球体的表面积和体积市公开课获奖课件

1、球的体积和表面积第1页第1页 割 圆 术 早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆面积公式而创造了“倍边法割圆术”。他用加倍方式不断增长圆内接正多边形边数，使其面积与圆面积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”。这样重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣”。这是世界上最早“极限”思想。第2页第2页球面：半圆以它直径为旋转轴，旋转所成曲面。球(即球体):球面所围成几何体。它包括球面和球面所包围空间。半径是R球体积：推导办法： 分割求近似和化为准确和复习回顾第3页第3页球概念球心球半径球直径第4页第4页二、球概念点集角度旋转体角度球面所围成几何体叫球体简称球。球面:半圆以

2、它直径为旋转轴旋转所成曲面。球体与球面区别？在空间内到一个定点距离为定长点集合第5页第5页0半圆以它直径为旋转轴旋转所成曲面。球体与球面区别？球面概念：球面所围成几何体叫球体简称球。0ACD球心半径直径第6页第6页半圆以它直径为旋转轴旋转所成曲面（旋转体角度）球面概念：在空间内到一个定点距离为定长点集合（点集角度）第7页第7页二、球概念球截面形状圆面第8页第8页球面被通过球心平面截得圆叫做大圆但是球心截面截得圆叫做球小圆第9页第9页球体积公式推导球体积公式及应用球表面积公式及应用球表面积公式推导教学重点教学难点重点难点第10页第10页球面被通过球心平面截得圆叫做大圆但是球心截面截得圆叫做球小圆

3、第11页第11页R高等于底面半径旋转体体积对比球体积第12页第12页 学习球知识要注意和圆相关批示结合起来因此我们先往返想圆面积计算公式导出办法球体积 我们把一个半径为R圆分成若干等分，然后如上图重新拼接起来，把一个圆近似当作是边长分别是第13页第13页当所分份数不断增长时，准确程度就越来越高；当份数无穷大时，就得到了圆面积公式即先把半球分割成n部分，再求出每一部分近似体积，并将这些近似值相加，得出半球近似体积，最后考虑n变为无穷大情形，由半球近似体积推出准确体积球体积分割求近似和化为准确和第14页第14页问题:已知球半径为R,用R表示球体积.AOB2C2球体积AO第15页第15页OROA球体

4、积第16页第16页球体积第17页第17页球体积第18页第18页2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球体积.当n越大,越靠近于球体积,当n趋近于无穷大时就准确到等于球体积.1)球表面是曲面,不是平面,但假如将表面平均分割成n个小块,每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似看作球表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和靠近于甚至等于球表面积. 球面不能展开成平面图形，因此求球表面积无法用展开图求出，如何求球表面积公式呢?回想球体积公式推导办法,是否也可借助于这种极限思想办法来推导球表面积公式呢? 下面，我们再

5、次利用这种办法来推导球表面积公式球表面积第19页第19页球表面积第20页第20页第一步：分割球面被分割成n个网格，表面积分别为：则球表面积：则球体积为：OO球表面积第21页第21页第二步：求近似和由第一步得：OO球表面积第22页第22页第三步：化为准确和 假如网格分越细,则: “小锥体”就越靠近小棱锥O球表面积第23页第23页例1.钢球直径是5cm,求它体积.(变式1)一个空心钢球质量是142g,外径是5cm,求它内径.(钢密度是7.9g/cm2)例题解说第24页第24页(变式1)一个空心钢球质量是142g,外径是5cm,求它内径.(钢密度是7.9g/cm2)解:设空心钢球内径为2xcm,则钢

6、球质量是答:空心钢球内径约为4.5cm.由计算器算得:例题解说第25页第25页(变式2)把钢球放入一个正方体有盖纸盒中,至少要用多少纸?用料最省时,球与正方体有什么位置关系?球内切于正方体侧棱长为5cm例题解说第26页第26页例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a,它各个顶点都在球O球面上，问球O表面积。ABCDD1C1B1A1O分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重叠，则正方体对角线与球直径相等。ABCDD1C1B1A1O例题解说第27页第27页理论迁移 例3 如图，圆柱底面直径与高都等于球直径，求证： （1）球体积等于圆柱体积 ；（2）球表面积等

7、于圆柱侧面积.第28页第28页OABC例4.已知过球面上三点A、B、C截面到球心O距离等于球半径二分之一，且AB=BC=CA=cm，求球体积，表面积例题解说第29页第29页OABC例4已知过球面上三点A、B、C截面到球心O距离等于球半径二分之一，且AB=BC=CA=cm，求球体积，表面积解：如图，设球O半径为R，截面O半径为r，例题解说第30页第30页2.一个正方体顶点都在球面上,它棱长是4cm,这个球体积为cm3. 83.有三个球,一球切于正方体各面,一球切于正方体各侧棱,一球过正方体各顶点,求这三个球体积之比_.1.球直径伸长为本来2倍,体积变为本来倍.练习一课堂练习第31页第31页正方体内切球直径正方体外接球直径与正方体所有棱相切球直径探究 若正方体棱长为a，则a第32页第32页4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是_.练习二1.若球表面积变为本来2倍,则半径变为本来_倍.2.若球半径变为本来2倍，则表面积变为本来_倍.3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是_.课堂练习第33页第33页7.将半径为1和2两个铅球，熔成一个大铅球，那么 这个大铅球表面积是_.5.长方体共顶点三个侧面积分别为 ， 则它外接球表面积为_.6.若两球表面积之差为48 ,它们大圆周长之和为12 , 则两球直径之差为_.练习二课堂练习第34页第34页理解球体积、表面积推导基本思绪：分