专题46 三角函数的图象与性质(多选题)

1、 x x 专题 46 三角函数的象与性质（多选题）一题选题一 、角函的本念例 1 届山东师范大学附中高三月考）在平面直角坐标 xOy 中角 顶在原点 ，以 x 正轴为始边，终边经过点P 的是（ ）AsintanBcos C sinD cos 【答案】【解析】由题意知 ，cos， .选项 Asin；选项 B，；选项 ，sin；选项 ，sin 符号不确定故选：变式 枣市第三中学高三考）下列函数，最小正周期为 的偶函数有（ ）Ay tan xBy sin |Cy 2cos xD 【答案】【解析】对于 选，函数y x为奇函数，不符合题.对于 B 选，函数 x是最小正周期为 的函数，符合题.对于 选项，

2、函数y 的最小正周期为2，不符合题意. 对于 D 选，函数 故选：，是最小正周期为 的函数，合题意.变式 2定角与 是意角若满足 中，可能与角 “广互的是 )1则 与广义互”.已知 sin( 下角 4A.154B.cos(C.tan D.155【答案】0, ,0 则 0, ,0 则 【解析】： sin ， cos 15 ，4对于 A， sin 2 可成立，角 可与角 “广互”，故 符合条件 对于 B，设角 角 “义互余”， cos( ， B 不符合条件2 对于 Ctan 15 sin 15 sin 15 义余即 cos ，4 4即 符合条件对于 D 15 15 6 sin 义互余即 cos ，

3、5 5 4 故 D 不合条件故选： AC .题二三函的质简运例 2 届山东省济宁市高三上期末函数f 的图象向右平移个单位后得到函数 的图象则数 A在 上单调递增为函数B大值为 1,图象关于直线 对称C 8上单调递增为函 期为 ,图象关于点 对称【答案】ABD【解析】 2 x sin x 2 2 x 2 ， x 单调递增，为偶函数， 正确C错误；最大值为 ，当 时 x ，为对称轴， B 正确； 2 k x 当k 时满足图像关于点 对称，D 正确；故选： f , 则 4f x f , 则 4f x 变式 届山东省烟台市高三上期末）已知函数 对称，则（ ）为奇函数A函数 f 2的图象关于直线B数f

4、在 上单调递增Cf ， x 1 2的最小值为数f 的图象向右平移个单位长度得到函数y 的图象【答案】【解析】因为直线 是f 的对称轴所以 ,当 时f 3x ,对于选项 f sin 3 sin x ,因 ,所以 为奇函数故 A 正；对于选项 k x k,即 k 1 k k Z 4 ,当 时f 当单调递增故 B 错；对于选项 C,若f 2 则 x 最小为半个周期即2 1 2 ,故 正；对于选项 函f 的图象向右平移 个位长度即 3x 4 ,故 D错误故选：变式 山日照高月考函数y sin 的图像向左平移个单位函 f 的图像， ,0因 为 ,0因 为 g 0则（ ）ABC f f f 是偶函数的最小

5、正周期为的图像关于直线 x 2对称 f 的图像关于点 对称【答案】【解析】函数y sin 的图象向左平移个单位后，得到函数f 的图象，f f 为偶函数，故 A 正；的周期为 2 ，排除 B； f cos 0 所以 f x 2的图象不关于直线 x 对，除 ；2 f 2 ，故 D 正确故选：变式 届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数f 的图象向右平移 个位长度得到x列断正确的是（ ）A函数g 上单调递增B数 x 对称C数g , 6 上单调递减数【答案】ABD 图象关于点 对称 由 于 由 于 ， 故 3 ,0 由 于 由 于 ， 故 3 ,0 【解析】函数f 2 x 的图像向右平移 个位长度到 x

6、 sin x sin 2 . sin sin 6 2，故 是 的对称轴， 选正确 0 , 0 是 的对称中心，D 选正确由 7 x ，解得 x ， g x 12 7 在区间 , 增，故 A 选正确C 选错误 故选：变式 届东省潍坊市高三上期末知 3sin2 的最小正周期为，则下列说法正确的有（ ）A B数f 在上为增函数C线x 是函数 f 图象的一条对称轴 是函数y f 图象的一个对称中心【答案】【解析】fcos 2 sin 2 2sin 2 ，22 f 2sin x ，故 A 不确；当 时， 2 ,6 是函数y 的单调递增区间，故 正；当x 时， 5 ， 以不是函数的对称轴，故 C 不正确

7、当x 5 时， 6，sin ，所以 是函数 f 的一个对称中心，故 D 正.故选：题三三函图与质综运例 3蒙县实验中学三期末函2 sin x 的象向左平移A其图象可由 y f x cos(2 x 个单位得到 的描述正确的 ）Bf 单调递增Cf f ,0的最小值为 2【答案】ACD【解析】由题：f 2x x cos x 2 x 2 sin(2 x ) 4，由 y 2 sin 2 x的图象向左平移个单位，得到y sin(2( x ) sin(2 ) ，所以选项 A 正；令 k , k ，得其增区间为 , k 2 f 在 (0, ) 单递增，在 , ) 2单调递减，所以选项 B 不确解 f x x

