函数连续性例题习题

1、函数的连续性的例题与习题函数连续性这个内容所波及到的练习与考试题目，大概有3大类。第一类是计算或证明连续性；第二类是对中断点（或区间）的判断，包含中断点的种类；第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质（最值性质，零点存在性质），进行理论剖析。下边就这三大类问题，供给若干例题和习题。仍是那句老话：看到题目不要看解答，而是先思虑先试着做！这是与看文学小说的最大差别。要提示的是，例题里有许多是函数连续性（一）（二）中没有给出解答的例题，你预先独立做了吗？假如没有做，是不会做好是根本不想做，仍是没有时间？一函数的连续例（例（一），这个序号值的是函数连续性（一）中的例题号，请比较）设f(x)知足f(xy

2、)f(x)f(y)，且f(x)在x0连续。证明：f(x)在随意点x处连续。剖析：证明题是我们好多同学的软肋，不知道从何下手。其实，假如你的基本观点比较清楚，证明题要比计算题号做，因为它有明确的方向，不像计算题，不知道正确的答案是什么在此题里，要证的是“f(x)在随意点x处连续”，那么我们就先固定一个点x，用函数连续的定义来证明在x处连续。你可能要问：函数连续的定义有好几个，用哪一个?这要看已知条件，哪个简单用，就用那一个。在此题中，供给了条件f(xy)f(x)f(y)，也就是f(xy)f(x)f(y)，你的脑海里就要想到，假如设yx，那么就有yf(xx)f(x)f(x)；这个时候，你应当立刻“

3、闪过”，要用题目给的第二个条件了：f(x)在x0连续！它意味着：limf(0 x)f(0)。x0证明的思路就此产生！证明：因为f(xy)f(x)f(y)，取y0，则有f(x)f(x)f(0)，所以f(0)0。（#）关于固定的x（随意的！），若取yx，有yf(xx)f(x)f(x)，（+）在（+）式两边取x0的极限，那么lim0ylim(f(xx)f(x)limf(x)，（&）xx0 x0由已知条件：f(x)在x0连续，所以limf(0 x)f(0)，代入（#）的结果，就有x0limf(0 x)limf(x)f(0)0，x0 x0但从（&）知，limylimf(x)，所以x0 x0limy0。x

4、0依据函数连续的定义E，f(x)在随意点x处连续。你看，证明题其实不难吧，但有个前提，一定有清楚的观点。好多同学的数学只会“代公式套题型”，所以做计算题还可能应付一下。其实计算也其实不轻松。例（例（一）设常数a0，f(x)limx2n1(a1)xn1，求f(x)的分段表达式，欲使f(x)连x2naxn1n续，试确立a的值。剖析：第一要注意，函数f(x)不是平时的形式，用一个明显的分析式表达出来，此题用一个极限形式来表示一个函数。所以它要求先写出f(x)的分段表达式，这是此题的第一个任务；第二，要确立参数a的数值，怎么确立呢？利用函数的连续性。这里需要计算极限的基本功。f(x)中出现了几个幂函数

5、xn,x2n,x2n1，依据幂函数的性质，x的大小对幂函数的变化趋向有根天性的影响，所以要分为|x|1,|x|1,x1,x1进行议论。所以此题的第一层查核的是对幂函数的认识与理解。（）|x|1：n,x2n,x2n1都趋于零（当n时），所以1xf(x)1。11（2）|x|1：此时xn,x2n,x2n1都将趋于无量大。为此，要从分子，分母中提出最大项，约去相应的部分，来简化函数f(x)：x2n11(a1)1f(x)limxn1x2n1x。nx2n1a1xnx2n（3）x1：f(x)a11a；aa（4）x1：f(x)lim1(a1)(1)n12(a1)(1)n，极限不存在。nlimnn1a(1)1n

6、a(1)x,x1f(x)1a,x1故得a。1,|x|1x,x1欲使f(x)连续，即便f(x)在x1连续，等价于1a1，故a1。a2例（例（一）证明连续函数的局部保号性：设f(x)在xx0处连续，且f(x0)0，那么存在0，当|xx0|时，f(x)0。剖析：这个性质公式我们一个事实，若连续函数在某点的函数值为正，那么在这个点邻近的点的函数值也是正的，不会取负值。这就是说，连续函数的函数值有“惯性”。证明的过程很简单很简单，其实我们在证明极限的保号性时就已经用过。证明：因为f(x)在xx0处连续，所以对任给的0，总存在0，使适当|xx0|时，恒有|f(x)f(x0)|，也就是f(x)f(x0)。（

