集合关系函数市公开课获奖课件

1、集合关系函数集合论第1页第1页第4章 集合 集合理论是一门研究数学基础学科，它试图从一个比“数”更简朴概念集合(sets)出发，定义数及其运算，进而发展到整个数学。集合理论产生于16世纪末。当初，只是由于微积分学需要，人们仅对数集进行了研究。第2页第2页第4章 集合 19世纪末，即 18761883年间， 康托尔（George Cantor 184519,德国数学家） 对任意元素集合进行了系统研究。康托尔被公认为集合理论创始人。 第3页第3页第4章 集合 人们称康托尔开创集合理论为朴素集合论，由于他没有对集合论作完全公理化描述，从而造成了理论不一致（产生了悖论）。为填补朴素集合理论不足，20世

2、纪初出现了各种公理化集合论体系,为数学奠定了一个良好基础。第4页第4页第4章 集合 更故意义是，从此集合基本概念不断进一步人心，被广泛地应用于数学理论和其它学科基础研究和实际应用中，集合论原理和办法成为名副其实数学基本技术。集合论主要研究集合性质、关系、运算、无穷序数与无穷基数以及它公理系统和相应逻辑性质。在这一领域中有大量未处理问题，并且还在不断地提出新问题，这表明集合论是一门充斥生命力学科。第5页第5页第4章 集合 事实上，集合不但可用来表示数及其运算，更能够用于非数值信息及离散结构表示和处理。像数据删节、插入、排序，数据间关系描述，数据组织和查询都很难用老式数值计算来处理，但能够用集合运

3、算来实现。集合论被广泛应用在计算机科学中，如数据结构、操作系统、数据库、知识库、编译原理、形式语言、程序设计、人工智能、信息检索、CAD等。第6页第6页第4章 集合本章内容提纲： 1、集合概念及其表示 2、集合之间关系 3、集合运算 4、集合运算定律及证实 5、文氏图第7页第7页4.1 集合及其表示4.1.1 集合基本概念 所谓集合，就是把人们直观或想象中一些拟定能够区别对象汇合在一起构成一个整体。构成集合各个对象，称为这个集合元素或组员。第8页第8页4.1 集合及其表示 例4.1 指出下列叙述中哪些是集合，哪些不是集合？ （1）中国人集合； （2）百货商店里好看花布集合； （3）1000以内

4、素数集合； （4）26个英文字母构成集合； （5）这个班里高个子学生集合； （6）直线y2x-5上点集合。第9页第9页4.1 集合及其表示 解 （1）（3）（4）（6）是集合；（2）不是集合，由于对每一个布，没有拟定原则说它是“好看”还是“不好看”；（5）也不是集合，由于在“高个子”与“不是高个子”之间没有明确界线，但是，假如我们给出一个完全拟定原则（如身高不小于1.80米），合乎这个原则算是“高个子”，不然不算，那么对于这个班里每一个学生，总能够明确地断定是否合乎这个原则，这时“这个班里高个子学生”就构成一个集合。 第10页第10页4.1 集合及其表示 通常，用大写字母A，B，C，表示集合，

5、用小写字母a，b，c，表示元素。用下列字母表示惯用集合： N 自然数集合（包括0）； Nm 小于m自然数集合,即0,1,m-1； I 整数集合； I+ 正整数集合； I_ 负整数集合；R 实数集合； R+ 正实数集合；R_ 负实数集合； Q 有理数集合；C 复数集合。第11页第11页4.1 集合及其表示 设a为任一个对象，A为任意一个集合，则在a和A之间有且仅有下列两种情况中一个出现：a为A元素，记作“aA”，并称为“a属于A”或“A含有a”；a不为A元素，记作“aA”，并称“a不属于A”。 当a1A，a2A，.，anA时，常简写为a1，a2，.，anA。第12页第12页4.1 集合及其表示

6、定义4.1 设A为任一集合，用|A|(或#A)表示A含有不同元素个数，也称为集合A基数，有： （1）若|A|=0，则称A为空集合，记为； （2）若A包含所讨论问题全部元素，则称A为全集合，记为U； （3）若|A|0，则称A为非空集合； （4）若|A|为某自然数，则称A为有限集合； （5）若|A|为无穷，则称A为无限集合。第13页第13页4.1 集合及其表示4.1.2 集合表示办法 1. 列举法 这种办法是将集合中元素一一列举出来，或者列出足够多元素以反应集合中组员特性，并用花括号将元素括起来，其表示形如 Aa1，a2，an 或 A =a1，a2，a3, 比如， A=a,b,c,d,x,y,z，