8、Z ，： x k Z ，x 0, ，所以 取 8，所以选项 正确； ,0, 2 x 4所以选项 D 正确 故选： 2 ,sin(2 x ， f ( ) 4 4 2，变式 1、已知函数f ( x ) cos(2 x ，则下列结论正确的是（ ）A函数f ( )的最小正周期为B数f ( )在0, 上 2 个点 , 3 , 3 f 0 , 3 , 3 f 0 C x=6时，函数f ( )取得最大值了得到函数f ( )的图象，只要把函数 ) cos(x )图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵标不变【答案】ABCD【详解】 T 2，则 A 正确；当 ， 时， x ，此时余弦函数 cos x只有两个零点

9、，则可知 正确；因为 x ，所以当 x 时，即 x 时，函数6f ( )取得最大值，则可知 C 正；函数 ) cos( )图象上所有点的横坐标变为原来的12倍坐标不得 cos 的图象，则 正确.变式 2已函数f ( x ) 0) 满 f 0 0且f ( )在x x 0 上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是（ ）Af Bx 0，则f ( Cf ( )的最小正周期为 4f ( )在(0,2020)上的零点个数最少为 1010 个【答案】【详解】对 A，x , x 0 的区间中点为x ，根据正弦曲线的对称性知 x ，对 B若0f 则 fsin ，故 正确； f ( x)在x , x 0 上有最大

10、值，无最小值， k 则 ，故 错误；对 C， f 1 x 2 2 f ，又f ( ) 在 0 上有最大值，无最小值， k 2 2 x k 0 ，其 )，解得： 2， T ，故 C 正确；对 ，时，区间(0,2020)的长度恰好为 505个周期，当f 时，f 在开区间 上点个数至多为 1010 个点，故 错.变式 山高三开学考试）函数f 的图象向右平移 个位长度2得到函数g 的图象，且g ，则下列说法正确的是（ ）Ag 为奇函数 B C ，g 上有 个值点g 2g 2 在 上调递增，则 的大值为 【答案】BCD【解析】f ( x x ) ， (0) ， 1 ，即 k 为奇数， ( x ) 为偶函

11、数，故 错由上得： 为数， ( ) ，故 B 对由上得，当 时 g ( x) sin(5 x 22) x ， T 由图像可知5g 上有 4 个值点故 C 对 g 在 0, 上单调，所以 2 ,解得：0 ，又 k， 的大值为 ， 对 故选：二达训 2 2 1、知函数f ( x) cos x ，则（ ）A为f ( )的一个周期By f ( x )的图象关于直线 4对称Cf ( ) 在 上单调递减f )的一个零点为【答案】【详解】根据函数f ( ) cos 知最小正周期为， 正确.当 4时，f 3cos 3 6 ，由余弦函数的对称性知， B 错误；函数f ( ) cos 在 6 调减，在 上单调递增

12、，故 错误；f ( x ， 3 f cos ，故 正.2、知函数f 的最小正周期为 ，图象的一条对称轴为 5，则（ ）A B数f 的图象可由y 2 x的图象向左平移个单位长度得到C数f 在 3 上的值域为 数f 在区间上单调递减【答案】BC【详解】f 2的最小正周期为 ， ， 又 为 f ( ) 的称轴， 2 ， ， f ( x) x )；对于 A=， 错对于 B，y 2 x的图象向左平移 个承位长度得到y x )，而 2 ) ) cos(2 x ) f ( x) 2 6 ，所以B 对对于 ， x x 6 ，cos(2 x ) ，则函数 f 在 上的值域为 2 ， 对对于 ， 5 6 6，co

13、s 在 , 单调递减，在单调递增， f ( ) 在 上不是单调的，D 错3知数f 的最小正周期为 4 象的一个最高点为 A ，下列结论正确的是（ ）AB3Cf 图象上各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，得 图象；再将 图象向右平移个单位长度，得到函数 的图象 f的图象关于x 对称【答案】BC【详解】由已知， ， 错A ，2sin( ， k ， k ， 0 ， 3B 正确 x 0, x 0,f ( x 2sin x ，将fx图象上各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，得 ( x) 2sin( ) ，将 h图象向右平移个单位长度，得图象的解析式为 2sin 6 3 )， 正确；大f ( )中

14、，令x ， 5 k ， 错4、知函数f x 3sin x x，则（ ）Af ( )是奇函数Bf ( )是周期函数且最小正周期为Cf ( )的值域是 时 f ( x) 0【答案】ABD【详解】f 3sin( sin( ) sin3 x ( )，故f ( )是奇函数，故 A 正确；因为y sin 的最小正周期是 2 sin3 的最小正周期为，二者“最小公倍是 2故 2f ( )的最小正周期，故 正；C.分析f ( )的最大值为 3sin 以f ) 号立的条件是 和 sin3 x 同时成立，而当sin 即x k Z )时， x )， sin3 x 故 C 错；展开整理可得f x ) x x 2 x