7、+）若取f(x0)0，在（+）式中取左侧的那个不等式，就有f(x)0；若取1f(x0)20，那么就有f(x)1f(x0)。2（可是，此时的|xx0|中的要变小）自然，你也能够取不一样的0，自然要变。假如我们只要要证明f(x)的值为正，那么取f(x0)0就已经够了。例（例（一）设f(x)在区间a,b上连续并大于零，证明1在a,b也连续。f(x)剖析：我们需要证明的是：在a,b上任取点x0，对任给的0，存在一个0，使当|xx0|时，有11。f(x)f(x0)直接做下去，是有困难的，所以我们需要对上述不等式做点放大（这是一个基本功！）：11|f(x0)f(x)|2|f(x)f(x0)|f(x)f(x

8、0)f(x)f(x0)f2(x0)注意，上边第一个不等号是因为我们在例中，已经证了然在x0的一个邻域中有f(x)1f(x0)！2至此，一个完好的证明思路就形成了。证明：对任一x0a,b，f(x0)0，x0是f(x)的连续点。由局部保号性，存在x0的邻域N(x0,1)，使得f(x)1f(x0)。所以在这个邻域中，211|f(x0)f(x)|2|f(x)f(x0)|；f(x)f(x0)f(x)f(x0)f2(x0)由f(x)在区间a,b上的连续性知，关于任给0，存在20，使适当|xx0|2时，有|f(x)f(x0)|f2(x0)2。我们取min(1,2)，那么在这个更小的邻域中，（即|xx0|）有

9、11|f(x0)f(x)|2|f(x)f(x0)|，f(x)f(x0)f(x)f(x0)f2(x0)则有函数的连续的定义知，x0是函数1的连续点；又由x0的随意性，得1在区间a,b也连续。f(x)f(x)1例确立a,b之值，使函数f(x)ex2,x0在(,)内连续。sin(axb),x0解：在x0和x0两个区间里，对应的函数均为初等函数，它们都是连续函数。所以，要使f(x)在整个实数域中连续，只要确立在x0的连续性条件。f(x)在x0有定义，所以我们只要考虑它在x0的极限。limf(x)limsin(axb)sinbx0 x0111limf(x)limex2lim0；11x0 x0 x0ex2

10、limex2x0由此得方程sinb0，简单解得：bk,k0,1,2,L，而对参数a，连续性条件对它没有任何限制，所以a可取任何实数。ex,x0b,x1g(x)在实数域上例设f(x)，g(x)x3,x，求a,b之值，使f(x)ax,x011连续。解：两个函数的定义域不一样，所以它们之和f(x)g(x)这个新函数的定义域需要加以明确。明显，需要考虑3个区间：x0,0 x1,x1：exb,x0f(x)g(x)axb,0 x1。1x3ax,x1此刻能够对2个分界点x0,x1：处的连续性条件做研究了（定义问题已经解决）lim(f(x)g(x)lim(exb)1b，x0 x0lim(f(x)g(x)lim

11、(axb)ab，x0 x0故有方程ab1b，（1）又lim(f(x)g(x)lim(axb)a1b，x1x1lim(f(x)g(x)lim(1x3ax)2a1，x1x1又有方程a1b21a，（2）联立（1）（2），解得a1,b2。练习题1设f(x)知足条件：x1,x2，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，且f(x)在x0处连续。求证f(x)在整个实数域连续。x,x1b,x0g(x)在实数域上连练习题2设f(x)x，g(x)x1,x，求a,b之值，使f(x)a,10续。二函数的中断点这里的基本观点是中断点的种类和分类。请自己整理整理的内容。1例观察函数f(x)arctanx,x0的中断点，鉴别

12、其种类。0,x0解：函数在x0有定义，可是f(0)arctan()，f(0)arctan()2，所以在x02的左，右极限固然存在，但不相等，故属于跳跃中断点（第一类）。1exsin1,x0例观察函数f(x)x的中断点，鉴别其种类。0,x01解：函数在x0有定义，但f(0)limexsin1不存在，这是因为xn1,n1,2,L时，xn0，x0 xnsin1不存在；xn110，这是因为sin1在极限过程中是有界量，1limeu又f(0)limexsinlimex0。x0 xxx0u所以x0是函数的第二类中断点。例求以下函数的中断点，确立其种类，瑞为可去中断点，则请增补定义，使它连续。cosx11x