7、B=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9就是用列举法表示集合。第14页第14页4.1 集合及其表示2. 描述法 这种办法是用一个条件来描述集合中元素含有共同性质。这个条件能够是一句话或一个或多个表示方式。其表示形式如 A =x P(x) 或 A =x：P(x) 其中P(x)表示“x满足性质P”或“x含有性质P”。 比如，前面列出惯用集合N和Nm，能够用列举法分别表示为 N=n|n是自然数 Nm=n|nN且0nm第15页第15页4.1 集合及其表示 例4.2 设全集合是整数集I，试用列举法表示集合 A=x|x-10 x-240且-5x6 解 A=-1,0,1,2,3,4,5,6 第16页第16

8、页4.1 集合及其表示4.1.3 集合之间关系 关于集合概念，尚有一点需要阐明，经常有一些集合，其元素本身也是集合。比如A=1,2,3,4等，对于这种情形，主要是把集合a和元素a区别开来，如集合3是集合A元素，而3不是A元素。第17页第17页4.1 集合及其表示 定义4.2 设A，B为任意两个集合，则有： （1）对于每个aA皆有aB，那么称A为B子集或B包括A，也称B为A母集，记作AB或BA。 （2）若AB且BA，则称A和B相等，记作A=B；不然，称A和B不相等，并记作AB。 （3）若AB且AB，则称A为B真子集或B真包括A，记作AB或BA。第18页第18页4.1 集合及其表示 比如 设A=a

9、,b,c,B=a,b,c,d,C=a,b,则 AB, CA, CBACBabcdefghij第19页第19页4.1 集合及其表示 定理4.1 设A，B和C为任意三个集合，则有 （1）A； （2）AA； （3）若AB且BC，则AC； （4）若AB且BC，则AC。 定理4.2 空集是惟一。第20页第20页4.1 集合及其表示 练习 设A=a,b,c,a,a,b，试指出下列论断是否正确？ (1)aA ( ) (8)bA ( ) (2)aA ( ) (9)a,bA ( ) (3)aA ( ) (10)a,bA ( ) (4)A ( ) (11)cA ( ) (5)A ( ) (12)cA ( ) (6

10、)bA ( ) (13)cA ( ) (7)bA ( ) (14)a,b,cA ( )第21页第21页4.1 集合及其表示 例4.3 列出集合A=1,2所有子集。 解 由于是任何集合子集，因此是A子集。由A中任意一个元素所构成集合是A子集，因此1和2是A子集。由A中任意两个元素所构成集合是A子集，因此1,2是A子集。由于A中只有两个元素，故A再没有其它子集。 由上可知，A有四个子集：，1，2，1,2。 第22页第22页4.1 集合及其表示 例4.4 设有集合A,B,C和D, 下述论断是否正确？阐明理由。 （1）若AB,BC,则AC 解 正确。由于BC，因此集合B每一个元素也是集合C元素，由AB

11、知A是B一个元素，因此A也是C一个元素，故AC。 （2）若AB,BC,则AC 解 错误。举反比如下：设A=a，B=a,b，C=a,b,c，显然AB，BC，但A不是C子集。由于aA，但aC。 第23页第23页4.1 集合及其表示 （3）若AB,BC,则AC （4）若AB,BC,则AC 解 （3）和（4）都是错误。举反比如下：设A=a，B=a,b，C=a,b,c。显然若AB，BC，但AC。由于集合C中没有元素a。又A不是C子集，由于集合A中元素a不是C元素。 第24页第24页4.1 集合及其表示4.1.4 幂集 定义4.3 设A为任意集合，令P(A)=x|xA，称P(A)为A幂集（有时也记为2A，

12、或称为幂集公理）。 从定义中可看出，集合A幂集事实上是以A所有子集为元素构成集合。第25页第25页4.1 集合及其表示例4.5 求下列集合幂集。 （1）A= ； （2）B=； （3）C=,； （4）D=a,b,c。解（1）P(A)=； （2）P(B)=,； （3）P(C)=,； （4）P(D)=,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c。 第26页第26页4.1 集合及其表示定理4.3 若A为有限集，则|P(A)|=2|A| 。 定理4.4 设A，B为任意两个集合，则有（1）P(A)；（2）AP(A)；（3）若AB，则P(A)P(B)。第27页第27页4.1 集合及其表示 练习 证实：对

