二次型就是二次齐次多项式本章通过矩阵乘法将二次型与课件公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件

1、第五章二次型就是二次齐次多项式.本章经过矩阵乘法将二次型与对称矩阵联系起来，从而一方面使得二次型问题可以用矩阵理论和方法来研究，其次也可以将对称矩阵问题转化为用二次型来解决 。 本章主要内容：1第1页1. 二次型及其矩阵表示设 是一数域，一个系数在数域 中 二次齐次多项式 (1)称为数域 上一个 元二次型（简称二次型）。2第2页1. 二次型及其矩阵表示（续1）定义1 设 ； 是两组文字，系数在数域 中一组关系式 (2)称为由 到 一个线性替换，假如行列式那么线性替换(2)就称为非退化。线性替换把二次型变成二次型。3第3页1. 二次型及其矩阵表示（续2）令则其中 是一个对称矩阵，称为二次型(1)

2、矩阵；矩阵 秩称为二次型秩。二次型和它矩阵是相互唯一决定。4第4页1. 二次型及其矩阵表示（续3）定义2 数域 上矩阵 称为协议，假如在数域 上有可逆矩阵 , 使协议关系含有1) 反身性 2)对称性 3) 传递性在变换二次型时，我们总是要求所作线性替换是非退化，因为它能把所得二次型还原。这么就使我们从所得二次型性质能够推知原来二次型一些性质。5第5页2. 标准形定理1数域 上任意一个二次型都能够经过非退化线性替换变成标准形其中非零系数个数等于该二次型秩。定理2在数域 上，任意一个对称矩阵都协议于一对角矩阵。6第6页2. 标准形（续）化二次型为标准形方法：(1) 配方法(2) 用初等变换把二次型

3、矩阵化为对角矩阵。为了确保所得到矩阵与原矩阵协议，必须成对地进行初等行变换与列变换，即作一次初等列变换后必须作一次相同行变换。设二次型 对矩阵 进行成正确初等变换将 化成对角形，而且确保了协议关系。假如 则 经线性替换化成标准形7第7页3.唯一性定理3任意一个复系数二次型，经过一适当非退化线性替换能够变成规范形而且规范形是唯一。 规范形中非零平方项个数等于二次型秩.两个复数对称矩阵协议充分必要条件是它们秩相等.定理4（惯性定理）任意一个实数域二次型，经过一适当非退化线性替换能够变成规范形 且规范形是唯一。8第8页3.唯一性（续）定义3在实二次型 规范形中，正平方项个数 称为正惯性指数；负平方项

4、 个数称为负惯性指数；它们差 称为符号差。实二次型标准形中系数为正平方项个数是唯一确定，它等于正惯性指数，而系数为负平方项个数就等于负惯性指数。9第9页4. 正定二次型定义4实二次型 称为正定，假如对于任意一组不全为零实数 都有 。 实二次型 是正定当且仅当 定义5 实对称矩阵 称为正定，假如二次型 正定。10第10页4. 正定二次型（续1）定义6子式称为矩阵 次序主子式。定理6 元实二次型 是正定充分必要条件是它正惯性指数等于 。11第11页4. 正定二次型（续2）定理7实二次型是正定充分必要条件为矩阵 次序主子式全大于零。 通常采取求次序主子式方法来判断一个矩阵是否正定。一个实对称矩阵是正定当且仅当它与单位矩阵协议。正定矩阵行列式大于零。12第12页4. 正定二次型（续3）定理8 对于实二次型 ，其中 是实对称，以下条件等价：(1) 是半正定，(2) 它正惯性指数与秩相等，(3) 有可逆实矩阵 ，使 (其中 ) (4)有实矩阵 使(5) 全部主子式皆大于或等于零。 13第13页4. 正定二次型（续4）定义7设 是一个实二次型，对于任意一组不全为零实数，假如有 ，那么 称为负定；假如有 那么 称为半正定;假如都有 , 那么 称为半负定；假如它既不是半正定又不是半负定，那