13、x1。（1）y2；（2）yx2(x1)11x1x解：（1）x0,x1都是使函数y没有定义的点，故是中断点。cosxlim1cosx因为lim2lim2，所以x0是函数的无量中断点（第二类）。x0 x2(x1)x0 x2x0(x1)cosxsin(1x)(1x)又lim2lim2lim2，x1x2(x1)x1x2(1x)x1(1x)2是个确立的值，极限存在，所以x1是可移去中断点，加以增补定义：cosx2,x1yx2(x1),x12后函数在x1连续。可是要注意的是，x0仍旧是函数的无量中断点（第二类），函数在x0仍旧中断。（2）明显，x1,0,1是使函数没有定义的点，所以是中断点。11limx(

14、x1)lim(x1)limf(x)limxx1，x1x111x1x(x1)x1(x1)x1x故x1是无量中断点（第二类）。11limx(x1)lim(x1)limf(x)limxx11，x0 x011x0 x(x1)x0(x1)x1x故x0是可去中断点（第一类），增补定义f(0)1x0连续。后，函数在limf(x)limx(x1)lim(x1)0，x1x1x(x1)x1(x1)可见x1也是可去中断点（第一类），增补定义f(1)0后，函数在x1连续。例议论以下函数的中断点：（1）y1（2）y3x2,x01；sin3x,。1xx01ex解：（1）x1使函数无定义（对1无定义，故函数自己也无定义），

15、故为中断点。1x11lim0，（因为lime1x）1x1e1xx1111lim1，（因为lime1xe0）1x1e1xx11左，右极限存在，却不相等，故x1是跳跃型中断点（第一类）。（2）x0处没有定义，故为中断点。limylim(3x2)3，x0 x0limylimsin3xlimsin3x33，x3xx0 x0 x0可见，x0处函数的左，右极限都存在，且相等，故x0是可去中断点（第一类）。例依据,的不一样数值，议论f(x)在x0处的连续性，若中断，鉴别属于何种中断点：xsin1,x0f(x)exx。,x0解：limf(x)10,0（请你讲出原因）limxsin不存在，x0 x0 x0lim

16、f(x)lim(ex)1，x0 x0且f(0)1所以，当0，且1时，f(x)在x0的左，有极限存在且相等，并等于函数值，故函数在x0连续；当0，且1时，f(x)在x0中断，左，右极限存在但不相等，故属于跳跃中断点；当0时，f(x)在x0左连续，右中断，故x0属于第二类中断点。xtan(x)内的中断点，并鉴别其种类。例（1998年考研题数二）求函数f(x)(1x)4在区间(0,2解：当x3时，使tan(x37是f(x)的中断点；2,)成为无量大，没有定义，故x,42444因为limx0，故limf(x)1；x3tan(x)x3444limx0，故limf(x)，7x34tan(x)x44所以，在

17、中断点x3,7，函数f(x)的极限存在，是第一类中断点。44又因当x0,时，tan(x)0，使得x没有定义，进而函数f(x)在这些点没有44tan(x)4定义，所以x,5也是函数f(x)的中断点。44limx，故limf(x)；xtan(x)x444limx，故limf(x)5x5xtan(x)444所以，中断点x,5属于第二类中断点。44例（2001年考研题数二）求极限limsinttxsinx其中断点的种类。xsintsinx，记此极限为f(x)，求出f(x)的中断点，并指出剖析：此题不是纯真议论中断问题，第一要计算一个极限，得出函数f(x)。解：limsintxsintxsintsinx

18、sintsinx1sintsinxlim1lim1xsintsinxtxsinxtxsinxtxsinx至此，能够看出这是一个1型的极限。这是我们已经很熟习的问题了，做下去lim1sintsinxsinxtxxlim1sintsinxsintsinxtxsinxsinxxxsintsinxsinxf(x)。esinxx所以下边我们议论函数f(x)esinx的中断点。明显，使sinx0的点x是使得f(x)没有定义的点，即xk,k0,1,2,L是f(x)的中断点。因为limf(x)limx1，x0 x0sinxlimf(x)limx,k1,2,L，xkxksinx所以，x0是第一类中断点，而xk,k1,2,L是第二类中断点。ae2x,x0练习题3设y1etanx,x0在x0处连续，求参数a之值。arcsinx2练习题4设f(x)x在(