15、x ，易知当 (0, )时，f ( x) ，故 D 正.5、知函数f ( x ) sin( （其中 0,0 ）图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，f ，下列结论正确的是（ ）Af ( ) sin 2 x B函数y f 的图象向右平移 个位后得到函数y sin2 x的图象C 时，f 有且只有一个零点f x f x f 在 上单调递增【答案】ACD【详解】由题意，函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为 ， ，可得 T ，因为 ，则T 2 得 ， w 6，解得 k k Z ，为 0 ，即函数f 的解析式f ( ) ，所以 A 正；对于 B 中函数f 的图象向右平移 个位，得到 ( x ) x ) s

16、in(2 )的图象，所以 B 不确对于 中由 所以 正；，所以 5 x ( , ) ， x 时，函数 f ( ) ， 12对于 D 中当 ， 时 2 , 6 2，根据正弦函数的性质，可得函数f 在该区间上单调递增，所以 D 正确6数fx sinA 0, 的部分图像如图所示列论正确的）A直线 2是函数f 图像的一条对称轴又 因为 f ,0 又 因为 f ,0 B数f 的图像关于点 ,0 对称C数f 的单调递增区间为5 12 函数f 的图像向右平移个单位得到函数 ( ) sin(2 x 的图像【答案】BC【详解】由图知：f min，所以 A 因为 7 ， ，即 。所以f . f ，所以， ， k

17、Z .又因为 ，所以，所以f 2 .对选项 A 0 3 ，故 A 错.对选项 B， x k ，解得 x 6 2，k Z.所以函数fx k 的对称中心为 ,k Z，故 B 正确对选项 ， k x k ， ，解得 ，所以函数f 的增区间为5 ,k Z，故 C 正确.对选项 ， 2 x + 6 ，故 错.故选： 2 2 7函 f+)的象向左平移个单位长度函数 g(x的象列法正确的 ）A(x的小正周期为 B(x在间0，上单调递减C=是函数 gx对称轴(x在 ， 上最小值为 12【答案】 【详解】函数 f(x)=cos(2+ 的象向左平移 个位长度后得 8 x) 2 cos 2 x ，最小正周期为 ，

18、正； x k ) )为 (x的有减区间，其中一个减区间为 , 6 ，故 B 错令 x 得 x Z ，故 C 错 2 ， ， 3 1 ， ) ，故 D 对8、知函数f ( x sin(cos x ，则下列关于该函数性质说法正确的有（ ）Af ( )的一个周期是Bf ( )的值域是Cf ( )的图象关于点(对称f ( )在区间(0, )上单调递减【答案】【详解】：因为f ( x x sin(cos ) f x)，所以 2 是数 f x)的周期，故本选项说法正确；B：为 x ， 2，所以 sin(cos x) f ( x) sin1,sin1，故本选项说法不正确；C：为f ( ) sin( sin1

19、 ，所以f ( )的图象不关于点 对，故本选项说法不正确；， 若 k Z， 若 k Z：为 )，所以函数 cos 是单调递减函数，因此有 x ，而 2，所以f ( )在区间(0, 上单调递减，故本选项说法正.9、数f ) ( ， ）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）Af 6B把f ( )的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在C把函数f ( )的图像向左平移个单位，则所得函数是奇函数 ， f (3 ) f 3 3 2 恒成立，则 的小值为 3 【答案】ACD【详解 A，由题意： ，2 ， 3 f ， f (2 2sin(，即sin(，2 （ 2 k（ Z 3 f f x ，

20、， 3 (3 ) ， 3 f f x ， ， 3 (3 ) ， 又 ， f x 6，所以 A 正 ；对 B把y f ( 的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数 ，x 2 2 ， y 2sin 上不单调递增，故 错；对 C，y f ( x)的图像向左平移个单位，则所得函数为：y 2sin x 2sin 3，是奇函数，故 C 正；对 ， ， f ) f 恒成立，即 3 恒成立，令 ( ) 3 ，则 ( ) x )，x ，x ， 3 g x) a 3 ， 的最小值为 ， 正确10 届山东实验中学高三上期中）己知函数f 为f 的 在 在 一个零点，x 为f 图象的一条对称轴，且f 上有且仅有

21、个零点，下述结论正的是（ ）AB =5Cf 上有且仅有 4 个极大值点Df 上单调递增【答案】【解析】 6为f ( )图象的一条对称轴，为f ( )的一个零点，f 6，且 ) ， k ， 2 3 k ， ，f ( )在 ) 上且仅有 个点， 7 ，即 15 2， ， 62，又 ，所以， f sin x 3 令 x k k k Z 解 x 2 ，当 2 1 得 ，因为k Z ，以 k 故f 由 k 7 x k得， 5 7x ，即f ( )在 k 2k 上单调递增， f x) 0, 上单调递增，综上， AB 错误，CD正确，故选： k k 11山高三期中函数 ( ) sin x 的图象向左平移6个单位长度得到函数g ( x )的图象，给出下