13、任意集合S，有 ,PPP(S)。 证实： S P(S) 又P(S) PP(S) 又 P(S) PP(S) ,PP(S) ,PPP(S)第28页第28页4.1 集合及其表示悖论 比如 罗素悖论，设：A=S|S是集合，且SS，则A不是集合。 证实：用反证法，设A是集合，则有且仅有下列两情况之一出现， (1)AA，则由A定义知AA； (2)AA，则由A定义知AA。 因此，总有AA当且仅当AA，这是一个矛盾，从而A不是集合。第29页第29页4.1 集合及其表示 思考1 在一个小镇上，有一个剪发师公开宣布：他给并且只给小镇上所有不给自己剪发人剪发，现在要问：这位剪发师头由谁来理？ 分析： (1)假如剪发

14、师头由别人给他理，即剪发师自己不给自己剪发，那么按要求这位剪发师头应当由自己理； (2)假如剪发师头由他自己理，按要求他只给那些不给自己剪发人剪发，那么剪发师头不能由他自己理，即剪发师头应当由别人给他理； 这就产生了矛盾：剪发师头既不能由别人理，也不能由自己理，这位剪发师要求是一个悖论。第30页第30页4.1 集合及其表示 思考2(“鳄鱼两难”)一条鳄鱼从一位母亲手中抢走了一个小孩，鳄鱼对孩子母亲说：“请你回答，我会不会吃掉你孩子？答对了，我就把孩子不加伤害地还给你；不然，就别怪我不客气了！”聪明母亲机智地回答说：“你是要吃掉我孩子。”试问鳄鱼是否能把孩子还给母亲？ 分析： 假如鳄鱼交回孩子，

15、母亲就说错了，母亲说错了，它当然能够吃掉孩子；可是假如它吃掉孩子，母亲就说对了，它又得把孩子毫无伤害地交还出来；无论如何，都与它自己允诺相矛盾。第31页第31页4.2 集合运算4.2.1 集合运算定义 定义4.4 设A，B为任意两个集合。令 AB=x|xA或xB AB=x|xA和xB AB=x|xA且xB AB=x|xA或xB且xAB =(AB)-(AB) 分别称AB，AB，AB和AB为A与B并、交、差和对称差。还称差UA为A对于某全集U补集，并用A来表示。假如AB=，我们称A和B不相交。 第32页第32页4.2 集合运算 例4.6 若取U0，1，2，3，4，5， A1，2，5，B2，4时，则

16、有 AB1，2，4，5 AB2 AB1，5 AB1，4，5 A0，3，4 B0，1，3，5第33页第33页4.2 集合运算 定理4.5 设A，B和C为任意三个集合，则有 (1)AAB且BAB； (2)ABA且ABB； (3)ABA； (4)ABAB； (5)若AB，则BA； (6)若AC且BC，则ABC； (7)若AB且AC，则ABC。第34页第34页4.2 集合运算 定理4.6 设A，B为任意两个集合，则下列条件互相等价： (1)AB； (2)ABB； (3)ABA。第35页第35页4.2 集合运算4.2.2 集合运算定律 定理4.7 设A、B、C是全集合U任意子集，有： (1)等幂律 AA

17、A， AAA (2)结合律 (AB)CA(BC)， (AB)CA(BC)第36页第36页4.2 集合运算 (3)互换律 ABBA， ABBA (4)分派律 A(BC)(AB)(AC)， A(BC)(AB)(AC) (5)同一律 AA， AUA (6)零一律 AUU， A第37页第37页4.2 集合运算 (7)互补律 AAU， AA (8)吸取律 A(AB)A， A(AB)A (9)德摩根律 (AB)AB， (AB)AB U， U (10)对合律 (A)A第38页第38页4.2 集合运算例4.7 证实A(B-C)=(AB)-(AC)证实 （1）A(B-C)=A(BC) 定理4.5(4) =ABC

18、 结合律 （2）(AB)-(AC)=(AB)(AC) 定理4.5(4) =(AB)(AC) 德摩根律 =(ABA)(ABC) 分派律 =(ABC) 互补律，零一律 =ABC 同一律由（1）（2）知，A(B-C)=(AB)-(AC)。 第39页第39页4.2 集合运算例4.8 证实A(BC)=(AB)(AC)证实 (AB)(AC)=(AB)(AC)- (AB)(AC) =(A(BC)-(ABC) =A(BC)-(BC) =A(BC) 第40页第40页4.2 集合运算 例4.9 证实对任意集合A，B，C，等式(A-B)(A-C)=A成立充要条件是ABC=。 证实 (1)证必要性。 设(A-B)(A-C)=A，由于(A-B)(A-C)= (AB)(AC)=A(BC)=A(BC)= A-(BC)，因此A-(BC)=A，即对任意xA，必有xA-(BC)，因而必有xBC，因此A(BC)=ABC=。 第41页第41页4.2 集合运算 (2)证充足性