1 1a 2 2 a b c（2 ，当且仅当a 时取等号又 2 ， （且仅当a 时等号同时成立） 24又abc 24【小结】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题学生对于基本不等式的变形和应用能 力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成1 n n 2 1 1 2 2n ni i 1 n n 2 1 1 2 2n ni i i 1 【解析】分析：根据柯西不等式 ( y 2 )( a2 ) by 2可得结果.解析

12、：证明：由柯西不等式，得2 2 222因为x y z =6，所以 x2y22，当且仅当x 4 4 时不等式取等号，此时 1 ，所以 x y 的最小值为 小结题考查柯西不等式等基础知识查推理论证能柯西不等式的一形式 ， ，a ，b ，b ， 为数，则( a )(b b b )a b a )，当且仅当 b 或存在一个数 k，使 kb (i1，时，等号成立 10）解析（2【解析】分析）函数写成分段函数，再画出在各自定义域的图像即可 （2结合）问可得 a 围，进而得到 的小值解析）f 1, x ,2x f 23 x 的图像如图所示（2由（）知，y f 的图像与 轴点的纵坐标为 2 ，各部分所在直线斜率

13、的最大值为3，故当且仅当a 且b 时，fx 在 a 的最小值为 小结：本题主要考查函数图像的画法，考查由不等式求参数的范围，属于中档题 1 ） 【解析】分析(1)将 代函数解析式，求f ，利用零点分段将解析式化为 f x , ，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式f 的解集为 1 根据题中所给的x 值符号可以去掉，不等式f 可以化为x ，分情况讨论即可求得结解析） a 时 f ， f 故不等式f 的解集为 x （2当x 成立等价于当x 成立若 ，则当x ；若 ，ax 的解集为 2 ，所以 ， 0 a a综上， a 的值范围0,2小结该题考查的是有关绝对值等式的解法及含参的绝对值的式子在某个区

14、间上恒成立求参数的取值范围的问题在题的过程中需会用零点分段法将其化为分段函数从而将不等式转化为多个不等式组来解决于二问求参数的取值范围时以用题中所 给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结.12(1)；(2) .【解析】分析据对值几何意义将不等式化为三个不等式组别解后并集先化简不等式为 最后解不等式解析） ，再根据绝对值三角不等式得 得 的值范围最小值，可得的解集为（2等价于而，且当时等号成立故等价于由可得或，所以 的取值范围是小结含绝对值不等式的解法有个基本方法一是运用零点分区间讨论二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分讨论思想法二是运用数形结合思想绝对值不等式与函数

15、以及不等式恒成立交汇渗解题时强化函数数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向13）【分析】（1由于 （x）x2|，解不等式 （x1 可2 与 x2 两讨论即可解得不等式 f（）1 的解集；（2依意可得 （2设 （x（x+分 122三类讨论，可求得 （x） 【解析】解）f（x）x2|，从而可得 的值围，（），当2 时，2，得 2当 x2 时31 恒立，故 x；综上，不等式 f（x） 的解集为1（2原式等价于存在 x 使得 f）+ 成，即 mf（）2+ ， （x）（x）2+x由（）知，g（x） ，当 x ，（x）x+，其开口向下，对称方程为 g）g（）3；，当x2 时，g（x）x+3

16、1，其开口向下，对称轴方程为 （， g）g（ ）；当 x2 时g（x）x+x，其开口向下，对称轴方程为 g）g（2）1；2综上，g（）max，m 的值范围为（【小结】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论 思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题14）【解析】） 试题分析）分 ， ，三种情况解不等式f ( ) g ( x）f ( x) g ( x的解集包含，等价于当时 ，以且，从而可得试题解析a 时等等价于当当时，式化为时，式化为，无解；，从而 ；当时，式化为 ，而所以的解集为（2当时，所以的解集包含，等价于当时又f 在的最小值必为与之一，所

17、以且 ，所以 a 的值范围为小结:形如(或)型的不等式主要有两种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内子对应方程的根，将数轴分为， ，(此处设)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集 (2)图像法：作出函数和的图像，结合图像求解15）【解析】） 试题分析）分 ，三种情况解不等式f ( ) g ( x）f ( x) g ( x的解集包含，等价于当时 ，以且，从而可得试题解析a 时等等价于当当时，式化为时，式化为，无解；，从而；当时，式化为 ，而所以的解集为（2当时，所以的解集包含，等价于当时又f 在的最小值必为与之一，所以且 ，所以 a 的值范围为小

18、结:形如(或)型的不等式主要有两种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内子对应方程的根，将数轴分为， ，(此处设)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集(2)图像法：作出函数16(1) 见解(2) 见析【分析】（1由柯西不等式即可证明，和的图像，结合图像求解（2 a+2 转为均值不等式可得：，即可得到【解析】（a+b3，问题得以证明证明）由西不等式得： b 取等号；（2）b32，当且仅当 ab5ba5即 a（+2ab）2（+b）（+）22（+b）3ab（ab）2，由均值不等式可得：（+b）2， （a+）2，a+b2，当且仅当 a1 时号成立【小结】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题 17见解析【解析】试题分析：由柯西不等式可得 ，代入即得结论试题解析：证明：由柯西不等式可得： 因为，所以，因此18）【解析】）见解析.试题分析）先去掉绝对值，再分，和三种情况解不等式，即可得平方作差法行式分解可证当 ，时a 试题解析）当时，由f ( x) 2得解得 ；当当所以f ( x) 2 时，f ( x 时，由得f ( x 的解集；解得